高三數(shù)學(xué)模擬試題解析版

高考模擬試題PAGEPAGE1高三數(shù)學(xué)一模模擬試題2023.2.7一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.4 B. C.16 D.17〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗解方程求，再求即可.〖詳析〗因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以.故選：D.2．已知集合，則（）A．B．C．D．2．〖解析〗A〖解析〗對(duì)A：，所以，故；對(duì)B：，所以．故；所以，故選A．3．下列說法正確的是（）A．“”是“”的充要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“”的否定形式是“”D．“”是“”的充分不必要條件3．〖答案〗B〖解析〗對(duì)A，若中，時(shí)也成立，故A錯(cuò)；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，故，若，則，故B對(duì)；對(duì)C，存在量詞命題的否定是，故C錯(cuò)；對(duì)D，若均為負(fù)數(shù)，則無意義，故D錯(cuò)．4.紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái),如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:cm）,現(xiàn)在向這個(gè)空石瓢壺中加入（約）的礦泉水后,問石瓢壺內(nèi)水深約（）cmA.2.8 B.2.9 C.3.0 D.3.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗取圓臺(tái)的中軸面,補(bǔ)全為一個(gè)三角形,根據(jù)三角形相似,找到加入礦泉水后水面的半徑和水深的關(guān)系,根據(jù)圓臺(tái)體積為,列出等式,解出即可.〖詳析〗解:由題知礦泉水的體積為,將圓臺(tái)的中軸面拿出,補(bǔ)全為一個(gè)三角形如圖所示:加入礦泉水后,記石瓢壺內(nèi)水深為,水平面半徑為,由圖可知,所以有即,解得,由,得,即解得:,故加入礦泉水后圓臺(tái)的體積為:,解得,所以.故選:C5.已知函數(shù)則函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分段求出函數(shù)的〖解析〗式，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得〖答案〗.〖詳析〗當(dāng)，即時(shí)，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；當(dāng)，即時(shí)，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得B正確；故選：B6．已知平面向量滿足，且，則的最大值為（）A．B．C．D．6．〖答案〗C〖解析〗由可知，如圖建立坐標(biāo)系，，設(shè)，由可得：，所以的終點(diǎn)在以為圓心．1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選C7.若正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及得到或，分別討論兩種情況下四個(gè)選項(xiàng)是否正確，A選項(xiàng)可以用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，B選項(xiàng)可以用作差法，C選項(xiàng)用作差法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，D選項(xiàng)，需要構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.〖詳析〗因?yàn)?，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；，故；，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故；，；故ABC均錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，兩邊取自然對(duì)數(shù)，，因?yàn)椴还?，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，結(jié)論得證，D正確故選：D8.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，（），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.數(shù)列為等比數(shù)列〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗D選項(xiàng)，計(jì)算出，故不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，計(jì)算出的前三項(xiàng)，得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題干條件得到，故為等比數(shù)列，得到，故，，……，，相加即可求出，C錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，在的基礎(chǔ)上，分奇偶項(xiàng)，分別得到通項(xiàng)公式，最后求出.〖詳析〗由題意得：，，由于，故數(shù)列不是等比數(shù)列，D錯(cuò)誤；則，，，由于，故數(shù)列不等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；時(shí)，，即，又，故為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3，故，故，，……，，以上20個(gè)式子相加得：，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符和該式，故，令得：，當(dāng)時(shí)，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符號(hào)該式，故，令得：，綜上：，A正確.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題中，真命題的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8B.若回歸方程為，則變量y與x負(fù)相關(guān)C.甲同學(xué)所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為200的一個(gè)樣本，則甲被抽到的概率為D.