高中數(shù)學(xué)必修二《第八章 立體幾何初步》同步練習(xí)

高中數(shù)學(xué)必修二《第八章立體幾何初步》同步練習(xí)

《8.1第1課時(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征》同步練習(xí)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.觀察如下所示的四個(gè)幾何體，其中判斷不正確的是（）

A.①是棱柱B.②不是棱錐

C.③不是棱錐D.④是棱臺(tái)

B［結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義可知①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺(tái)，③

不是棱錐，故B錯(cuò)誤.］

2.下列說法正確的是（）

A.有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)

B.多面體至少有3個(gè)面

C.各側(cè)面都是正方形的叫棱柱一定是正方體

D.九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形

D［選項(xiàng)A錯(cuò)誤，反例如圖①；一個(gè)多面體至少有4個(gè)面，如三棱錐有4

個(gè)面，不存在有3個(gè)面的多面體，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤：選項(xiàng)C錯(cuò)誤，反例如圖②,

上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；根據(jù)棱柱的

定義，知選項(xiàng)D正確.

3.如圖所示都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一

樣的是（）

①②③④

A.①②B.(2X3)

C.③④D.①?

B［在圖②③中，⑤不動(dòng)，把圖形折起，則②⑤為對(duì)面，①④為對(duì)面,

③⑥為對(duì)面，故圖②③完全一樣，而①④則不同.］

4.如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜

后水槽中的水形成的幾何體是（)

A.棱柱B.棱臺(tái)

C.棱柱與棱錐的組合體D.不能確定

A［如圖.因?yàn)橛兴牟糠质冀K有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行

5.用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐，截面形狀是（）

A.四邊形

B.三角形

C.三角形或四邊形

D.不可能為四邊形

C［按如圖①所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用

一個(gè)平面去截三棱錐，截面是四邊形.

①②］

二、填空題

6.一棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，其所有的側(cè)棱長的和為60cm,則每條側(cè)棱長為—

12［該棱柱為五棱柱，共有5條側(cè)棱，每條側(cè)棱長都相等，所以每條側(cè)棱

長為12cm.］

7.如圖所示，在所有棱長均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)力出發(fā)，圍

著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)4,則爬行的最短路程為.

瓜［將三棱柱沿44展開如圖所示，則線段力〃即為最短路線，即力〃=

山"則=加］

8.以三棱臺(tái)的頂點(diǎn)為三棱錐的頂點(diǎn)，這樣可以把一個(gè)三棱臺(tái)分成個(gè)

三棱錐.

3［如圖，三棱臺(tái)可分成三棱錐如4心,三棱錐如力做，三棱錐

三個(gè).］

三、解答題

9.如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體的構(gòu)成？有幾個(gè)

面、幾個(gè)頂點(diǎn)、幾條棱？

［解］這個(gè)幾何體是由兩個(gè)同底面的四棱錐組合而成的八面體，有8個(gè)面,

都是全等的正三角形；有6個(gè)頂點(diǎn)；有12條棱.

10.試從正方體力見沙力出。〃的八個(gè)頂點(diǎn)中任取若干，連接后構(gòu)成以下空間

幾何體，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示出來.

(1)只有一個(gè)面是等邊三角形的三棱錐；

(2)四個(gè)面都是等邊三角形的三棱錐；

(3)三棱柱.

［解］(1)如圖①所示，三棱錐4■1(答案不唯一).

(2)如圖②所示，三棱錐外力辦(答案不唯一).

(3)如圖③所示，三棱柱力石〃”切(答窠不唯一).

①②

DiC,

［等級(jí)過關(guān)練］

1.由五個(gè)面圍成的多面體，其中上、下兩個(gè)面是相似三角形，其余三個(gè)

面都是梯形，并且這些梯形的腰延長后能相交于一點(diǎn)，則該多面體是（）

A.三棱柱B.三棱臺(tái)

C.三棱錐D.四棱錐

B［該多面體有三個(gè)面是梯形，而棱錐最多有一個(gè)面是梯形（底面），棱柱最

多有兩個(gè)面是梯形（底面），所以該多面體不是棱柱、棱錐，而是棱臺(tái).三個(gè)梯形

是棱臺(tái)的側(cè)面，另兩個(gè)三角形是底面，所以這個(gè)棱臺(tái)是三棱臺(tái).］

2.五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的

對(duì)角線，那么一個(gè)五棱柱的近角線共有條.

