2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直二同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)三十一直線與平面垂直(二)(15分鐘30分)1.設(shè)a,b,c是三條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則能使a⊥b成立的是 ()A.a⊥c,b⊥c B.α⊥β,a?α,b?βC.a⊥α,b∥α D.a⊥α,b⊥α【解析】選C.由a,b,c是三條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,得在A中,因?yàn)閍⊥c,b⊥c,所以a,b相交、平行或異面,故A錯(cuò)誤;在B中,因?yàn)棣痢挺?a?α,b?β,所以a,b相交、平行或異面,故B錯(cuò)誤;在C中,因?yàn)閍⊥α,b∥α,所以由線面垂直的性質(zhì)定理得a⊥b,故C正確;在D中,因?yàn)閍⊥α,b⊥α,所以由線面垂直的性質(zhì)定理得a∥b,故D錯(cuò)誤.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1A.AE⊥CC1 B.AE⊥B1D1C.AE⊥BC D.AE⊥CD【解析】選B.如圖所示.連接AC,BD,因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1所以四邊形ABCD是正方形,AC⊥BD,CE⊥平面ABCD,所以BD⊥CE,而AC∩CE=C,故BD⊥平面ACE,因?yàn)锽D∥B1D1,故B1D1⊥平面ACE,故B1D1⊥AE.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是線段BC1A.AD1⊥DP B.AP⊥B1C.AC1⊥DP D.D1P⊥B1C【解析】選B.在正方體ABCD-A1B1C1D1因?yàn)锽1C⊥BC1,B1C⊥AB,BC所以B1C⊥平面ABC1D1,因?yàn)辄c(diǎn)P是線段BC1上隨意一點(diǎn),所以AP⊥B1【光速解題】在正方體中,面上的對(duì)角線與B1C⊥平面ABC1D14.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,則四個(gè)側(cè)面△PAB,△PBC,△PCD,△PAD中,有個(gè)直角三角形.

【解析】因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,所以△PAB,△PAD為直角三角形,因?yàn)锽C⊥PA,BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC為直角三角形,同理,△PDC為直角三角形,所以四個(gè)側(cè)面三角形均為直角三角形.答案:45.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C到平面α的距離分別為2cm,3cm,4cm,且它們?cè)讦恋耐瑐?cè),則△ABC的重心到平面α的距離為cm.

【解析】如圖,設(shè)A,B,C在平面α上的射影分別為A′,B′,C′,△ABC的重心為G,連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,又設(shè)E,G在平面α上的射影分別為E′,G′,則E′∈A′B′,G′∈C′E′,EE′=QUOTE(A′A+B′B)=QUOTE,CC′=4,CG∶GE=2∶1,在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3.答案:36.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng).證明:AD⊥C1【證明】因?yàn)锳B=AC,D是BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1而AD?平面ABC,所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng),得C1E?平面BB1(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1與B1DA.AC B.BDC.A1D D.A1D1【解析】選B.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1與B1D1的交點(diǎn),設(shè)O是AC,BD的交點(diǎn),連接EO,則EO⊥平面ABCD,所以EO⊥BD,又CO⊥BD,CO∩EO=O,所以BD⊥平面COE,因?yàn)镃E2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,則點(diǎn)P到BC的距離是 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.3QUOTE D.4QUOTE【解析】選D.過(guò)A作AD⊥BC于D,連接PD,因?yàn)锳B=AC=5,BC=6,所以BD=DC=3,又因?yàn)镻A⊥平面ABC,PA∩AD=A,所以BC⊥PD,所以點(diǎn)P到BC的距離是PD,在△ADC中,AC=5,DC=3,所以AD=4,在Rt△PAD中,PD=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.3.如圖,已知△ABC為直角三角形,其中∠ACB=90°,M為AB的中點(diǎn),PM垂直于△ABC所在平面,那么 ()A.PA=PB>PC B.PA=PB<PCC.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC【解析】選C.因?yàn)镻M⊥平面ABC,MC?平面ABC,所以PM⊥MC,PM⊥AB.又因?yàn)镸為AB中點(diǎn),∠ACB=90°,所以MA=MB=MC.所以PA=PB=PC.4.(2024·信陽(yáng)高一檢測(cè))如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=QUOTE,若A1C⊥BC1,則BC1= ()A.2QUOTE B.2QUOTE C.3QUOTE D.3QUOTE【解析】選C.如圖,連接AC1,因?yàn)锳C=AA1,所以直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面ACC1A1為正方形,所以A1C因?yàn)锳1C⊥BC1,AC1∩BC1=C1所以A1C⊥平面ABC1,所以A1因?yàn)锳B⊥AA1,A1C∩AA1=A1,所以AB⊥側(cè)面ACC1A1,所以AB⊥AC1,因?yàn)锳B=AC=AA1=QUOTE,所以AC1=2QUOTE,所以BC1=3QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.在下列四個(gè)正方體中,能得出AB⊥CD的是 ()【解析】選AD.在A中,因?yàn)锽E⊥CD,AE⊥CD,BE∩AE=E,所以CD⊥平面ABE,因?yàn)锳B?平面ABE,所以AB⊥CD,故A正確;在B中,因?yàn)镃D∥AE,△ABE是等邊三角形,所以AB與CD異面,且所成角為60°,故B錯(cuò)誤;在C中,CD∥BE,∠ABE=45°,所以AB與CD異面,且所成角為45°,故C錯(cuò)誤;在D中,CD⊥平面ABC,所以CD⊥AB,故D正確.6.如圖,直線PA垂直于圓O所在的平面,△ABC內(nèi)接于圓O,且AB為圓O的直徑,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).以下結(jié)論成立的是 ()A.BC⊥PCB.OM⊥平面ABCC.點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng)D.三棱錐M-PAC的體積等于三棱錐P-ABC體積的一半【解析】選ABCD.因?yàn)镻A⊥圓O所在的平面,BC?圓O所在的平面,所以PA⊥BC,而B(niǎo)C⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,而PC?平面PAC,所以BC⊥PC,故A正確;因?yàn)辄c(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn),點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn),所以O(shè)M∥PA,所以O(shè)M⊥平面ABC,故B正確;因?yàn)锽C⊥平面PAC,所以點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng),故C正確;三棱錐M-PAC和三棱錐P-ABC均可以平面PAC為底面,此時(shí)M究竟面的距離是B究竟面距離的一半,故三棱錐M-PAC的體積等于三棱錐P-ABC體積的一半,故D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,已知平行四邊形ABCD中,|AD|=4,|CD|=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且|PA|=6,則|PC|=.