在線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好〖答案〗AB〖解析〗若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，A項(xiàng)正確；，，則變量y與x負(fù)相關(guān)，B項(xiàng)正確；根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣概率均等可知，某校高三共有5003人，抽取容量為200的一個(gè)樣本，則甲被抽到的概率為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；在線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)越大，則模型的擬合效果越好，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則（）A.在上是減函數(shù) B.C.是奇函數(shù) D.在上有4個(gè)零點(diǎn)〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗A選項(xiàng)，代入檢驗(yàn)，得到在上單調(diào)遞減，A正確；B選項(xiàng)，計(jì)算出，，兩者不一定相等，C選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)平移變換求出，故C正確；D選項(xiàng)，令，得到，求出上，或或或，共4個(gè)零點(diǎn)，D正確.〖詳析〗時(shí)，，由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，A正確；，，因?yàn)椋捎谂c不一定相等，故與不一定相等，B錯(cuò)誤；，故是奇函數(shù)，C正確；令，解得：，，則，則或或或，解得：或或或，共4個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ACD11．已知是圓上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若點(diǎn)O到直線的距離為，則C．若，則的最大值為4D．的最小值為10．〖答案〗BD〖解析〗對(duì)A，若，又，故A錯(cuò)；對(duì)B，若點(diǎn)O到直線的距離為，由勾股定理知，故B對(duì)；對(duì)C，，幾何意義為到直線的距離之和的倍，設(shè)中點(diǎn)為Q，，而中點(diǎn)Q的軌跡為，所以，所以的最大值為6，故C錯(cuò)；對(duì)D，的最小值為，故D對(duì)；綜上所述，選BD．12.如圖，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面EFGH上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)P滿足B.當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)P滿足C.當(dāng)時(shí)，滿足BP⊥AM的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D.當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)P軌跡長(zhǎng)度為〖答案〗BCD〖解析〗〖祥解〗建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證，利用對(duì)稱點(diǎn)可以判斷A，利用垂直求出可以判斷B，求出點(diǎn)P軌跡長(zhǎng)度可判定C,D.〖詳析〗以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建系如圖，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，.所以.故A不正確.對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，則，由得，即，解得，所以存在唯一的點(diǎn)P滿足，故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，，設(shè)，則，由得.在平面中，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則的軌跡方程表示的軌跡就是線段，而，故C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，由得，即，在平面中，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，記的圓心為，與交于；令，可得，而，所以，其對(duì)應(yīng)的圓弧長(zhǎng)度為；根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)P軌跡長(zhǎng)度為；故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．13．在展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是_____________．（用數(shù)字作答）〖答案〗100〖解析〗中只有的展開式中才含有，故中的項(xiàng)與展開式中的相乘得到，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，故的項(xiàng)的系數(shù)為．14.已知紅箱內(nèi)有5個(gè)紅球、3個(gè)白球，白箱內(nèi)有3個(gè)紅球、5個(gè)白球.第一次從紅箱內(nèi)取出一球，觀察顏色后放回原處；第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)再取出一球，則第二次取到紅球的概率為________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)全概率公式求得正確〖答案〗.〖詳析〗依題意，第二次取到紅球的概率為.故〖答案〗為：15.已知雙曲線右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P，Q在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱．若，且的面積為4，則雙曲線的離心率___________．16.已知關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗將已知不等式變形整理，構(gòu)造新函數(shù)h（t）=tet，求導(dǎo)分析單調(diào)性，將原不等式通過單調(diào)性轉(zhuǎn)化為含a的恒成立問題，求解即可.〖詳析〗易知，將原不等式變形：，，可得，即，其中.設(shè)，則，原不等式等價(jià)于.當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏线f增，恒成立，設(shè)，則，所以在遞減，遞增，所以的最小值為，故.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．