10［在上底面選一個(gè)頂點(diǎn)，同時(shí)在下底面選一個(gè)頂點(diǎn)，且這兩個(gè)頂點(diǎn)不在

同一側(cè)面上，這樣上底面每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩條對(duì)角線，所以共有10條.］

（8.1第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球與簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征》同步練習(xí)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.下列幾何體中是旋轉(zhuǎn)體的是（）

①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體.

A.①和⑤B.①

C.③和④D.①和④

D［根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念工知，①和④是旋轉(zhuǎn)體.］

2.圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是（）

①②

A.圓錐、棱柱B.圓錐、棱錐

C.球、棱錐D.圓錐、圓柱

B［根據(jù)圖①的底面為圓，側(cè)面為扇形，得圖①折疊后的圖形是圓錐；根據(jù)

圖②的底面為三角形，側(cè)面均為三角形，得圖②折疊后的圖形是棱錐.］

3.圓錐的側(cè)面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是（）

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.頂角為30°等腰三角形D.其他等腰三角形

A［設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,依題意可知2nr=n-今則故軸截

44

面是邊長為日的等邊三角形.

4.如圖，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個(gè)組合體，其結(jié)構(gòu)特征

是（）

A.一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)棱柱

B.一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)圓柱

C.一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)棱錐

D.一個(gè)棱臺(tái)中挖去一個(gè)圓柱

B［一個(gè)六棱柱挖去一個(gè)等高的圓柱，選B.］

5.用長為8,寬為4的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，則圓柱的軸截面的面積

為（）

32168

A.32B,-C.-0,-

O

B［若8為底面周長，則圓柱的高為4,此時(shí)圓柱的底面直徑為之，其軸截

294

面的面積為三；若4為底面周長，則圓柱的高為8,此時(shí)圓柱的底面直徑為9，

其軸截面的面積為1

二、填空題

6.如圖是一個(gè)幾何體的表面展開圖形，則這個(gè)幾何體是

圓柱［一個(gè)長方形和兩個(gè)圓折疊后，能圍成的幾何體是圓柱.］

7.下列命題中錯(cuò)誤的是.

①過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑；

②母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等；

③圓臺(tái)所有平行于底面的截面都是圓面；

④圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形.

②［因?yàn)閳A錐的母線長一定，根據(jù)三角形面積公式，當(dāng)兩條母線的夾角為

90°時(shí)，圓錐的軸截面面積最大.］

8.一個(gè)半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4cm,

則截面圓面積為cm2.

9n［設(shè)截面圓半徑為rem,則f+42=5?,所以r=3.所以截面圓面積為

9ncm2.］

三、解答題

9.如圖所示，梯形力如中，AD//BC,且AIKBC,當(dāng)梯形力筋繞力。所在直

線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成了一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

［解］如圖所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐后剩余部分構(gòu)

成的組合體.

10.一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12cm,兩底面面積分別為4冗cn?和25兀cm2.

求：

(D圓臺(tái)的高；

(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長.

［解］(1)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形力比次如圖所示).

由已知可得上底面半徑Q/4=2(cm),

下底面半徑必=5(cm),

又因?yàn)檠L為12cm,

所以高JJ/=A/122-(5-2)2

=3^/15(00)).

(2)如圖所示，延長“0Q,勿交于點(diǎn)S設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為

7—192

1,則由可得「一解得/=20(cm),即截得此圓臺(tái)的圓錐

的母線長為20cm.

［等級(jí)過關(guān)練］

1.如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為

()

A.一個(gè)球體

B.一個(gè)球體中間挖出一個(gè)圓柱

C.一個(gè)圓柱

D.一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長方體

B［圓旋轉(zhuǎn)一周形成球，圓中的矩形旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓柱，所以選B.］

2.如圖所示，己知圓錐S0中，底面半徑r=l,母線長1=4,."為母線必

上的一個(gè)點(diǎn)，且S仁人從點(diǎn)."拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)4則繩子的最

短長度的平方K力=.

V+16(0WxW4)［將圓錐的側(cè)面沿附展開在平面上，如圖所示,

則該圖為扇形，且弧總’的長度/就是圓。的周長，

2

所以￡=2幾廠=2兀，所以N力S仁；TJX360°=~X360°=90°.

2n/2nVX4

由題意知繩子長度的最小值為展開圖中的AM,其值為4仁產(chǎn)獲

(0WxW4).

