新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面課件新人教A版必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解平面的概念，掌握平面的畫(huà)法及表示方法．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)2．掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個(gè)基本事實(shí)．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)3．會(huì)用符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．(邏輯推理)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01生活中的一些物體給我們以平面的感覺(jué)，如平靜的湖面、整潔的教室桌面、美麗的大草原等，你能說(shuō)出平面的一些幾何特征嗎？平面的描述性概念幾何里所說(shuō)的“平面”，就是從生活中一些物體中抽象出來(lái)的．平面是向四周__________的畫(huà)法水平放置常把平行四邊形的一邊畫(huà)成_____

豎直放置常把平行四邊形的一邊畫(huà)成_____

知識(shí)點(diǎn)1平面無(wú)限延展橫向豎向記法(1)用希臘字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并將它寫(xiě)在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角內(nèi)(2)用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母表示，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母表示，如平面AC，平面BD思考1．課桌面、黑板面、海面是平面嗎？[提示]

雖然課桌面、黑板面、海面給我們以平面的形象，但是平面是無(wú)限延展的，所以它們不是平面．思考2．我們常用平行四邊形表示平面，所以平行四邊形就是一個(gè)平面，這句話對(duì)嗎？[提示]

不對(duì)，我們通常用平行四邊形表示平面，但平面是無(wú)限延展的，所以平行四邊形不是一個(gè)平面．思考3．幾何中的平面有什么特點(diǎn)？[提示]

(1)平面是平的；(2)平面是沒(méi)有厚度的；(3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的．知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)的概念：如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說(shuō)直線l在平面α內(nèi)．(2)直線、平面都可以看成點(diǎn)的集合．點(diǎn)P在直線l上，記作P__l；點(diǎn)P在直線l外，記作P__l；點(diǎn)P在平面α內(nèi)，記作P∈α；點(diǎn)P在平面α外，記作P?α；直線l在平面α內(nèi)，記作l__α；直線l不在平面α內(nèi)，記作l__α．∈???思考4．“線段AB在平面α內(nèi)，直線AB不全在平面α內(nèi)”這一說(shuō)法是否正確？為什么？[提示]

不正確．∵線段AB在平面α內(nèi)，∴線段AB上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，∴線段AB上的A，B兩點(diǎn)一定在平面α內(nèi)，∴直線AB在平面α內(nèi)．基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的________，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α知識(shí)點(diǎn)3平面的基本事實(shí)及推論(1)基本事實(shí)三個(gè)點(diǎn)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)2如果一條直線上的______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α兩個(gè)點(diǎn)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)_______，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l公共點(diǎn)(2)基本事實(shí)的推論

推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外_____，有且只有一個(gè)平面(圖①)．推論2經(jīng)過(guò)兩條________，有且只有一個(gè)平面(圖②)．推論3經(jīng)過(guò)兩條________，有且只有一個(gè)平面(圖③)．一點(diǎn)相交直線平行直線思考5．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)有多少個(gè)平面？[提示]

當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，由基本事實(shí)1可知，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．而當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面．思考6．三個(gè)基本事實(shí)各有什么作用？[提示]

(1)基本事實(shí)1是確定平面的依據(jù)．(2)基本事實(shí)2是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)．(3)基本事實(shí)3可以①判定兩個(gè)平面相交；②作兩個(gè)平面的交線；③證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A______平面ABC；點(diǎn)A____平面BCD；BD______平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝______．∈??BC關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1立體幾何三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化類型2點(diǎn)、線共面問(wèn)題類型3點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題類型1立體幾何三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化【例1】用符號(hào)表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B；(2)點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上．[解]

(1)用符號(hào)表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．(2)用符號(hào)表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．反思領(lǐng)悟

三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義．如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形．(1)三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；[解]

符號(hào)語(yǔ)言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示：如圖①．(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC．[解]

符號(hào)語(yǔ)言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示：如圖②．類型2點(diǎn)、線共面問(wèn)題【例2】

