2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形第八節(jié)解三角形的實(shí)際應(yīng)用教師文檔教案文北師大版

PAGE第八節(jié)解三角形的實(shí)際應(yīng)用授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第71頁[基礎(chǔ)梳理]實(shí)際問題中的常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫作仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫作俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫作方位角．方位角α的范圍是0°≤α<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度①北偏東m°②南偏西n°坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為α，坡度為i，則i＝eq\f(h,l)＝tanα坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比[四基自測]1．(基礎(chǔ)點(diǎn)：求高度)在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°，60°，如圖所示，則塔高CB為()A.eq\f(400,3)m B.eq\f(400,3)eq\r(3)mC.eq\f(200,3)eq\r(3)m D．eq\f(200,3)m答案：A2．(基礎(chǔ)點(diǎn)：方向角)兩座燈塔A和B與海岸視察站C的距離相等，燈塔A在視察站北偏東40°，燈塔B在視察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的北偏西________，西偏北________．答案：10°80°授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第72頁考點(diǎn)一測量距離與角度挖掘1測量距離/自主練透[例1](1)(河兩岸可視兩點(diǎn))如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A.eq\f(msinα,sinβ)米 B.eq\f(msinα,sin（α＋β）)米C.eq\f(msinβ,sin（α＋β）)米 D．eq\f(msin（α＋β）,sinα＋sinβ)米[解析]在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，故AB＝eq\f(ACsinC,sinB)＝eq\f(msinβ,sin（α＋β）).[答案]C(2)(河對岸或不行視兩點(diǎn))如圖，為了測量河對岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，視察者找到一個點(diǎn)C，從點(diǎn)C可以視察到點(diǎn)A、B；找到一個點(diǎn)D，從點(diǎn)D可以視察到點(diǎn)A、C；找到一個點(diǎn)E，從點(diǎn)E可以視察到點(diǎn)B、C.并測量得到一些數(shù)據(jù)：CD＝2，CE＝2eq\r(3)，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，則A、B兩點(diǎn)之間的距離為________．(其中cos48.19°取近似值eq\f(2,3))[解析]依題意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝2eq\r(2).在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝eq\f(CEsin60°,sin45°)＝3eq\r(2).連接AB(圖略)，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10，∴AB＝eq\r(10).[答案]eq\r(10)[破題技法]測量距離問題的解法選擇合適的協(xié)助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，再利用正、余弦定理求解．提示：解三角形時，為避開誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量．挖掘2測量角度或航向/互動探究[例2]已知海島B在海島A北偏東45°方向上，A，B相距10海里，物體甲從海島B以2海里/小時的速度沿直線AB向海島A移動，同時物體乙從海島A沿著海島A北偏西15°方向以4海里/小時的速度移動．(1)問經(jīng)過多長時間，物體甲在物體乙的正東方向；(2)求甲從海島B到達(dá)海島A的過程中，甲、乙兩物體的最短距離．[解析](1)如圖，設(shè)經(jīng)過x小時，物體甲在物體乙的正東方向，則甲與A的距離為10－2x，乙與A的距離為4x，AD＝eq\f(\r(2),2)(10－2x)．∴cos15°＝eq\f(\r(2)（5－x）,4x)＝cos(45°－30°)，∴x＝eq\f(5,2＋\r(3))＝5(2－eq\r(3))．∴經(jīng)過5(2－eq\r(3))小時，物體甲在物體乙的正東方向．(2)設(shè)經(jīng)過x小時，甲、乙兩物體的距離為d.由余弦定理得cos60°＝eq\f(（4x）2＋（10－2x）2－d2,2×4x×（10－2x）)＝eq\f(1,2)，∴d2＝28x2－80x＋100，0＜x≤5.∵函數(shù)y＝28x2－80x＋100的圖像的對稱軸x＝eq\f(10,7)∈(0，5]，∴x＝eq\f(10,7)時，d最小．∴dmin＝eq\f(10\r(21),7).[破題技法]測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最終將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．提示：方向角是相對于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時，必需先弄清晰是哪一個點(diǎn)的方向角．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)覺在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．解析：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.依據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.依據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以紅方偵察艇所需的時間為2小時，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14).