山西省忻州市岢嵐縣中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

山西省忻州市岢嵐縣中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.2．某流行病調(diào)查中心的疾控人員針對(duì)該地區(qū)某類只在人與人之間相互傳染的疾病，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查與傳染源傳播途徑有關(guān)的蛛絲馬跡，根據(jù)傳播鏈及相關(guān)數(shù)據(jù)，建立了與傳染源相關(guān)確診病例人數(shù)與傳染源感染后至隔離前時(shí)長(zhǎng)t（單位：天）的模型：.已知甲傳染源感染后至隔離前時(shí)長(zhǎng)為5天，與之相關(guān)確診病例人數(shù)為8；乙傳染源感染后至隔離前時(shí)長(zhǎng)為8天，與之相關(guān)確診病例人數(shù)為20.若某傳染源感染后至隔離前時(shí)長(zhǎng)為兩周，則與之相關(guān)確診病例人數(shù)約為（）A.44 B.48C.80 D.1253．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）A. B.C. D.14．已知集合，，則（）A. B.C. D.5．已知是第三象限角，，則A. B.C. D.6．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是A. B.C. D.7．若，且，則（）A. B.C. D.8．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)<f的x的取值范圍是（）A. B.C. D.9．設(shè)a>0且a≠1，則“函數(shù)fx=ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)gxA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓：,為圓上一點(diǎn),、、,則的最大值為_(kāi)_____.12．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱③的圖象向左平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象④的最小正周期為，且在上為增函數(shù)其中正確的序號(hào)為_(kāi)_______.（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）13．已知，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是__________.14．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則________.15．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為_(kāi)_____16．設(shè)點(diǎn)A(2，－3)，B(－3，－2)，直線過(guò)P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；（2）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)嗎？為什么？18．如圖，動(dòng)物園要建造一面靠墻的兩間相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長(zhǎng)是用寬（單位）表示所建造的每間熊貓居室的面積（單位）；怎么設(shè)計(jì)才能使所建造的每間熊貓居室面積最大？并求出每間熊貓居室的最大面積？19．圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的弦.（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，寫(xiě)出直線的方程.20．已知函數(shù)，不等式解集為，設(shè)（1）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．已知，向量，，記函數(shù)，且函數(shù)的圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】先判斷函數(shù)為偶函數(shù)排除；再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，排除得到答案.【詳解】，偶函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)，，排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，通過(guò)函數(shù)的奇偶性和特殊函數(shù)點(diǎn)可以排除選項(xiàng)快速得到答案.2、D【解析】根據(jù)求得，由此求得的值.【詳解】依題意得，，，所以.故若某傳染源感染后至隔離前時(shí)長(zhǎng)為兩周，則相關(guān)確診病例人數(shù)約為125.故選：D3、B【解析】令，轉(zhuǎn)化為有唯一零點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，令，則為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱性，則，解得，故選：B4、B【解析】直接利用交集運(yùn)算法則得到答案.【詳解】，，則故選：【點(diǎn)睛】本題考查了交集的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.5、D【解析】利用條件以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，求得sinα的值【詳解】∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，得sinα，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】將函數(shù)y=sin(x－)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=sin(x－)，再向左平移個(gè)單位得到的解析式為y=sin(（x+）－)=y=sin(x－)，故選C7、D【解析】根據(jù)給定條件，將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式，再借助換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)椋谑堑?，，又因?yàn)?，則有，即，因此，，而，解得，所以.故選：D8、A【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，求解即可.【詳解】∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(|x|)．則f(|2x－1|)<f.又∵f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴|2x－1|<，解得<x<.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬綜合基礎(chǔ)題.9、A【解析】函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出0<a<1；函數(shù)g(x)=(4-a)?x在R上是增函數(shù)，得出0<a<4且【詳解】函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)，則函數(shù)g(x)=(4-a)?x在R上是增函數(shù)，則4-a>0，而a>0且a≠1，解得：0<a<4且a≠1，故“函數(shù)fx=ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)gx故選：A.10、D【解析】根據(jù)給定條件利用對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列式求解作答.