第03講三角形一邊的平行線（二）

第03講三角形一邊的平行線（二）掌握三角形一邊平行線判定定理及推論，以及平行線分線段成比例定理重點(diǎn)是理清該判定定理及其推論之間的區(qū)別和聯(lián)系難點(diǎn)是靈活運(yùn)用本節(jié)的三個(gè)定理及兩個(gè)推論，并理解和掌握“作平行線”這一主要的作輔助線的方法模塊一：三角形一邊的平行線判定定理及推論1、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．2、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．如圖，在中，直線與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，如果那么//．在中，點(diǎn)、分別在邊、上，根據(jù)下列條件，試判斷與是 否平行． （1），，，； （2），，，； （3），，，； （4），．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）不平行；（4）平行．【解析】（1），可推知平行；，，可推知平行；，，不相等，可推知不平行；（4）根據(jù)線段大小和位置關(guān)系，得，，，可推知平行．【總結(jié)】考查三角形一邊平行線判定定理的內(nèi)容，根據(jù)比例性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)變形應(yīng)用．如圖，中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，下列命題中不正確的是（）ABCEF （A）若//，則ABCEF （B）若，則// （C）若//，則 （D）若，則//【答案】D【解析】A、B、C選項(xiàng)都可由三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理可判定正確，D選 項(xiàng)不符合定理判定內(nèi)容．【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理的內(nèi)容．ABCDO如圖，四邊形中，、相交于點(diǎn)，若，，， ，求的長(zhǎng)．ABCDO【答案】6．【解析】，，． 代入可計(jì)算，得：．【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理，先判定再應(yīng)用．如圖，、是的邊上的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足．聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn) 作//，交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．ABCDEF ABCDEF【答案】略．【解析】證明：//，．又，即，，//．【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定，先應(yīng)用性質(zhì)證明比例線段相等再判定．ABCDEFG如圖，在菱形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，與 交于點(diǎn)，又．ABCDEFG 求證：四邊形是平行四邊形．【答案】略．【解析】證明：，．又四邊形是菱形，．．且有．，．又，，．即證四邊形是平行四邊形．【總結(jié)】平行四邊形的證明，先從判定定理出發(fā)，考慮哪個(gè)判定定理的應(yīng)用，然后根據(jù)題目條件進(jìn)行分析證平行．模塊二：平行線分線段成比例定理1、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．BBCDEFG2、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等．BCADEF如圖，////，，，， 求、的長(zhǎng)．BCADEF【答案】．【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理和比例的合比 性，可得，代入求得，則．【總結(jié)】考查平行線分線段成比例定理結(jié)合比例的合比性質(zhì)的應(yīng)用．CBADEF如圖，直線、、分別交直線于點(diǎn)、、，交直線于點(diǎn)、、， 且////．已知，，，求、的長(zhǎng)．CBADEF【答案】．【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理和比例的合比性， 可得，代入求得， 則．【總結(jié)】考查平行線分線段成比例定理結(jié)合比例的合比性質(zhì)的應(yīng)用，兩條直線交叉時(shí)仍成立．如圖，、、都垂直于直線，，，，ABCDEABCDEFlNM【答案】10．NM【解析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．、、都垂直于直線，，則四邊形、、都為平行四邊形．，．，．由平行可得：，代入得：，．【總結(jié)】考查平行線分線段成比例定理，往往通過(guò)平行線的平移轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中三角形一邊平行線性質(zhì)定理的應(yīng)用．ABCDEOPQM如圖，中，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)， 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，//，且過(guò)點(diǎn)與、分別交于點(diǎn)ABCDEOPQM 和點(diǎn)． 求證：（1）；（2）//．【答案】略．【解析】證明：（1）//，∴． ， ． 由為中點(diǎn)，即可證得．（2）連結(jié)． //，． 由（1）可得，，，//．【總結(jié)】考查三角形一邊平行線的判定定理，注意根據(jù)相等的比例作為中間量進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)換．如圖，中，，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)作//與相交于點(diǎn)，連接，設(shè)線段的長(zhǎng)為，的面積 為．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；ABCDP（2）是否存在一個(gè)位置的點(diǎn)，使的面積等于的面積的？如果存在，求出 的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．ABCDP【答案】（1）；E （2）存在，．E【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．F 由，可得，又，F(xiàn) 故． 又，故，代入可得：． 故．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)． 由，可得：， 故． 又的面積是面積的， ∴， 解得：，即．【總結(jié)】考查三角形中一邊平行線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時(shí)在題目中，注意對(duì)于特殊角的利用．一、單選題（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知線段、、，求線段，使，下列作圖正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用圖形得比例線段，再與已知式作對(duì)比，可以得出結(jié)論．