〖解答〗解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則當(dāng)q＝1時(shí)，Sn+1+2Sn﹣1＝（n+1）a1+2（n﹣1）a1＝3n﹣1，3Sn＝3na1＝3n，∴Sn+1+2Sn﹣1≠3Sn，顯然q＝1不符合題意，故q≠1，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝，Sn+1＝，Sn﹣1＝，∵Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn，∴+2＝3，即1﹣qn+1+2（1﹣qn﹣1）＝3（1﹣qn），化簡(jiǎn)，得qn﹣1（q﹣2）（q﹣1）＝0，∵q≠1且q≠0，∴q＝2，∴an＝1?2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，Sn＝，Sn+1＝，則＝＝＝﹣，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．18.在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)可得，即可證明結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論將邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，由基本不等式可求得〖答案〗.〖小問1詳析〗證明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.∵，∴,∵，∴，故.〖小問2詳析〗由（1）得，∴，，由（1），得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為..20.在三棱錐中，，平面，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求二面角的余弦值〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）作，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，易證得為等腰直角三角形，由此可得坐標(biāo)，根據(jù)可證得結(jié)論；（2）用表示坐標(biāo)，將表示為關(guān)于的二次函數(shù)，由此可確定時(shí)，最小，進(jìn)而得到坐標(biāo)；利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.〖小問1詳析〗在平面內(nèi)過點(diǎn)作，使得點(diǎn)與點(diǎn)在同側(cè)，平面，平面，平面，，，則兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，；由得：，，為等腰直角三角形，；同理可得：為等腰直角三角形，當(dāng)時(shí)，，，分別是中點(diǎn)，，，，，，.〖小問2詳析〗由（1）可得：，，，為等腰直角三角形；，，則；當(dāng)時(shí)，最小，分別是中點(diǎn)，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.常益長(zhǎng)高鐵的試運(yùn)營(yíng)，標(biāo)志著我省邁入“市市通高鐵”的新時(shí)代.常益長(zhǎng)高鐵全線長(zhǎng)157公里，共設(shè)有常德站、漢壽站、益陽南站、寧鄉(xiāng)西站、長(zhǎng)沙西站5個(gè)車站.在試運(yùn)營(yíng)期間，鐵路公司隨機(jī)選取了乘坐常德開往長(zhǎng)沙西站G6575次復(fù)興號(hào)列車的名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：（用頻率代替概率）（1）從這200名乘客中任選一人，求該乘客僅乘坐一站的概率；（2）在試營(yíng)運(yùn)期間，從常德上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到長(zhǎng)沙西站下車的人數(shù)為X，求X的分布列，及其期望；（3）已知德山經(jīng)開區(qū)的居民到常德站乘車的概率為0.6，到漢壽站乘車的概率為0.4，若經(jīng)過益陽南站后高鐵上有一位來自德山經(jīng)開區(qū)的乘客，求該乘客到長(zhǎng)沙西站下車的概率.〖答案〗（1）0.3（2）分布列見〖解析〗，（3）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)僅乘坐一站的乘客有人，并根據(jù)古典概型計(jì)算即可；（2）由題知，這3人到長(zhǎng)沙西站下車的人數(shù)，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可；（3）根據(jù)條件概率公式和全概率公式計(jì)算求解即可；〖小問1詳析〗解：由表中數(shù)據(jù)可知，僅乘坐一站的乘客有人，所以，這200名乘客中任選一人，該乘客僅乘坐一站的概率；〖小問2詳析〗解：從常德上車的乘客到長(zhǎng)沙西站下車的概率，所以，根據(jù)頻率估計(jì)概率，從常德上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到長(zhǎng)沙西站下車的人數(shù)，，所以其概率分布列如下：0123；〖小問3詳析〗解：記事件A：該乘客在過益陽南站后到長(zhǎng)沙西站下車，記事件:該乘客在常德站上車，記事件:該乘客在漢壽站上車.所以，，由表中數(shù)據(jù)可知，經(jīng)過益陽南站后，從常德站上車的乘客還有50人，40人在長(zhǎng)沙西站下車；從漢壽站上車，經(jīng)過益陽南站后，乘客還有30人，其中在長(zhǎng)沙西站下車的有20人；所以，，，所以，，所以該乘客到長(zhǎng)沙西站下車的概率.21.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線交拋物線于兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），交軸于點(diǎn)（），且，直線，且與拋物線相切于點(diǎn).（1）求證：三點(diǎn)共線；（2）過點(diǎn)作該拋物線的切線（點(diǎn)為切點(diǎn)），交于點(diǎn).（ⅰ）試問，點(diǎn)是否在定直線上，若在，請(qǐng)求出該直線，若不在，請(qǐng)說明理由；（ⅱ）求的最小值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）（?。c(diǎn)在定直線上；（ⅱ）的最小值為16.〖解析〗〖祥解〗（1）易知焦點(diǎn)，設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)得到，再由可知兩直線斜率相等，可得點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，再利用即可證明三點(diǎn)共線；（2）（?。┓謩e寫出直線，的方程，求出兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式即可得出點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式求出的表達(dá)式，再求出點(diǎn)到的距離寫出面積表達(dá)式利用基本不等式即可求得的最小值.〖小問1詳析〗由題可知，設(shè)，又，由得，所以，即，所以直線的斜率為，設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，又，即，所以，得所以，，即，則三點(diǎn)共線.〖小問2詳析〗（?。c(diǎn)