專題17.5勾股定理全章七類必考壓軸題（人教版）（原卷版）

專題17.5勾股定理全章七類必考壓軸題【人教版】必考點1必考點1勾股定理與網(wǎng)格問題1．（2022春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┬”趯W(xué)習(xí)了勾股定理的趙爽弦圖后，嘗試用小正方形做類似的圖形，經(jīng)過嘗試后，得到如圖：長方形ABCD內(nèi)部嵌入了6個全等的正方形，其中點M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，則小正方形的邊長為_____．2．（2022秋·浙江·八年級期末）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中．每個小正方形的頂點稱為格點.以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E,F,G,H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為26，此時正方形EFGH的面積為52．問：當(dāng)格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為26時，正方形EFGH的面積的所有可能值是________(不包括52)．3．（2022秋·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的邊長為1，剪一剪，拼成一個正方形，那么這個正方形的邊長是____.4．（2022春·全國·八年級統(tǒng)考期末）圖中的虛線網(wǎng)格是等邊三角形網(wǎng)格,它的每一個小三角形都是邊長為1的等邊三角形.(1)邊長為1的等邊三角形的高=____;

(2)圖①中的?ABCD的對角線AC的長=____;

(3)圖②中的四邊形EFGH的面積=____.

5．（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為5a，22a，17a（a＞0），請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：（3）若△ABC三邊的長分別為m26．（2022秋·全國·八年級期中）方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點連線為邊的多邊形稱為“格點多邊形”．（1）在圖1中確定格點D，并畫出一個以A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為軸對稱圖形（一種情況即可）；（2）直接寫出圖2中△FGH的面積是；（3）在圖3中畫一個格點正方形，使其面積等于17．7．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點C，且使BC=5，并且直接寫出對應(yīng)三角形的面積．必考點2必考點2勾股定理與折疊問題1．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，在ΔABC中，AB=AC，點D在線段AC上，現(xiàn)將ΔABC沿著BD翻折后得到ΔA′BD，A′B交AC于點E，A′D//BC2．（2022秋·浙江·八年級期末）△ABC中，AB=42，AC=6，∠A=45°，折疊△ABC，使點C落在AB邊上的點D處，折痕EF交AC于點E，當(dāng)點D由B向A連續(xù)移動過程中，點E經(jīng)過的路徑長記為m，則BC=________，m3．（2022秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，點E為AB的中點，D為BC邊上的一動點，把△ACD沿AD折疊，點C落在點F處，當(dāng)△AEF為直角三角形時，CD的長為__________．4．（2022春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,AB=3，點D為AC的中點，點E在BC邊上，將△CDE沿著DE翻折，使點C落在點F處，當(dāng)FE⊥AC時，F(xiàn)E=________．5．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）統(tǒng)考期末）如圖，將長方形紙片ABCD沿MN折疊，使點A落在BC邊上點A′處，點D的對應(yīng)點為D′，連接A′D′交邊CD于點E，連接CD′，若AB=9，AD=66．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=25，AC=105，AP垂直直線BC于點P(1)當(dāng)BC=25時，求AP的長；(2)當(dāng)AP=20時，①求BC的長；②將△ACP沿直線AC翻折后得到△ACQ，連接BQ，請直接寫出△BCQ的周長為___________．必考點3必考點3以弦圖為背景的計算1．（2022春·浙江·八年級期末）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股定理．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=a,AB=b(a<b)．如圖所示作矩形HFPQ，延長CB交HF于點G．若正方形BCDE的面積等于矩形BEFG面積的3倍，則ab的值為（

A．24 B．22 C．5?12．（2022秋·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國算書《網(wǎng)醉算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1，是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為(

