江西省南昌市進(jìn)賢一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

江西省南昌市進(jìn)賢一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（）A.4 B.2C.1 D.2．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面B.一條直線(xiàn)和一個(gè)點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面C.兩條平行直線(xiàn)與同一條直線(xiàn)相交，三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)D.空間兩兩相交的三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)3．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件4．2013年9月7日，總書(shū)記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講在談到環(huán)境保護(hù)問(wèn)題時(shí)提出“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論新．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬(wàn)元，以后每年投入資金比上一年增加20萬(wàn)元，從2021年開(kāi)始每年投入資金比上一年增加10%，到2025屆底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（）（其中，，）A.2559萬(wàn)元 B.2969萬(wàn)元C.3005萬(wàn)元 D.3040萬(wàn)元5．直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.6．過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為（）A B.C. D.7．“”是“圓與軸相切”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.1989．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里10．已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且垂直于x軸．若直線(xiàn)AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.11．展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A.6 B.C.24 D.12．橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|=4，則∠F1PF2的余弦值為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖：二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，則的長(zhǎng)等于__________.14．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)________15．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，則＝______16．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取___________件三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，的面積為1.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).18．（12分）如圖，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若點(diǎn)P為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱上，且直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)19．（12分）已知圓，直線(xiàn)（1）當(dāng)直線(xiàn)與圓相交，求的取值范圍；（2）當(dāng)直線(xiàn)與圓相交于、兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線(xiàn)的方程20．（12分）保護(hù)生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境，某地區(qū)從2016年開(kāi)始大力提倡新能源汽車(chē)，每年抽樣1000汽車(chē)調(diào)查，得到新能源汽車(chē)y輛與年份代碼x年的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代碼第x年12345新能源汽車(chē)y輛305070100110（1）建立y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；（2）假設(shè)該地區(qū)2022年共有30萬(wàn)輛汽車(chē)，用樣本估計(jì)總體來(lái)預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年有多少新能源汽車(chē)參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，21．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，試問(wèn)拋物線(xiàn)上是否存在定點(diǎn)使得直線(xiàn)與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由22．（10分）已知拋物線(xiàn)：上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為5.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）已知為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，若的面積為6，求點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則由已知條件列方程組可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），由題意得，且，即，，因?yàn)?，所以，，故選：D2、C【解析】根據(jù)確定平面的條件可對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)A，如果三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，如果這個(gè)點(diǎn)在這條直線(xiàn)上，就不能確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，兩條平行直線(xiàn)確定一個(gè)平面，一條直線(xiàn)與這兩條平行直線(xiàn)都相交，則這條直線(xiàn)就在這兩條平行直線(xiàn)確定的一個(gè)平面內(nèi)，故這三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)，C正確；對(duì)D，空間兩兩相交的三條直線(xiàn)可確定一個(gè)平面，也可確定三個(gè)平面，故D錯(cuò)誤.故選：C3、D【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，即，當(dāng)時(shí)，，但的符號(hào)不確定，所以充分性不成立；反之當(dāng)時(shí)，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.4、B【解析】前7年投入資金可看成首項(xiàng)為160，公差為20的等差數(shù)列，后4年投入資金可看成首項(xiàng)為260，公比為1.1的等比數(shù)列，分別求和，即可求出所求【詳解】2014年投入資金160萬(wàn)元，以后每年投入資金比上一年增加20萬(wàn)元，成等差數(shù)列，則2020年投入資金萬(wàn)元，年共7年投資總額為，從2021年開(kāi)始每年投入資金比上一年增加，則從2021年到2025屆投入資金成首項(xiàng)為，公比為1.1，項(xiàng)數(shù)為4的等比數(shù)列，故從2021年到2025屆投入總資金為，故到2025屆底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為萬(wàn)元故選：5、A【解析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離，所以弦長(zhǎng)為.故選：A.6、C【解析】設(shè)與雙曲線(xiàn)有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的值，即可的解.【詳解】設(shè)與雙曲線(xiàn)有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為，代入點(diǎn)，得，解得，所以所求雙曲線(xiàn)方程為，即故選：C.7、A【解析】根據(jù)充分不必要條件的定義和圓心到軸的距離求出可得答案.【詳解】時(shí)，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，此時(shí)圓與軸相切；當(dāng)圓與軸相切時(shí)，因?yàn)閳A的半徑為2，所以圓心到軸的距離為，所以，“”是“圓與軸相切”的充分不必要條件故選：A8、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時(shí)，該數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，最大值為，故選：A9、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B10、D【解析】根據(jù)題意表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線(xiàn)AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，得，由題意可得點(diǎn)在第一象限，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)AB的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D11、A【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式中第3項(xiàng)，所以展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.故選：A.12、B【解析】根據(jù)題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中則，則有|F1F2|=2，若a=3，則|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，則|PF2|=6-|PF1|=2，則cos∠F1PF2==.故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，二面角等于，根據(jù)，結(jié)合向量的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，二面角等于，可得向量，，因?yàn)?，可?所以.故答案為：14、【解析】求導(dǎo)，求出切線(xiàn)斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)即可.【詳解】，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即故答案為：15、3【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，可得的值，根據(jù)點(diǎn)M在切線(xiàn)上，可求得的值，即可得答案.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，又在切線(xiàn)上，所以，則=3，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查分析理解的能力，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件，用分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取個(gè)數(shù)為件.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線(xiàn)方程；(2)方法一：聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，結(jié)合條件三點(diǎn)共線(xiàn)，可證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，方法二：聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)求，由垂直與軸列方程化簡(jiǎn)，可證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，即，，因?yàn)?，故解得，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，得，所以，由（1）可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，若時(shí)，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，即，又因?yàn)?，，化?jiǎn)可得，又，進(jìn)而可得，整理得，因?yàn)樗裕藭r(shí)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)又直線(xiàn)也過(guò)點(diǎn)，綜上：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)解法二：設(shè)方程，得若直線(xiàn)斜率存在時(shí)斜率方程為即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直線(xiàn)方程為直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).若直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，M點(diǎn)坐標(biāo)為此時(shí)直線(xiàn)方程為過(guò)點(diǎn)綜上：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】解決直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、拋物線(xiàn)的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題18、（1），（2）【解析】（1）推導(dǎo)出，以A為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值；（2）設(shè)，則，求出平面的法向量，利用空間向量求出的長(zhǎng)【詳解】解（1）在直四棱柱中，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以因?yàn)?，所以以A為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所?所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為（2）設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的大小為，因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成角的正弦值為，所以，解得或（舍去）所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查二面角的求法，考查線(xiàn)段長(zhǎng)的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等知識(shí)，考查運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，屬于中檔題19、（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，利用幾何法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)勾股定理求出圓心到直線(xiàn)的距離，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的值，即可求出直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相交，則，解得.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，則圓心到直線(xiàn)的距離為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，整理得，解得或.所以，直線(xiàn)的方程為或.20、（1）（2）46800【解析】（1）第一步分別算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.（2）由第一問(wèn)的結(jié)果，帶入方程即可算出預(yù)估的結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，，，因?yàn)?，所以，所以【小?wèn)2詳解】預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年抽樣1000汽車(chē)調(diào)查中新能源汽車(chē)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，該地區(qū)2022年共有30萬(wàn)輛汽車(chē)，所以新能源汽車(chē).21、（1）（2）存在，【解析】（1）利用拋物線(xiàn)的焦半徑公式求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得p,可得答案;（2）根據(jù)題意可設(shè)直線(xiàn)方程，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，利用直線(xiàn)與的斜率互為倒數(shù)列出等式，化簡(jiǎn)可得結(jié)論.