2025屆江西省上饒市鉛山一中、橫峰中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆江西省上饒市鉛山一中、橫峰中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，則的最小值是（）A.2 B.C.4 D.2．指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.3．平行四邊形中，，，，點(diǎn)滿足，則A.1 B.C.4 D.4．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)取值范圍為A. B.C. D.5．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，且,其中，，分別是，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③面；④面，其中恒成立的為（）A.①③ B.③④C.①④ D.②③6．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.7．某幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形網(wǎng)格的邊長為），則該幾何體的體積是A. B.C. D.8．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：①若m∥α，m∥β，則α∥β②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③m?α，n?β，m、n是異面直線，那么n與α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β其中正確的命題是（）A.①② B.②③C.③④ D.④9．函數(shù)的最小正周期是（）A.1 B.2C. D.10．已知平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，則三棱錐的體積是______12．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為___________.13．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)如果對(duì)，，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______14．函數(shù)最大值為__________15．設(shè)向量，，則__________16．將正方形沿對(duì)角線折成直二面角，有如下四個(gè)結(jié)論：①；②是等邊三角形；③與所成的角為，④取中點(diǎn)，則為二面角的平面角其中正確結(jié)論是__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)函數(shù).（1）若，且均為正實(shí)數(shù)，求的最小值，并確定此時(shí)實(shí)數(shù)的值；（2）若滿足在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知,,，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若,求的值；（2）若,且，求.19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，（1）求的值；（2）將射線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，求的值；（3）若點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，求的值.20．如圖是函數(shù)的部分圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，，求.21．設(shè)矩形的周長為，其中，如圖所示，把它沿對(duì)角線對(duì)折后，交于點(diǎn).設(shè)，.（1）將表示成的函數(shù)，并求定義域；（2）求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算可得,,再由以及基本不等式可得.【詳解】因?yàn)?所以,所以,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算,基本不等式求最值,屬于中檔題.2、D【解析】由已知條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：D3、B【解析】選取，為基向量，將，用基向量表示后，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解數(shù)量積.【詳解】，，，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的運(yùn)算法則以及向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬中檔題．向量的運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.4、B【解析】分別求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的關(guān)系式，解出即可.【詳解】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由，可得，當(dāng)時(shí)，，由，可得，對(duì)任意，，對(duì)于函數(shù)，，，，對(duì)于，使得，對(duì)任意，總存在，使得成立，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的最值、全稱量詞與存在量詞的應(yīng)用.屬于難題.解決這類問題的關(guān)鍵是理解題意、正確把問題轉(zhuǎn)化為最值和解不等式問題，全稱量詞與存在量詞的應(yīng)用共分四種情況：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.5、A【解析】分析：如圖所示，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接EM，EN（1）由正四棱錐S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，進(jìn)而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，利用三角形的中位線可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，進(jìn)而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP;（2）由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反證法證明：當(dāng)P與M不重合時(shí)，EP與平面SAC不垂直詳解：如圖所示，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接EM，EN對(duì)于（1），由正四棱錐S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正確對(duì)于（2），由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EP∥BD，因此不正確；對(duì)于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正確對(duì)于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM=E相矛盾，因此當(dāng)P與M不重合時(shí)，EP與平面SAC不垂直．即不正確故選A點(diǎn)睛：本題考查了空間線面、面面的位置關(guān)系判定，屬于中檔題．