2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.4數(shù)列的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)1

PAGE5.4數(shù)列的應(yīng)用關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一等差數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例】1.(2024·駐馬店高二檢測(cè))朱世杰是中國歷史上最宏大的數(shù)學(xué)家之一,他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題:“今有官司差夫一千六百二十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日轉(zhuǎn)多八人.其大意為“官府接連派遣1624人前往修筑堤壩,第一天派出64人,從其次天起先每天派出的人數(shù)比前一天多8人”,則在該問題中的1624人全部派遣到位須要的天數(shù)為()A.12 B.14 C.16 D.182.(2024·全國Ⅱ卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊,已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石) ()A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊3.(2024·煙臺(tái)高二檢測(cè))《九章算術(shù)》是我國古代的一本數(shù)學(xué)名著.全書為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章,收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題.在第六章“均輸”中有這樣一道題目:“今有五人分五錢,且五人所得錢按序等次差,令上二人所得與下三人等,問各得幾何?”在此題中,隨意兩人所得的最大差值為多少?【解析】1.選B.依據(jù)題意設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列{an},分析可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=64,公差d=8的等差數(shù)列,設(shè)1624人全部派遣到位須要的天數(shù)為n,則64n+QUOTE×8=1624,由n為正整數(shù),解得n=14.2.選C.設(shè)每一層有n環(huán),由題可知從內(nèi)到外每環(huán)的扇面形石板數(shù)之間構(gòu)成等差數(shù)列QUOTE,且公差d=9,首項(xiàng)a1=9,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列,且QUOTE-QUOTE=n2d,由題意得qn2=729,所以n=9,則三層共有扇面形石板為S3n=S27=27×9+QUOTE×9=3402(塊).3.設(shè)每人分到的錢數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an},公差d>0,由題意可得a1+a2+a3=a4+a5,S5=5,故3a1+3d=2a1+7d,5a1+10d=5,解可得a1=QUOTE,d=QUOTE,故隨意兩人所得的最大差值4d=QUOTE.【類題·通】關(guān)于等差數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用首先留意遞增(遞減)方式,一般依據(jù)肯定數(shù)值遞增(遞減)的為等差數(shù)列;其次留意分析數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù),是求和還是求項(xiàng).類型二等比數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例】已知衡量病毒傳播實(shí)力的最重要指標(biāo)叫做傳播指數(shù)RO.它指的是,在自然狀況下(沒有外力介入,同時(shí)全部人都沒有免疫力),一個(gè)感染到某種傳染病的人,會(huì)把疾病傳染給多少人的平均數(shù).它的簡(jiǎn)潔計(jì)算公式是RO=1+確診病例增長(zhǎng)率×系列間隔,其中系列間隔是指在一個(gè)傳播鏈中,兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間(單位:天).依據(jù)統(tǒng)計(jì),確診病例的平均增長(zhǎng)率為40%,兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間的平均數(shù)5天,依據(jù)以上RO數(shù)據(jù)計(jì)算:(1)設(shè)第n輪的感染人數(shù)為an,求出an的表達(dá)式,并說明數(shù)列QUOTE的特征;(2)若甲得這種傳染病,則5輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為多少?【思維·引】(1)首先依據(jù)公式計(jì)算出RO,再依據(jù)疾病傳染的方式求an,并推斷數(shù)列的特征.(2)依據(jù)數(shù)列學(xué)問求和.【解析】(1)由題意知,RO=1+40%×5=3,第n輪的感染人數(shù)為an=3×3n-1=3n,可以看出,QUOTE是等比數(shù)列.(2)5輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為:3+32+33+34+35=QUOTE=363(人).【類題·通】關(guān)于等比數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用(1)首先留意增長(zhǎng)(衰減)方式,一般依據(jù)肯定比例倍增(倍減)的為等比數(shù)列;其次留意分析數(shù)列的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù),是求和還是求項(xiàng).(2)等額本息還款法中的數(shù)量關(guān)系設(shè)貸款時(shí)資金A0為現(xiàn)值,利率為r,分m期還清,每一期所還錢數(shù)為x,則x=QUOTE.【習(xí)練·破】剛上班不久的小明于10月5日在某電商平臺(tái)上通過零首付購買了一部售價(jià)6000元的手機(jī),約定從下月5日起先,每月5日按等額本息(每期以相同的額度償還本金和利息)還款a元,1年還清;其中月利率為0.5%,則小明每月還款數(shù)a=________元(精確到個(gè)位).(參考數(shù)據(jù):1.00511≈1.056;1.00512≈1.062;1.00513≈1.067)