【詳解】解：A、由圖可得，即，所以圖形能畫(huà)出，故此選項(xiàng)符合題意；B、由圖可得，即且是所求線段，所以圖形不能畫(huà)出，故此選項(xiàng)不符合題意；C、由圖可得，即且是所求線段，所以圖形不能畫(huà)出，故此選項(xiàng)不符合題意；D、由圖可得，即且是所求線段，所以圖形不能畫(huà)出，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理、復(fù)雜作圖，熟練掌握平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）如圖，已知，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、D、F和點(diǎn)B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可完成．【詳解】∵∴∴BC=3CE∵BC+CE=10∴3CE+CE=10∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握此定理是關(guān)鍵．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知，，，那么的長(zhǎng)等于（

）A．4 B． C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到，即可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，解得：．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例；熟練掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是本題的關(guān)鍵．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知ABCDEF，它們依次交直線、于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F．如果AC：CE=2：3，BD=4，那么BF等于（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．【詳解】解：∵ABCDEF，∴，∵AC：CE=2：3，BD=4，∴，∴DF=6，∴BF=BD+DF=4+6=10，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、比例性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用是解答的關(guān)鍵．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF，如果，，，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目的已知條件畫(huà)出圖形，然后利用平行線分線段成比例解答即可．【詳解】如圖：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴∴∵，∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例這個(gè)基本事實(shí)是解題的關(guān)鍵．（2022秋·上海徐匯·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，直線與這三條直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)若，則的長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由平行線分線段成比例可得再代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】解：∵，∴∵，∴∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握“由平行線得到成比例的線段，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算”是解本題的關(guān)鍵．（2023·上海寶山·一模）在中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列條件中能夠判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題解析：∵AD：BD=1：3，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴DE∥BC，故C選項(xiàng)能夠判斷DE∥BC；而A，B，D選項(xiàng)不能判斷DE∥BC；故選C．（2023·上海·一模）如圖，DE∥AB，如果CE∶AE=1∶2，DE=3，那么AB等于（

）A．6； B．9； C．12； D．13．【答案】B【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得CE∶CA=1∶3，根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論，即可求得答案.【詳解】∵CE∶AE=1∶2，∴CE∶CA=1∶3，∵DE∥AB，∴∵DE=3，∴AB=3DE=9故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的推論及比例的性質(zhì)，熟練運(yùn)用“平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例”是解題的關(guān)鍵.二、填空題（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知直線、、分別交直線于點(diǎn)A、B、C，交直線于點(diǎn)D、E、F，且，，，，則______．【答案】8【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴，解得：，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．掌握平行線分線段成比例是解題關(guān)鍵．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在邊、、上，，，如果，那么的值是____________．【答案】【分析】根據(jù)得到，根據(jù)比例的性質(zhì)可得，再根據(jù)，即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線截線段對(duì)應(yīng)成比例，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例性質(zhì)求得．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，已知直線，如果，，那么線段的長(zhǎng)是________．【答案】【分析】由平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例可知，然后代入的值求解即可．【詳解】解：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例，熟練掌握比例線段的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖2，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、．如果，，，那么____________．