所以/'(x)=4/=爐+16(0WW4).］

《8.2立體圖形的直觀圖》同步練習(xí)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.如圖，已知等腰三角形力比；則如下所示的四個(gè)圖中，可能是△力回的直

觀圖的是()

BC

*

①②③④

A.①②B.②③C.②④D.③④

D［原等腰三角形畫成直觀圖后，原來的腰長不相等，③④兩圖分別為在

ZyO'成135°和45°的坐標(biāo)系中的直觀圖.］

2.對(duì)于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的

是（）

A.三角形的直觀圖仍然是一個(gè)三角形

B.90°的角的直觀圖會(huì)變?yōu)?5°的角

C.與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

D.由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同

B［對(duì)于A,根據(jù)斜二測畫法特點(diǎn)知，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因

此三角形的直觀圖仍是一個(gè)三角形，故A正確；對(duì)于B,90。的角的直觀圖會(huì)變

為45°或135°的角，故B錯(cuò)誤；C,D顯然正確.］

3.把△力8。按斜二測畫法得到B'C（如圖所示），其中8,O'=CO'

C.等腰三角形D.三邊互不相等的三角形

A［根據(jù)斜二測畫法還原三角形在直角坐標(biāo)系中的圖形，如圖所示:

由圖易得力Qa三戊=2,故△力a1為等邊三角形，故選A.]

4.一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的

上底面尺寸一樣，己知長方體的長、寬、高分別為20m、5m.10m,四棱錐的

高為8m,若按1：500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、

寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為（）

A.4cm,1cm,2cm,1.6cm

B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm

C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm

D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm

C[由比例尺可知長方體的長、寬、高和四棱錐的高分別為4cm,1cm,2cm

和1.6cm,再結(jié)合斜二測畫法，可知直觀圖的相應(yīng)尺寸應(yīng)分別為4cm,0.5cm,

2cm,1.6cm.]

5.如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°,腰和上底

均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（）

A.2+鏡B.

C.亨D.14-^

A[畫出其相應(yīng)平面圖易求，故選A.

二、填空題

6.斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)以4,4）在直觀圖中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

是〃,則點(diǎn)和的坐標(biāo)為.

獷（4,2）[在/軸的正方向上取點(diǎn)M,使。'赫=4,在/軸上取點(diǎn)他

使0'題=2,過M和助分別作平行于/軸和/軸的直線，則交點(diǎn)就是〃.]

7.水平放置的△力回的斜二測直觀圖如圖所示，已知/C=3,B'C=

2,則46邊上的中線的實(shí)際長度為.

/c（of）

2.5［由直觀圖知，由原平面圖形為直角三角形，且力a4C=3,BC

=2夕C=4,計(jì)算得4Q5,所求中線長為2.5.］

8.如圖所示，水平放置的△力宛在直角坐標(biāo)系中的直觀圖,其中〃是4C

的中點(diǎn)，且N/物30°,則原圖形中與線段劭的長相等的線段有條.

2為直角三角形，因?yàn)椤榱中點(diǎn)，所以BD=AD=CD.所以與BD

的長相等的線段有2條.］

三、解答題

9.如圖，△/夕C是水平放置的平面圖形的直觀圖，試畫出原平面圖形

△ABC.

［解］（1）畫法：過r*分別作/軸的平行線交v軸于〃'，e；

⑵在直角坐標(biāo)系中.在*軸上取一點(diǎn)反。使〃/?=〃'F：,00=0'〃'，

再分別過發(fā)〃作y軸平行線，取成=2/B',DC=2DfC.

連接如，OC,a'即求出原△力比：

10.畫出底面是正方形，側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖.

［解］（1）畫軸.畫x軸、y軸、z軸，使Nx勿=45°,Zx0z=90°,如圖

①.

(2)畫底面.以。為中心在x勿平面內(nèi)畫出正方形水平放置的直觀圖力比0

⑶畫頂點(diǎn).在龍軸上截取例使“的長度是原四棱錐的高.

(4)成圖.連接力、PB、PC、PD,并擦去輔助線，得四棱錐的直觀圖如圖②.

［等級(jí)過關(guān)練］

1.已知兩個(gè)圓錐，底面重合在一起,其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為2cm,

另一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為3cm,則其直觀圖中這兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為

()

A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm

D［由題意可知其直觀圖如圖：

由圖可知兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為5cm.故選D.］

2.已知用斜二測畫法，畫得的正方形的直觀圖面積為18^/2,則原正方形的

面積為.

72［如圖所示，作出正方形如a'的直觀圖O'Ar6'。，作△D'

軸于點(diǎn)〃'.

S直觀圖=O'A'XC.又S正方形=OC^0A.