【詳解】函數(shù)中，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、53【解析】設(shè),則,從而求出,再根據(jù)的取值范圍,求出式子的最大值.【詳解】設(shè),因?yàn)闉閳A上一點(diǎn),則,且,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值),故答案為:53.【點(diǎn)睛】本題屬于圓與距離的應(yīng)用問(wèn)題,主要考查代數(shù)式的最值求法.解決此類問(wèn)題一是要將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)式;二是要確定代數(shù)式中變量的取值范圍.12、③【解析】利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性判斷①②的正誤，利用平移變換判斷③的正誤，利用周期性與單調(diào)性判斷④的正誤.【詳解】解：對(duì)于①，因?yàn)閒（）＝sinπ＝0，所以不是對(duì)稱軸，故①錯(cuò)；對(duì)于②，因?yàn)閒（）＝sin，所以點(diǎn)不是對(duì)稱中心，故②錯(cuò)；對(duì)于③，將把f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)為y＝sin[2（x）]＝sin（2x）＝cos2x，所以得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象；對(duì)于④，因?yàn)槿魓∈[0，]，則，所以f（x）在[0，]上不單調(diào)，故④錯(cuò)；故正確的結(jié)論是③故答案為③【點(diǎn)睛】此題考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱性、三角函數(shù)平移的規(guī)律、整體角處理的方法，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵三、13、9【解析】利用求的最小值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)，不等式恒成立，則m≤9，故m的最大值為9.故答案為：9.14、【解析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)，結(jié)合即可求函數(shù)值.【詳解】由題意知：角在第一象限，且終邊過(guò)，∴.故答案為：.15、【解析】令，轉(zhuǎn)化條件為方程有解，運(yùn)算可得【詳解】令，則，化簡(jiǎn)得，所以，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以得最小值為.故答案為：.16、k≥或k≤－4【解析】算出直線PA、PB的斜率，并根據(jù)斜率變化的過(guò)程中求得斜率的取值范圍詳解】直線PA的斜率為，同理可得PB的斜率為直線過(guò)點(diǎn)且與AB相交直線的斜率取值范圍是k≥或k≤－4故答案為k≥或k≤－4三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）不是單調(diào)函數(shù)，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式在給定區(qū)間內(nèi)任取，判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，即可說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性.（2）利用三元基本不等式求在上的最值并確定等號(hào)成立的條件，即可判斷的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，且，任取，則，又，，，，即，∴，即，∴函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，顯然在的兩側(cè)單調(diào)性不同.∴在上不是單調(diào)函數(shù).18、（1）（2）使每間熊貓居室的寬為，每間居室的長(zhǎng)為15m時(shí)所建造的每間熊貓居室面積最大；每間熊貓居室的最大面積為150【解析】（1）根據(jù)周長(zhǎng)求出居室的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形面積公式得函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)實(shí)際意義確定定義域（2）根據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定最值取法：在對(duì)稱軸處取最大值試題解析：解：（1）設(shè)熊貓居室的寬為（單位），由于可供建造圍墻的材料總長(zhǎng)是，則每間熊貓居室的長(zhǎng)為（單位m）所以每間熊貓居室的面積又得（2）二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸且，當(dāng)時(shí)，，所以使每間熊貓居室的寬為，每間居室的長(zhǎng)為15m時(shí)所建造的每間熊貓居室面積最大；每間熊貓居室的最大面積為150點(diǎn)睛：在建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題中的最優(yōu)問(wèn)題時(shí)，一定要注意自變量的取值范圍，需根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域在坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解．解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，最后還要還原到實(shí)際問(wèn)題19、（1）；（2）.【解析】（1）求出直線AB的斜率即可寫(xiě)出其點(diǎn)斜式方程，利用勾股定理可求得弦長(zhǎng)；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，AB與垂直，由此可求出直線AB的斜率，寫(xiě)出其點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）依題意，直線AB的斜率為，又直線AB過(guò)點(diǎn)，所以直線AB的方程為：，圓心到直線AB的距離為，則，所以；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，AB與垂直，因?yàn)椋?，直線AB的點(diǎn)斜式方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程、直線截圓所得弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）【解析】（1）由不等式的解集為可知是方程的兩個(gè)根，即可求出，根據(jù)的單調(diào)性求出其在的最大值，即可得出m的范圍；（2）方程可化為，令，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可列出不等式求解.【詳解】（1）∵不等式的解集為∴，是方程的兩個(gè)根∴，解得．∴則∴存在，使不等式成立，等價(jià)于在上有解，而在時(shí)單調(diào)遞增，∴∴的取值范圍為（2）原方程可化為令，則，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，其中，，或，記，則①，解得或②，不等式組②無(wú)實(shí)數(shù)解∴實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解集與方程的根的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性，考