考點(diǎn)二測量高度挖掘1同一豎直平面內(nèi)的高度/自主練透[例1]如圖，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，在A，B兩點(diǎn)分別測得樹頂?shù)难鼋菫?0°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為10m，則樹的高度h為()A．(5＋5eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋3eq\r(3))m[解析]在△PAB中，由正弦定理，得eq\f(10,sin（45°－30°）)＝eq\f(PB,sin30°)，因?yàn)閟in(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，所以PB＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))(m)，所以該樹的高度h＝PBsin45°＝(5＋5eq\r(3))(m)．[答案]A挖掘2不同豎直平面內(nèi)的高度/互動探究[例2]如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)．從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，求山高M(jìn)N.[解析]在△ABC中，AC＝100eq\r(2)，在△MAC中，eq\f(MA,sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得MA＝100eq\r(3)，在△MNA中，eq\f(MN,100\r(3))＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，故MN＝150，即山高M(jìn)N為150m.[破題技法]求解高度問題的三個關(guān)注點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時探討的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清晰又不簡單搞錯．(3)留意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．考點(diǎn)三解三角形在平面幾何中的應(yīng)用挖掘1與三角形有關(guān)的傳統(tǒng)文化/自主練透[例1](1)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的閱歷方式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑等于4米的弧田，依據(jù)上述閱歷公式計算所得弧田面積約是()A．6平方米 B．9平方米C．12平方米 D．15平方米[解析]如圖，由題意可得∠AOB＝eq\f(2π,3)，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2，所以可得矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，可得弦＝2AD＝2×2eq\r(3)＝4eq\r(3).所以，弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2≈9平方米，故選B.[答案]B(2)《數(shù)書九章》中對已知三角形三邊長求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白，與聞名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))\s\up12(2)))).現(xiàn)有周長為2eq\r(2)＋eq\r(5)的△ABC滿意sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(2)－1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)＋1)，試用以上給出的公式求得△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),4) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),4) D．eq\f(\r(5),2)[解析]因?yàn)閟inA∶sinB∶sinC＝(eq\r(2)－1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)＋1)，所以由正弦定理得a∶b∶c＝(eq\r(2)－1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)＋1)，又a＋b＋c＝2eq\r(2)＋eq\r(5)，所以a＝eq\r(2)－1，b＝eq\r(5)，c＝eq\r(2)＋1，則ac＝2－1＝1，c2＋a2－b2＝6－5＝1，故S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))\s\up12(2))))＝eq\f(1,2)eq\r(1－\f(1,4))＝eq\f(\r(3),4)，故選A.[答案]A挖掘2多邊形問題/互動探究[例2]如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝eq\f(3,4)π，AB⊥AD，AB＝1.(1)若AC＝eq\r(5)，求△ABC的面積；(2)若∠ADC＝eq\f(π,6)，CD＝4，求sin∠CAD.[解析](1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋eq\r(2)BC，解得BC＝eq\r(2)，所以△ABC的面積S△ABC＝eq\f(1,2)AB×BC×sin∠ABC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).(2)設(shè)∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，即eq\f(AC,sin\f(π,6))＝eq\f(4,sinθ)，①在△ABC中，∠BAC＝eq\f(π,2)－θ，∠BCA＝π－eq\f(3π,4)－(eq\f(π,2)－θ)＝θ－eq\f(π,4)，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，即eq\f(AC,sin\f(3π,4))＝eq\f(1,sin（θ－\f(π,4)）)，②①②兩式相除，得eq\f(sin\f(3π,4),sin\f(π,6))＝eq\f(\f(4,sinθ),\f(1,sin（θ－\f(π,4)）))，即4(eq\f(\r(2),2)sinθ－eq\f(\r(2),2)cosθ)＝eq\r(2)sinθ，整理得sinθ＝2cosθ.又sin2θ＋cos2θ＝1，故sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，即sin∠CAD＝eq\f(2\r(5),5).[破題技法]1.把所供應(yīng)的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解．2．找尋各個三角形之間的聯(lián)系，交叉運(yùn)用公共條件，求出結(jié)果，求解時要敏