)A．121 B．110 C．100 D．903．（2022秋·全國·八年級期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶．?dāng)?shù)學(xué)家歐幾里得利用下圖驗證了勾股定理．以直角三角形ABC的三條邊為邊長向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，連接BI，CD，過點C作CJ⊥DE于點J，交AB于點K．設(shè)正方形ACHI的面積為S1，正方形BCGF的面積為S2，矩形AKJD的面積為S3，矩形KJEB的面積為S4，下列結(jié)論中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四個小正方形的面積之和等于8，則最大正方形的邊長為__．5．（2022秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1、必考點4必考點4勾股定理的證明方法1．（2022秋·江蘇南京·八年級南京市第二十九中學(xué)?？计谥校┰赗t△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計的主要依據(jù)．（1）請利用這個圖形證明勾股定理；（2）請利用這個圖形說明a2＋b2≥2ab，并說明等號成立的條件；（3）請根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：長為x，寬為y的長方形，其周長為8，求當(dāng)x，y取何值時，該長方形的面積最大？最大面積是多少？2．（2022秋·河南鄭州·八年級?？计谥校?1)我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成丁一個大的正方形（如圖1），這個矩形稱為趙爽弦圖，驗證了一個非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2＋b2＝c2，稱為勾股定理.證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，，又可表示為S＝4×12ab＋(b－a)2∴4×12ab＋(b－a)2＝c2∴______________即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(2)愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形(如圖2)，也能驗證這個結(jié)論，請你幫助小明完成驗證的過程.(3)如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請你添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明結(jié)論a2＋b2＝c2.3．（2022·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期中）公元3世紀(jì)初，我國學(xué)家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統(tǒng)Garfeild用圖1（點C、點B、點C′三點共線）進(jìn)行了勾股定理的證明．△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，兩直角邊長為a，b，斜邊是c．請用此圖1證明勾股定理．拓展應(yīng)用l：如圖2，以△ABC的邊AB和邊AC為邊長分別向外作正方形ABFH和正方形ACED，過點F、E分別作BC的垂線段FM、EN，則FM、EN、BC的數(shù)量關(guān)系是怎樣？直接寫出結(jié)論．拓展應(yīng)用2：如圖3，在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD，已知點A和點C分別在直線m、n上，過點D作直線l∥n∥m，已知l、n之間距離為1，l、m之間距離為2．則正方形的面積是．4．（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎菐缀螌W(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．證法如下：把兩個全等的直角三角形（Rt△ACB?Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE點E在邊AC上，現(xiàn)設(shè)Rt△ACB兩直角邊長分別為CB=a、CA=b，斜邊長為AB=c，請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理（1）請根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理（2）如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，CD為兩個村莊（看作直線上的兩點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為千米．（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一個供應(yīng)站P，使得PC=PD，請用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點的位置并求出AP的距離．（4）借助上面的思考過程，當(dāng)1<x<11時，求代數(shù)式x25．（2022秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1、必考點5必考點5立體幾何中求最短路徑1．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，一長方體木塊長AB=6，寬BC=5，高BB1=2，一直螞蟻從木塊點A處，沿木塊表面爬行到點C1A．89 B．85 C．125 D．802．（2022秋·江蘇·八年級期中）愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁BC的中點M，甲蟲所走的最短路程是______cm3．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谀┤鐖D，長方體的長為3，寬為2，高為4，點B在棱上，點B離點C的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短路程是______．4．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谀┤鐖D，圓柱底面半徑為2πcm，高為9cm，點A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A5．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)?？计谀┰谝粋€長6+22米，寬為4米的長方形草地上，如圖推放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬AD，木塊的主視圖的高是2米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點A處到C6．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖①，長方體長AB為8cm，寬BC為6cm，高BF為4cm．在該長體的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？(1)螞蟻從點A爬行到點G，且經(jīng)過棱EF上一點，畫出其最短路徑的平面圖，并標(biāo)出它的長．(2)設(shè)該長方體上底面對角線EG、FH相交于點O（如圖②），則OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①螞蟻從點B爬行到點O的最短路徑的長為cm；②當(dāng)點P在BC邊上，設(shè)BP長為acm，求螞蟻從點P爬行到點O的最短路的長（用含a的代數(shù)式表示）．必考點6必考點6勾股定理的實際應(yīng)用1．（2022春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是________．2．（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．3．（2022秋·重慶·八年級校聯(lián)考期末）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN=30°，在A處有一所中學(xué)，AP=120米，此時有一輛消防車在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行駛，假設(shè)消防車行駛時周圍100米以內(nèi)有噪音影響．（1）學(xué)校是否會受到影響？請說明理由．（2）如果受到影響，則影響時間是多長？4．（2022秋·陜西西安·八年級西安市第八十五中學(xué)?？计谥校締栴}探究】(1)如圖①，點E是正△ABC高AD上的一定點,請在AB上找一點F，使EF=12(2)如圖②，點M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點，求12【問題解決】(3)如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點B到AC的最短距離為360km．今計劃在鐵路線AC上修一個中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運費達(dá)到最小值，請確定中轉(zhuǎn)站M的位置,并求出AM的長．(結(jié)果保留根號)5．（2022春·湖南長沙·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為某街心公園的平面圖，經(jīng)測量AB=BC=AD=100米，CD=1003米，且∠B=90°（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）若BA為公園的車輛進(jìn)出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點D處安裝一個監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路BA的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長度為多少？6．（2022秋·陜西寶雞·八年級?？茧A段練習(xí)）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力，此時某臺風(fēng)中心在海域B處，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心25千米，臺風(fēng)就會減弱一級，如圖所示，該臺風(fēng)中心正以20千米/時的速度沿BC方向移動．已知AD⊥BC且AD=12AB（1）A城市是否會受到臺風(fēng)影響？請說明理由．（2）若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長？（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？必考點7必考點7勾股定理及其逆定理的綜合1．（1）如圖1，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD為BC邊上的中線．求中線AD的取值范圍；（提示：延長AD到點E，使DE=AD，連接BE）（2）如圖2，在△ABC中，∠A=90°，D是BC邊的中點，∠EDF=90°，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E為AD中點，F(xiàn)、G分別邊AB、CD上，且EF⊥EG，若AF=4，DG=23，求GF2．如圖，已知△ACB和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，AC=BC，CE=CF，連接AE.BF交于點O．(1)求證：△ACE≌△BCF；(2)求∠AOB的度數(shù)；(3)連接BE，AF，求證BE3．已知△ABC中，AB＝AC．（1