【解析】由余弦定理,得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cosD=16+9-2×4×3×QUOTE=13,所以AC=QUOTE,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AC在平面ABCD內(nèi),所以PA⊥AC,所以PC=QUOTE=QUOTE=7.答案:78.如圖所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿意條件時(shí),有A1C⊥B1D【解析】若A1C⊥B1D1,由四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱,AA1⊥B1D1,易得B1D1⊥平面AA1C1C,則A1C答案:AC⊥BD(答案不唯一)四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,PA⊥正方形ABCD所在平面,經(jīng)過(guò)A且垂直于PC的平面分別交PB,PC,PD于E,F,G,求證:AE⊥PB.【證明】因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又ABCD是正方形,所以AB⊥BC.因?yàn)锳B∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.因?yàn)锳E?平面PAB,所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE,因?yàn)镻C∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.因?yàn)镻B?平面PBC,所以AE⊥PB.10.如圖,已知AB為圓柱OO1底面圓O的直徑,C為QUOTE的中點(diǎn),點(diǎn)P為圓柱上底面圓O1上一點(diǎn),PA⊥平面ABC,PA=AB,過(guò)A作AE⊥PC,交PC于點(diǎn)E.(1)求證:AE⊥PB;(2)若點(diǎn)C到平面PAB的距離為1,求圓柱OO1的表面積.【解析】(1)因?yàn)锳B為圓柱OO1底面圓O的直徑,C為QUOTE的中點(diǎn),所以BC⊥AC,因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,又因?yàn)镻A∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,因?yàn)锳E?平面PAC,所以BC⊥AE,又因?yàn)锳E⊥PC,且PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC,因?yàn)镻B?平面PBC,所以AE⊥PB.(2)因?yàn)辄c(diǎn)C到平面PAB的距離為1且C為QUOTE的中點(diǎn),所以PA=AB=2,所以圓柱OO1的表面積S=2×π×12+2π×1×2=6π.1.(2024·昆明高一檢測(cè))《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑,如圖,在鱉臑PABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且AP=AC=1,過(guò)A點(diǎn)分別作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F,連接EF.當(dāng)△AEF的面積最大時(shí),tan∠BPC的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.明顯BC⊥平面PAB,則BC⊥AE,又PB⊥AE,BC∩PB=B,則AE⊥平面PBC,于是AE⊥EF,且AE⊥PC,結(jié)合條件AF⊥PC,得PC⊥平面AEF,所以△AEF、△PEF均為直角三角形,由已知得AF=QUOTE,而S△AEF=QUOTEAE·EF≤QUOTE(AE2+EF2)=QUOTE(AF)2=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)AE=EF時(shí),取“=”,所以,當(dāng)AE=EF=QUOTE時(shí),△AEF的面積最大,此時(shí)tan∠BPC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段B1D1A.AC⊥BEB.B1E∥平面A