(源自蘇教版例題)已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如圖)．求證：直線AD，BD，CD共面．[思路導(dǎo)引]

因?yàn)橹本€l與點(diǎn)D可以確定平面α，所以只需證明AD，BD，CD都在平面α內(nèi)．[證明]

因?yàn)镈?l，所以l與D可以確定平面α．因?yàn)锳∈l，所以A∈α．又D∈α，所以AD?α．同理，BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即它們共面．反思領(lǐng)悟

解決點(diǎn)線共面問(wèn)題的基本方法[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(源自人教B版例題)證明：兩兩相交且不過(guò)同一個(gè)點(diǎn)的3條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)．[解]

已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求證：直線AB，BC，AC共面．證明：法一：因?yàn)锳C∩AB＝A，所以直線AB，AC可確定一個(gè)平面α．因?yàn)锽∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC?α．因此直線AB，BC，AC都在平面α內(nèi)，所以直線AB，BC，AC共面．法二：因?yàn)锳不在直線BC上，所以點(diǎn)A和直線BC可確定一個(gè)平面α．因?yàn)锽∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α．同理AC?α，故直線AB，BC，AC共面．法三：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，所以A，B，C三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面α．因?yàn)锳∈α，B∈α，所以AB?α，同理BC?α，AC?α，故直線AB，BC，AC共面．類型3點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題【例3】如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l．設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β．求證：AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn))．[證明]

因?yàn)樘菪蜛BCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰．所以AB，CD必定相交于一點(diǎn)．設(shè)AB∩CD＝M．又因?yàn)锳B?α，CD?β，所以M∈α，M∈β．所以M∈α∩β．又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l．即AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn))．[母題探究]本例變?yōu)椋喝鐖D所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線BD上．[證明]

若EF，GH交于一點(diǎn)P，則E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，又因?yàn)镋F?平面ABD，GH?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事實(shí)3可得P∈BD．所以點(diǎn)P在直線BD上．反思領(lǐng)悟

1．證明三點(diǎn)共線的方法(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上．(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上．2．證明三線共點(diǎn)的步驟(1)首先說(shuō)明兩條直線共面且交于一點(diǎn)．(2)說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交．(3)得到交線也過(guò)此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．三個(gè)平面α，β，γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a和b不平行，求證：a，b，c三條直線必相交于同一點(diǎn)．[證明]

如圖，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ．∵直線a和b不平行，∴a，b必相交．設(shè)a∩b＝P，則P∈a，P∈b．∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c．故a，b，c三條直線必相交于同一點(diǎn)．學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)0312341．(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A．平面是處處平的面B．平面是無(wú)限延展的C．平面的形狀是平行四邊形D．一個(gè)平面的厚度可以是0.001cm√AB

[平面是無(wú)限延展的，但是沒(méi)有大小、形狀、厚薄，AB兩種說(shuō)法是正確的；CD兩種說(shuō)法是錯(cuò)誤的．]√2．(多選)如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面可記為(

)A．平面MN B．平面NQC．平面α D．平面MNPQ1234√BCD

[平面可用希臘字母、平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或?qū)蔷€字母表示．]√√3．下列空間圖形畫(huà)法錯(cuò)誤的是(

)1234A

B

C

DD

[遮擋部分應(yīng)畫(huà)成虛線或不畫(huà)，故D錯(cuò)．]√4．已知α與β是兩個(gè)不重合的平面，則下列推理正確的序號(hào)是______．①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB；③l?α，A∈l?A?α；④A∈l，l?α?A∈α．1234①②④

[利用三個(gè)基本事實(shí)知①②④正確，若l∩α＝A，顯然有l(wèi)?α，但是A∈α，③錯(cuò)誤．]①②④回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．如何用符號(hào)表示空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系？[提示]

點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語(yǔ)言表達(dá)文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言A在l上A∈lA在l外A?l文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言A在α內(nèi)A∈αA在α外A?αl在α內(nèi)l?α文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言l在α外l?αl，m相交于Al