所以篙=。‘，又在RtA。'6V中，O'6V=封D',

即C=C,結(jié)合平面圖與直觀圖的關(guān)系可知以=0'A',0C=

2”,所以冷20'C

WOA^ffC

乙

又Sn觀國=1隊(duì)所以S正力形=2，^X18，^=72.］

<8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積》同步練習(xí)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.如圖，ABC-A'B'C是體積為1的棱柱，則四棱錐3陽'B'8的體積

2.正方體的表面積為96,則正方體的體積為（）

A.48mB.64C.16D.96

［答案］B

3.棱錐的一個(gè)平行于底面的截面把棱錐的高分成1：2（從頂點(diǎn)到截面與從

截面到底面）兩部分，那么這個(gè)截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于

（）

A.1：9B.1：8C.1：4D.1：3

B［兩個(gè)錐體的側(cè)面積之比為1：9,小錐體與臺(tái)體的側(cè)面積之比為1：8,

故選B.］

4.若正方體八個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的表面積

與正四面體的表面積之比是（）

A.小B.小C.錄D.乎

A［如圖所示，正方體的4、。'、〃、8的四個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)正四面體,

設(shè)正方體邊長為a,

則正四面體邊長為明a

，正方體表面積S=6才，

正四面體表面積為

W=4X乎X（啦a）2=2勺3，,

?S6,r-］

?*_訴f.J

5.四棱臺(tái)的兩底面分別是邊長為x和y的正方形，各側(cè)棱長都相等，高為

幻且側(cè)面積等于兩底面積之和，則下列關(guān)系式中正確的是（）

11,111,1

A.-=一+—B.-=一十一

xyzyxz

C［由條件知，各側(cè)面是全等的等腰梯形，設(shè)其高為〃，則根據(jù)條件得,

4?亨?力'=/+/

消去方得，4z2(x+y)2+(y—/)2(尸|_力2=(3+/)2

，4z2(x+y)2=4/A

.??z(x+。=xy,

xy

二、填空題

6.已知一個(gè)長方體的三個(gè)面的面積分別是，L乖，則這個(gè)長方體的

體積為.

ab=小,

ac=小,

{bc=鄧,

三式相乘得（物?）2=6,故長方體的體積V=abc=#）.]

7.己知棱長為1,各面均為等邊三角形的四面體，則它的表面積是,

體積是.

乖*[S表=4X乎XI=：，

1?乙X

8.長方體力比245G〃中，寬、長、高分別為3、4、5,現(xiàn)有一個(gè)小蟲從力

出發(fā)沿長方體表面爬行到G來獲取食物，則其路程的最小值為.

取[把長方體含力G的面作展開圖，有三種情形如圖所示：利用勾股定理

可得4G的長分別為啊、乖、胸.

①②③

由此可見圖②是最短路線，其路程的最小值為點(diǎn).]

三、解答題

9.已知四面體力政力中，力9=09=/^,BC=AD=2乖,BD=AC=5,求四面

體力町9的體積.

［解］以四面體的各棱為對(duì)角線還原為長方體，如圖.

設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y，z,

'*+/=13,

則</+/=20,

+^=25,

x=3,

尸2,

2=4.

=

VO-ABE~^DE?叢碑=W/長方體，

同理，匕：A8f=/%*（；=力解=云/長方體，

0

P四面體小=/長方體一4X，長方產(chǎn)，長方體.

而夕長方體=2X3X4=24，?,/四面體做外=8.

10.如圖，已知正三棱錐34%的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高

SO=3,求此正三棱錐的表面積.

［解］如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為外斜高為力'，過點(diǎn)。作。氏L/昆

與力8交于點(diǎn)反連接陽則如仍SE=h'.

?*S側(cè)=2S底,

*.a=^3hl.

?：SOIOE,:.S6+0E=SE.

???32+伶x/"卜〃2.

：.h'=2，5,：.a=yfi/i,=6.

，5底=彳才=jX62=9>\^3,S例=2S底=18-

??.5表=5惻+5底=]8、/5+”^=274.

［等級(jí)過關(guān)練］

1.用一張正方形的紙把一個(gè)棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕

開，則所需紙的最小面積是

8［如圖①為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展

成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②所示，由圖知

正方形的邊長為2嫄，其面積為8.

圖①

2.如圖，在多面體ABCDEF中,已知平面力仇力是邊長為4的正方形，￡汽〃力昆

EF=2,即上任意一點(diǎn)到平面力四的距離均為3,求該多面體的體積.