對(duì)于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進(jìn)行排除，判斷.還可以畫出樣圖進(jìn)行判斷，利用常見的立體圖形，將點(diǎn)線面放入特殊圖形，進(jìn)行直觀判斷.6、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號(hào)，即可判斷選擇.詳解：令，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí)，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)7、A【解析】利用已知條件，畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：是直四棱柱，底面是直角梯形，上底為：1，下底為2，高為2，棱柱的高為2，幾何體的體積為：V6故選A【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的直觀圖與三視圖的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力8、D【解析】利用平面與平面垂直和平行的判定和性質(zhì)，直線與平面平行的判斷，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可【詳解】①若m∥α，m∥β，則α∥β或α與β相交，錯(cuò)誤命題；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β或α與β相交．錯(cuò)誤的命題；③m?α，n?β，m、n是異面直線，那么n與α相交,也可能n∥α，是錯(cuò)誤命題；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β．是正確的命題故選D【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象力，屬于中檔題.9、A【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期；故選：A10、A【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)，可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，即，解得，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)錐體的體積公式，找到并求出三棱錐的高及底面面積即可求解.【詳解】由題意可知該三棱錐為棱長為2的正方體的一個(gè)角，如圖所示：所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查錐體體積公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的大致圖像，再將整理變形，然后將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題解決.【詳解】由題意得，即或，的圖象如圖所示，關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則或，解得，故答案為：13、【解析】先求出時(shí)，，，然后解不等式，即可求解，得到答案【詳解】由題意，可知時(shí)，為增函數(shù)，所以，又是上的奇函數(shù)，所以時(shí)，，又由在上的最大值為，所以，，使得，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定與應(yīng)用，以及函數(shù)的最值的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、3【解析】分析:利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求已知函數(shù)的最大值.詳解：由題得當(dāng)=1時(shí)，函數(shù)取最大值2×1+1=3.故答案為3.點(diǎn)睛：本題主要考查正弦型函數(shù)的最大值，意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.15、【解析】，故，故填.16、①②④【解析】如圖所示，取中點(diǎn)，則，，所以平面，從而可得，故①正確；設(shè)正方形邊長為，則，所以，又因?yàn)椋允堑冗吶切?，故②正確；分別取，的中點(diǎn)為，，連接，，．則，且，，且，則是異面直線，所成的角在中，，，∴則是正三角形，故，③錯(cuò)誤；如上圖所示，由題意可得：，則,由可得，據(jù)此可知：為二面角的平面角，說法④正確.故答案為：①②④.點(diǎn)睛：(1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的最小值為3，此時(shí)；（2）【解析】（1）由可得，則由結(jié)合基本不等式即可求出；（2）不等式恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立，利用判別式可得對(duì)恒成立，再利用判別式即可求出的范圍.【詳解】（1），則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為3，此時(shí)；（2），則，即對(duì)恒成立，則，即對(duì)恒成立，則，解得.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查一元二次不等式的恒成立問題，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】（1）由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算列式直接求解即可；（2）先求得的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示向量的模長，列方程求得，從而得，利用向量坐標(biāo)表示數(shù)量積即可得解.【詳解】（1）依題，，因，所以，所以（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，包括共線、模長、數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）（3）【解析】（1）由三角函數(shù)的定義得到，再根據(jù)且點(diǎn)在第一象限，即可求出；（2）依題意可得，再由（1），即可得解；（3）首先求出的坐標(biāo)，連接交軸于點(diǎn)，即可得到，再利用二倍角公式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：因?yàn)榻墙K邊與單位圓交于點(diǎn)，且，由三角函數(shù)定義，得.因?yàn)?，所?因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以.【小問2詳解】解：因?yàn)樯渚€繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?【小問3詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.連接交軸于點(diǎn)，所以.所以.所以的值是.20、（1）（2）【解析】（1）由圖象得到，且，得到，結(jié)合五點(diǎn)法，列出方程求得，即可得到函數(shù)的解析式；（2）由題意，求得，，結(jié)合利用兩角和的正弦公式，即可求解.【小問1詳解】解：由圖象可得，函數(shù)的最大值為，可得，又由，可得，所以，所以，又由圖可知是五點(diǎn)作圖法中的第三個(gè)點(diǎn)，因?yàn)椋傻?，因?yàn)椋?，所?【小問2詳解】解：因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)椋?，由，則，有，所以.21、（1），；（2）【解析】（1）由題意得，則，根據(jù)，可得，所以，化簡整理，即可求得y與x的關(guān)