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論，【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．（2023·上海浦東新·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知直線、、分別交直線于點(diǎn)、、，交直線于點(diǎn)、、，且，，，，那么線段的長(zhǎng)等于______．【答案】9【分析】利用平行線分線段成比例定理得到，利用比例的性質(zhì)得到，從而可計(jì)算出DE的長(zhǎng)．【詳解】解：，∴，即，，即，∴．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（2023·上海·一模）如圖，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的長(zhǎng)是_____．【答案】/3.75【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，∴，即，解得：BF＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟知平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知ADBECF．如果，，，那么AC的長(zhǎng)是_____．【答案】6.4/【分析】根據(jù)三條平行線截兩條直線，所得對(duì)應(yīng)線段成比例，列出比例式解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，∴，解得，∴．故答案為：6.4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握定理并靈活運(yùn)用列出正確的比例式．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）如圖，已知，，，那么的長(zhǎng)等于______．【答案】12【分析】根據(jù)平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例，列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，即：，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例，是解題的關(guān)鍵．三、解答題（2021秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的長(zhǎng)；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，可得再代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）由，可得可得結(jié)合，從而可得答案.【詳解】解（1），AB＝3，BC＝6，DE＝4，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意；（2），而DE：EF＝2：3，【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握“兩條直線被一組平行線所截的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵.（2022秋·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)D、E分別在的邊、上，．如果，．求．【答案】3【分析】設(shè),則可得出，的面積之比，再將的值代入，即可得出答案；【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，又，，∴，∴，（舍），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解一元二次方程，結(jié)合同高的三角形面積比等于底邊的比，解題關(guān)鍵結(jié)合圖形正確寫(xiě)出對(duì)應(yīng)線段．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┬∶饕褂问啦?huì)，在路燈下的處走到處時(shí)，測(cè)得影子的的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走了米到達(dá)處，若小明的身高是米，路燈高度為米，此時(shí)小明的影子長(zhǎng)為多少米？【答案】【分析】根據(jù)題意得，再根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．【詳解】解：如圖所示，米，米，米，米，∵，，，∴，∴，即，∴，則米，∴，即，∴，解得，，∴小明的影子長(zhǎng)為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線的判斷和平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，下列條件中，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行，可得出答案．【詳解】A、,不可證明DE∥BC,故本選項(xiàng)正確；B、,可證明DE∥BC,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、,不可證明DE∥BC,故本選項(xiàng)不正確；D、不可證明DE∥BC,故本選項(xiàng)不正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行．如圖，，若，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)與平行線分線段成比例，列出比例式，逐項(xiàng)判斷即可【詳解】＝，,故A選項(xiàng)正確，不符合題意；l1∥l2∥l3，且＝，,故B選項(xiàng)正確，不符合題意；故D選項(xiàng)正確，不符合題意；根據(jù)已知條件不能求出的值，故C選項(xiàng)不正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)與平行線分線段成比例，掌握比例的性質(zhì)與平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，過(guò)M，N兩點(diǎn)作直線，與BC交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】10【分析】根據(jù)作圖可得，且平分，設(shè)與的交點(diǎn)為，證明四邊形為菱形，根據(jù)平行線分線段成比例可得為的中線，然后勾股定理求得，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，根據(jù)作圖可得，且平分，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，四邊形是平行四邊形，垂直平分，，四邊形是菱形，，，，，為的中點(diǎn)，中，，，，，四邊形AECF的周長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（2023·上?！ひ荒＃╅喿x：對(duì)于線段與點(diǎn)O（點(diǎn)O與不在同一直線上），如果同一平面內(nèi)點(diǎn)P滿(mǎn)足：射線與線段交于點(diǎn)Q，且，那么稱(chēng)點(diǎn)P為點(diǎn)O關(guān)于線段的“準(zhǔn)射點(diǎn)”．問(wèn)題：如圖，矩形中，，點(diǎn)E在邊上，且，聯(lián)結(jié)．設(shè)點(diǎn)F是