［解］如圖，連接便，比:四棱錐5力均力的體積

YAB=2EF,EF//AB,

**?S&萩=2S(\BEF，

/二帔雄片取=V三技傕喈=5/二校tuc碗二極批&耽=5X5,四板讖后欣》=4.

???多面體的體積V—/四枝曾—>0+/：棱桃q故'=16+4=20.

<8.3.2第1課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積》同步練習(xí)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.面積為。的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的側(cè)面積為（）

A.冗0B.2兀0C.3冗0D.4n0

B［正方形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓柱，其側(cè)面積為S=2/人=

2n?5?、^=2兀Q故選B.］

2.一個(gè)圓臺(tái)的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32n,則

母線長為（）

A.2B.2y［2

C.4D.8

C［圓臺(tái)的軸截面如圖，

由題意知，/=:（r+而，5墉價(jià)旭=n（r+心?）=兀?27?7=32n,

乙

???/=4.]

3.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體

的側(cè)面積是（）

A.4nB.3nC.2nD.n

C[底面圓半徑為1f局為1,側(cè)面積S=2nrh=2nX1X1—2n.故選C.]

4.已知某圓柱的底面周長為12,高為2,矩形力四是該圓柱的軸截面，則

在此圓柱側(cè)面上，從力到。的路徑中，最短路徑的長度為（）

A.2710B.2^5C.3D.2

A[圓柱的側(cè)面展開圖如圖，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，且矩形的長為12,

寬為2,則在此圓柱側(cè)面上從力到C的最短路徑為線段力C,力仁卷行=2四.

故選A.]

5.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1：3,

這截面把圓錐母線分為兩段的比是（）

A.1：3B.1：4一1）C.1：9D.A/3：2

B[由面積比為1：3,知小圓錐母線與原圓錐母線長之比為1：小,故截

面把圓錐母線分為1：（水一1）兩部分，故選B.]

二、填空題

6.表面積為3B的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直

徑為.

2[設(shè)圓錐的母線為1,圓錐底面半徑為r,由題意可知，nr7+n?=3兀，

且n7=2nr.解得r=l,即直徑為2.］

7.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用

一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸,

盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸.

（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）

3［圓臺(tái)的軸截面是下底長為12寸，上底長為28寸，高為18寸的等腰梯

形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，所以降水量為

y（102+10X6+62）X9

=3（寸）.］

8.圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的

圓心角是180°（如圖），那么圓臺(tái)的體積是

7000n廠二「。20-100

；cm3[180°=---X360°,A7=20,

力=1。\百，『=；兀(H+d+r^)?0=7°°°^.(cm3).]

JJ

三、解答題

9.若圓錐的表面積是15兀，側(cè)面展開圖的圓心角是60°,求圓錐的體積.

［解］設(shè)圓錐的底面半徑為八母線為7,

貝!J2nr=Jn7,得7=6r.

O

12f115r-25m

V=-nrh=-nX—X5^/3=―笠五.

OOII

10.如圖是一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放

著一個(gè)底面直徑為6cm,高為20cm的圓錐形鉛錘，且水面高于圓錐頂部，當(dāng)

鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少?

因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為:XnX

［解］2X20=60冗〔而），設(shè)水面下降

O

的高度為xcm,則小圓柱的體積為兀（用2才=100冗￡

所以有60冗=100nx,解此方程得x=0.6.

故杯里的水將下降0.6cm.

［等級(jí)過關(guān)練］

1.已知圓柱的側(cè)面展開圖矩形面積為S,底面周長為G它的體積是（）

1C4ns

B，C

C.盧SC

D.--

2n4n

Ch=S

D［設(shè)圓柱底面半徑為r,高為力，則

C=2Jir

C,S

-方h=C

SSC「

???佐=冗f?h=n

2D

2.如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分母線長的最

大值為a,最小值為b.那么圓柱被截后剩下部分的體積是

三竽包［采取補(bǔ)體方法，相當(dāng)于一個(gè)母線長為d+b的圓柱截成了兩個(gè)

體積相等的部分，所以剩下部分的體積「="

《8.3.2第2課時(shí)球的表面積和體積》同步練習(xí)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.如果三個(gè)球的半徑之比是1：2：3,那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球

的表面積之和的（）

59

倍倍C.2倍D.3倍

A.Ky□

B［設(shè)小球半徑為1,則大球的表面積S大=36n,S小+S中=20n,瞿=

￡a\JJI

-］

5'J

2.把半徑分別為6cm,8cm,10cm的三個(gè)鐵球熔成一個(gè)大鐵球，這個(gè)大鐵

球的半徑為（）

A.3cmB.6cm

C.8cmD.12cm

4444

D［由鼻”"=鼻冗?63+-n?83+-n?IO3,得"=1728,檢驗(yàn)知412.］

ooJo

3.將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周而形成的曲面所圍成的幾

何體的表面積為（）

A.2nB.3n

C.4nD.6n

B［由題意知，該幾何體為半球，表面積為大圓面積加上半個(gè)球面積，S

"?

