2024-2025學年華師版初中數(shù)學九年級（下）教學課件 27.2.3 切線（第2課時　切線長定理）

第27章圓27.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系3.切線（第2課時切線長定理）學習目標1.掌握切線長定理，初步學會運用切線長定理進行計算與證明.（重點）2.了解三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.3.學會利用方程思想解決幾何問題，體驗數(shù)形結(jié)合思想.（難點）新課導(dǎo)入POO.PBAAB問題1

上節(jié)課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線，如果點P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？問題2

過圓外一點作圓的切線，可以作幾條？知識講解P（1）切線長的定義

把圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量.②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．（2）切線與切線長的區(qū)別1.切線長問題在透明紙上畫出下圖，設(shè)PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點，沿直線OP對折圖形，你能猜測一下PA與PB，∠APO與∠BPO分別有什么關(guān)系嗎？PA=PB，∠APO=∠BPO.BPOA2.切線長定理請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.APOBPA=PB∠OPA=∠OPB證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點，∴OA⊥PA，OB⊥PB

即∠OAP=∠OBP=90°.∵OA=OB，OP=OP

∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）.∴PA=PB∠OPA=∠OPB.試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論切線長定理的內(nèi)容過圓外一點所畫的圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.PA，PB分別切⊙O于A，BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言表示BPOA反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供新的方法APOB

若連結(jié)兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.OP垂直平分AB證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB，∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線∴OP垂直平分AB.M思考拓展結(jié)論PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交⊙O于點D、E，交AB于點C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（3）寫出圖中所有的全等三角形；△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）寫出圖中所有的等腰三角形.△APB△AOB（2）寫出圖中與∠OAC相等的角；∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.BPOACED★切線長問題輔助線添加方法（3）連結(jié)圓心和圓外一點.（2）連結(jié)兩切點；（1）分別連結(jié)圓心和切點；例1如圖，AB，AC，BD分別是⊙O的切線，P，C，D為切點，如果AB＝5，AC＝3，則BD的長是__________.

解析：∵AC，AP為⊙O的切線，∴AC＝AP.∵BP，BD為⊙O的切線，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB－AP＝5-3＝2.2例2如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D，E是切點，∠A＝50°，∠C＝60°，則∠DOE＝________.解析：∵∠BAC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠B＝180°－50°－60°＝70°.∵E，D是切點，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝180°－∠B＝110°.110°3.三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心問題：

如何作圓，使它和已知三角形的各邊都相切？已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.MND作法：（1）作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為O.（2）過點O作OD⊥BC,垂足為D.（3）以點O為圓心，OD為半徑作圓O.⊙O就是所求作的圓.ACB與三角形各邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓.B三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點.┐ACO┐┐DEF提示：三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等.⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點O是△ABC的內(nèi)心，△ABC是⊙O的外切三角形,OD=OE=OF.總結(jié)一個三角形的內(nèi)切圓是唯一的.名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊垂直平分線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．外心與內(nèi)心的區(qū)別：ABOABCOC例3如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=9，BC=14,CA=13,求AF、BD、CE的長.

144945隨堂訓練20°4BPOA第2題1.如圖，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．∠APO

=∠BPO

B．PA

=PB

C．AB

⊥OP

D．PA

=PODBPOA第1題2.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別是A、B，如AP=4,∠APB

=40°,則∠APO

=

,PB

=

.3.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點為A、B,∠P=50°，點C是⊙O上異于A、B的點，則∠ACB=

.65°或115°BPOA第3題4.如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與三邊分別切于D、E、F三點，AF=3,BD+CE=12,則△ABC的周長是

.ABCFEDO第4題245.如圖，在△ABC

中，∠ABC=50o，∠ACB=75o,點O是△ABC的內(nèi)心，求∠BOC的度數(shù).解：∵點O是△ABC

的內(nèi)心,∴∠OBC

=∠ABC

=×50o=25o,∠OCB

=∠ACB

=×75o=37.5o.在△OBC

中，∠BOC

=180o-∠OBC

-∠OCB=180o-25o-37.5o=117.5o.第5題

┐ACO┐┐DEFB第6題課堂小結(jié)切線長切線長定理作用圖形的軸對稱性依據(jù)提供了證線段和角相等