【解析】由題意,小明第1次還款a元后,還欠本金及利息為6000(1+0.5%)-a元;第2次還款a元后,還欠本金及利息為6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a元;第3次還款a元后,還欠本金及利息為6000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a元;……則第12次還款a元后,還欠本金及利息為6000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-a(1+0.5%)10-…-a(1+0.5%)-a元;此時(shí)已全部還清,則6000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-a(1+0.5%)10-…-a(1+0.5%)-a=0,即6000(1+0.5%)12=QUOTE,QUOTE≈QUOTE≈514元.答案:514類型三與數(shù)列有關(guān)的綜合性問題【典例】(2024·楊浦區(qū)高二檢測(cè))某地出現(xiàn)了蟲害,農(nóng)業(yè)科學(xué)家引入了“蟲害指數(shù)”數(shù)列{In},{In}表示第n周的蟲害的嚴(yán)峻程度,蟲害指數(shù)越大,嚴(yán)峻程度越高,為了治理蟲害,須要環(huán)境整治、殺滅害蟲,然而由于人力資源有限,每周只能實(shí)行以下兩個(gè)策略之一;策略A:環(huán)境整治,“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿意QUOTE=1.02In-0.20;策略B:殺滅害蟲,“蟲害指數(shù)“數(shù)列滿意QUOTE=1.08In-0.46;(1)設(shè)第一周的蟲害指數(shù)I1∈[1,8],用哪一個(gè)策略將使其次周的蟲害的嚴(yán)峻程度更小?(2)設(shè)第一周的蟲害指數(shù)I1=3,假如每周都采納最優(yōu)的策略,蟲害的危機(jī)最快在第幾周解除?【解析】(1)策略A:QUOTE=1.02In-0.20,策略B:QUOTE=1.08In-0.46,當(dāng)1.02I1-0.20=1.08I1-0.46時(shí),可得I1=QUOTE,當(dāng)I1=QUOTE時(shí),兩者相等,當(dāng)I1∈QUOTE時(shí),策略B的I2更小;當(dāng)I1∈(QUOTE,8]時(shí),策略A的I2更小.(2)當(dāng)I1=3時(shí),選擇策略B,當(dāng)In=0時(shí),則-QUOTE=QUOTE·1.08n-1,可得QUOTE=1.08n-1,所以n=QUOTE+1≈11,所以蟲害的危機(jī)最快在第11周解除.【類題·通】關(guān)于數(shù)列在實(shí)際問題中的綜合應(yīng)用首先留意分清涉及的數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,其次是留意解題時(shí)要結(jié)合數(shù)列中通項(xiàng)公式、求和公式、遞推關(guān)系、單調(diào)性等學(xué)問.【習(xí)練·破】某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念,大力開展植樹造林.假設(shè)一片森林原來的面積為a畝,安排每年種植一些樹苗,且森林面積的年增長(zhǎng)率相同,當(dāng)面積是原來的2倍時(shí),所用時(shí)間是10年.(1)求森林面積的年增長(zhǎng)率;(2)到今年為止,森林面積為原來的QUOTE倍,則該地已經(jīng)植樹造林多少年?(3)為使森林面積至少達(dá)到6a畝,至少須要植樹造林多少年?(參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】(1)設(shè)森林面積的年增長(zhǎng)率為x,則a(1+x)10=2a,解得x=QUOTE-1,所以森林面積的年增長(zhǎng)率為:QUOTE-1;(2)設(shè)已經(jīng)植樹造林n年,則由題意可知:a(1+x)n=QUOTEa,所以a×QUOTE=QUOTEa,所以QUOTE=QUOTE,所以n=5,所以已經(jīng)植樹造林5年.(3)設(shè)為使森林面積至少達(dá)到6a畝,須要植樹造林m年,則a(1+x)m≥6a,所以QUOTE≥6,所以QUOTE≥log26=QUOTE=QUOTE,所以m≥10×QUOTE≈26,故為使森林面積至少達(dá)到6a畝,至少須要植樹造林26年.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.我國北方某地區(qū)長(zhǎng)期受到沙塵暴的困擾.2024年,為響應(yīng)黨中心提出的“防治土地荒漠化助力脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)”的號(hào)召,當(dāng)?shù)卣鲃?dòng)行動(dòng),安排實(shí)現(xiàn)本地區(qū)的荒漠化土地面積每年平均比上年削減10%.已知2024年該地區(qū)原有荒漠化土地面積為7萬平方公里,則2025年該地區(qū)的荒漠化土地面積(單位:萬平方公里)為()A.7×0.94 7×0.95C.7×0.96 7×0.97【解析】選C.設(shè)從2024年后的第n年的沙漠化土地面積為y,則y=7×(1-10%)n,故2025年的沙漠化土地面積為7×0.96.2.(教材練習(xí)改編)《九章算術(shù)》有如下問題:“今有金棰,長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤;斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?意思是:“現(xiàn)在有一根金棰,長(zhǎng)五尺,在粗的一端截下一尺,重4斤;在細(xì)的一端截下一尺,重2斤,問各尺依次重多少?”假設(shè)金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量依次成等比數(shù)列,則從粗端起先的第三尺的質(zhì)量是 ()A.2QUOTE斤 B.2QUOTE斤 C.2QUOTE斤 D.3斤【解析】選A.由題意知,金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量依次成等比數(shù)列,在這個(gè)等比數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=4,則a5=2,所以a3=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.即從粗端起先的第三尺的質(zhì)量是2QUOTE斤.3.2024年度,國內(nèi)某電信企業(yè)甲投入科研經(jīng)費(fèi)115億美元,國外一家電信企業(yè)乙投入科研經(jīng)費(fèi)156億美元.從2024年起先,若企業(yè)甲的科研經(jīng)費(fèi)每年增加x%,安排用3年時(shí)間超過企業(yè)乙的年投入量(假設(shè)企業(yè)乙每年的科研經(jīng)費(fèi)投入量不變).請(qǐng)寫出一個(gè)不等式來表達(dá)題目中所描述的數(shù)量關(guān)系:________.(所列的不等式無需化簡(jiǎn))

【解析】由題意可得:115(1+x%)3>156.答案:115(1+x%)3>1564.假設(shè)一個(gè)人的日薪按這樣的方式增長(zhǎng),第一