=nX1+^X4XHX1=3n.］

4.將棱長為2的正方體削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的體積為（）

B［根據(jù)題意知，此球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球,所以球的直徑等于正方體的棱長,

故r=l,所以勺［冗/=等.］

J0

5.己知圓柱的高為L它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面

上，則該圓柱的體積為（）

3JlJTH

A.nB.C.-D.—

A乙q

B［設(shè)圓柱的底面半徑為r,球的半徑為凡且k1,由圓柱兩個(gè)底面的圓

周在同一個(gè)球的球面上可知，r,斤及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形.

QR冗

n

圓柱的體積為v=兀辦=4X1=—

故選B.］

二、填空題

6.若一個(gè)球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為

4

3［設(shè)此球的半徑為此則4114=三五川，43.］

<5

7.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積

為.

俯視圖

33n［由三視圖可知該幾何體是上面為半球，下面為圓錐的組合體，所以

?

表面積X3H-HX3X5=33n.］

8.如圖，在圓柱QQ內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相

切，記圓柱QQ的體積為九球。的體積為七,則/的值是.

5［設(shè)球。的半徑為此

??,球。與圓柱。。的上、下底面及母線均相切，

???圓柱的高為2兄底面半徑為日

匕?2斤3

=2J

三、解答題

9.某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形,

若圖中r=l,7=3,試求該組合體的表面積和體積.

［解］該組合體的表面積

S=4冗/+2nr/=4冗Xj+2冗X1X3=10n.

44［qJI

該組合體的體積V=-Jir+Hr7=-nXI3+nX12X3=~z—.

JJo

10.己知過球面上4B,。三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且

47=18,及7=24,47=30,求球的表面積和體積.

［解］因?yàn)?8：BC：4=18：24：30=3：4：5,

所以△兒笫是直角三角形，N8=90°.

又球心。到截面的投影0,為截面圓的圓心,

也即是Rt△川町的外接圓的圓心，

所以斜邊力。為截面圓0'的直徑（如圖所示），

設(shè)O'C=rfOC=R,

則球半徑為吊截面圓半徑為r,

在Rtz\0'CO中，由題設(shè)知sinNO'但空丁=4,

（JC乙

所以Z0'CO—30°,所以萬一cos30°—

11乙

2

即月=下r,(*)

又2r=〃^30=r=15,代入(*)得7?=l(h/§.

所以球的表面積為S=4五〃=4冗X(is/5)2=l200JI.

球的體積為五川X(10^/3)3=4000^/3n.

JO

［等級(jí)過關(guān)練］

1.如果一個(gè)球的外切圓錐的高是這個(gè)球的半徑的3倍，則圓錐的側(cè)面積和

球的表面積之比為（）

A.4：3B.3：1C.3：2D.9：4

C［作圓錐的軸截面，如圖，設(shè)球半徑為尼則圓錐的高力=3尺圓錐底面

半徑尸小兄

0+'

R\

B0C

則（力+r）_2<3凡所以x―五用一一一5」

2.在封閉的直三棱柱463456內(nèi)有一個(gè)體積為『的球.若ABLBC"B=6,

BC=8,44=3,貝ij/的最大值是.

9JT

F[當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的體積最大.在直三棱柱內(nèi)，當(dāng)球和三個(gè)側(cè)面

都相切時(shí)，因?yàn)榱L8G力8=6,BC=8,所以力C=10,底面的內(nèi)切圓的半徑即

為此時(shí)球的半徑1=6+：-10=2,直徑為4>側(cè)棱.所以球的最大直徑為3,半

徑為去此時(shí)體積勺等.]

《8?4.1平面》同步練習(xí)

[合格基礎(chǔ)練]

一、選擇題

1.已知點(diǎn)小直線小平面。，以下命題表述正確的個(gè)數(shù)是（）

①RWa,血。=4莊a；②力￡&。=力￡a；③力住aaua=*a；④力

aua=[ua.

A.0B.1C,2D.3

A[①不正確，如aGa=A^②不正確，a”表述錯(cuò)誤；③不正確,

如圖所示，力住aaua,但力Ea：④不正確，"4ua”表述錯(cuò)誤.]

2.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

①三角形是平面圖形；

②四邊形是平面圖形；

③四邊相等的四邊形是平面圖形；

④圓是平面圖形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

B[根據(jù)，基本事實(shí)1瓦知①④正確，②③錯(cuò)誤.故選B.]

3.兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面（）

A.相交B.重合

C.相交或重合D.以上都不對(duì)

C［若三點(diǎn)在同一條直線上，則這兩個(gè)平面相交或重合，若三點(diǎn)不共線，則

這兩個(gè)平面重合.］

4.如果空間四點(diǎn)4B,C,〃不共面，那么下列判斷中正確的是（）

A.AfB,C,〃四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線

B.A,B,C,〃四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線

C.直線仍與⑦相交

D.直線用與口平行

B［兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點(diǎn)都分別確定一個(gè)平面，

選B.］

5.三條兩兩平行的直線可以確定平面的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.0或1D.1或3

D［當(dāng)三條直線是同一平面內(nèi)的平行直線時(shí)，確定一個(gè)平面，當(dāng)三條直線是

三棱柱側(cè)棱所在的直線時(shí)，確定三個(gè)平面，選D.］

二、填空題

6.設(shè)平面a與平面￡相交于直線aua,直線aC\b=M,則"

1.

￡［因?yàn)閍C\b=M,auQ,所以蛇a,J/G￡.又因?yàn)閍DB=1,

所以莊上］

7.在長方體的所有棱中，既與18共面，又與制共面的棱有

5［由題圖可知，既與力8共面又與陽共面的棱有切、BC、仍、加、C。

共5條.］

8.已知平面。與平面￡、平面/都相交，則這三個(gè)平面可能的交線有

條.

1或2或3［當(dāng)￡與了相交時(shí)，若。過￡與/的交線，有1條交線;

若。不過￡與y的交線，有3條交線；當(dāng)￡與/平行時(shí)，有2條交線.］

三、解答題

9.己知：A"BG1,Cel,協(xié)1,如圖所示.

D

求證：直線力〃BD,勿共面.

［證明］因?yàn)閍/,所以/與〃可以確定平面。，

因?yàn)?所以力￡a,

又DRa,所以/ZAzo.同理，BDaa,CDaa,

所以力〃，BD,勿在同一平面a內(nèi)，

即它們共面.

10.求證：三棱臺(tái)48G4回三條側(cè)棱延長后相交于一點(diǎn).

［證明］如圖，延長力4,以，

設(shè)A&CB&=P,又第j平面6C,???盧￡平面6C,

力4u平面力C,???〃￡平面力G,

??，為平面BQ和平面AC的公共點(diǎn)，

又：平面陽n平面陽=。6,

:?PeCC\,

即14,BB、,CG延長后交于一點(diǎn)已

［等級(jí)過關(guān)練］

1.如圖，0n￡=/,/IEafCGB,6^7,直線49G7=。，過力、B、。三

點(diǎn)確定的平面為r，則平面y、￡的交線必過（）

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)8

C,點(diǎn)、C,但不過點(diǎn)DD.點(diǎn)。和點(diǎn)〃

D[A.8、C確定的平面r與直線物和點(diǎn)。確定的平面重合，故y,

且C、DRB,故G〃在7和￡的交線上.]

2.若直線/與平面Q柞交于點(diǎn)0,AfBG1,3DGa,豆AC//BD,則0,

C,〃三點(diǎn)的位置關(guān)系是.

共線I?:AC〃BD,：.AC與初確定一個(gè)平面，記作平面￡,則aHB=CD.

V/na=Ot：,0Ga.又??,0￡/氏￡,，。仁直線。9,

：.0,C,〃三點(diǎn)共線.]

《8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》同步練習(xí)

[合格基礎(chǔ)練]

、選擇題

1.若a和6是異面直線，6和。是異面直線，則a和。的位置關(guān)系是（）

A.異面或平行B.異面或相交

C.異面D.相交、平行或異面

D[異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，a,6異面，

直線c的位置可如圖所示.

2.給出以下結(jié)論:

（1）直線，〃平面a,直線9。，則3〃6；

（2）若au。，M.a,則ab無公共點(diǎn)；

⑶若聞。，則a〃?；騛與。相交；

⑷若dPla=4,則M。.

正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

B[結(jié)合直線與平面的位置關(guān)系可知，（1）（2）錯(cuò)誤，

（3）（4）正確.]

3.過平面外兩點(diǎn)作該平面的平行平面，可以作（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.0個(gè)或1個(gè)D.1個(gè)或2個(gè)

C[平面外兩點(diǎn)的連線與已知平面的位置關(guān)系有兩種情況：

①直線與平面相交，可以作0個(gè)平行平面；

②直線與平面平行，可以作1個(gè)平行平面.]

4.若直線a不平行于平面%則下列結(jié)論成立的是（）

A.。內(nèi)的所有直線都與直線a異面

B.。內(nèi)不存在于a平行的直線

C.。內(nèi)的直線都與〃相交

D.直線a與平面。有公共點(diǎn)

D[直線a不平行于平面a,則d與平面。相交或aua.]

5.若a,6為異面直線，直線?！╝,則。與6的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.異面或相交

D[由空間直線的位置關(guān)系，知c與?？赡墚惷婊蛳嘟?]

二、填空題

6.若直線）上有兩點(diǎn)到平面a的距離相等，則直線/與平面a的關(guān)系

是.

平行或相交[當(dāng)這兩點(diǎn)在。的同側(cè)時(shí)，/與a平行；當(dāng)這兩點(diǎn)在。的異

側(cè)時(shí)，）與o相交.]

7.在四棱錐尸力筋中，各棱所在的直線互相異面的有對(duì).

8［以底邊所在直線為準(zhǔn)進(jìn)行考察，因?yàn)樗倪呅瘟Ρ??是平面圖形，4條邊

在同一平面內(nèi)，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側(cè)棱組成2

對(duì)異面直線，所以共有4X2=8(對(duì))異面直線.］

8.如圖所示，在正方體力比245G〃中判斷下列位置關(guān)系：

(1)A"所在直線與平面BCC,的位置關(guān)系是；

(2)平面4陽與平面4%。的位置關(guān)系是.

(1)平行(2)相交［(13〃所在的直線與平面發(fā)力沒有公共點(diǎn)，所以平行;

(2)平面4陽與平面力闈7有公共點(diǎn)況故相交.］

三、解答題

9.如圖所示，在長方體力仇出力山?！ㄖ?，直線5〃與長方體的六個(gè)面之間

的位置關(guān)系如何？

［解］白〃在平面4G內(nèi)，與平面8G,唐他,切都相交，笈〃與平

面力。平行.

10.如圖，在正方體力順?456〃中，夕是力4的中點(diǎn)，畫出過〃，3月的

平面與平面48分4的交線，并說明理由.

［解］如圖，取四的中點(diǎn)凡連接即，ABCF.

B

因?yàn)椤晔?4的中點(diǎn)，

所以EF〃AE

在正方體力a2456〃中，AD〃BC,A\D尸BC,

所以四邊形48四是平行四邊形.

所以48〃勿，所以〃〃勿.

所以eF,C,〃四點(diǎn)共面.

因?yàn)椤辍昶矫媪Φ?,￡W平面〃宙

莊平面力能4,飛平面〃圓

所以平面力微4n平面DCE=EF.

所以過幾C,少的平面與平面力打我4的交線為成

［等級(jí)過關(guān)練］

1.以下四個(gè)命題：

①三個(gè)平面最多可以把空間分成八部分；

②若直線au平面。，直線k平面￡,則“a與6相交”與“。與￡相交”

等價(jià);

③若aCB=l,直線au平面a,直線9平面￡,且aC\b=P,則PRh

④若〃條直線中任意兩條共面，則它們共面.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.③@D.①③

D［對(duì)于①，正確；對(duì)于②，逆推“。與￡相交”推不出Q與6相交”，

也可能a〃力；對(duì)于③，正確；對(duì)于④，反例：正方體的側(cè)棱任意兩條都共面，

但這4條側(cè)棱并不共面，故④錯(cuò).所以正確的是①③.］

2.己知，在梯形4%力中，ABHCD,被=平面a,辦平面%則直線必

與平面a內(nèi)的任意一條直線力的位置關(guān)系是.

平行或異面［如圖，由于//仇力是梯形，AB//CD,所以仍與口無公共點(diǎn),

又必I平面a,所以勿與平面a無公共點(diǎn).當(dāng)卬〃43時(shí)，則m//DCx當(dāng)勿與AB

相交時(shí)，則力與〃。異面.］

《8.5.1直線與直線平行直線與平面平行》同步練習(xí)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.如圖所示，長方體［aD45G〃中，E、/分別是棱44和微的中點(diǎn)，過

跖的平面加第分別交房和力。于G、H