新教材同步備課2024春高中數(shù)學第6章平面向量及其應用6.2平面向量的運算6.2.4向量的數(shù)量積第2課時向量數(shù)量積的運算律課件新人教A版必修第二冊

第六章平面向量及其應用6.2平面向量的運算6.2.4向量的數(shù)量積第2課時向量數(shù)量積的運算律學習任務1．掌握平面向量數(shù)量積的運算律及常用的公式．(邏輯推理)2．會利用向量數(shù)量積的有關運算律進行計算或證明．(數(shù)學運算)必備知識·情境導學探新知01我們已經知道，很多運算都滿足一定的運算律．例如，向量的加法滿足交換律，數(shù)乘向量對加法滿足分配律，即對任意向量a，b以及實數(shù)λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb．根據(jù)向量數(shù)量積的定義，探討向量數(shù)量積的運算滿足哪些運算律，并說明理由．知識點1向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝______．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__________．(3)(a＋b)·c＝____________．知識點2數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)2＝______________；(2)(a－b)2＝______________；(3)(a＋b)·(a－b)＝________．b·aa·(λb)a·c＋b·ca2＋2a·b＋b2a2－2a·b＋b2a2－b21．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)a·b＝b·c推不出a＝c． (

)(2)對于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a都成立． (

)××2．已知|a|＝3，|b|＝4，則(a＋b)·(a－b)＝______．－7關鍵能力·合作探究釋疑難02類型1求數(shù)量積類型2與向量模有關的問題類型3與向量垂直、夾角有關的問題類型1求數(shù)量積【例1】已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．[解]

(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192．反思領悟

根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算．

－6類型2與向量模有關的問題【例2】

(源自人教B版教材)(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；

(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．[解]

由題意可知|a＋b|2＝|a－b|2，即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．

√

(2)已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，求k的取值范圍．

[母題探究]將本例(2)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍．

[跟進訓練]3．已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角．

學習效果·課堂評估夯基礎0312341．已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(

)A．4

B．3

C．2

D．0√B

[∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，則|2a＋3b|＝(

)A．16 B．256C．8 D．641234√A

[∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．]

1234√

4．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角為______．1234

回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．向量的數(shù)量積滿足哪些運算律？[提示]

(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．2．向量的夾角與其數(shù)量積之間存在什么關系？[提示]

向量a，b的夾角為銳角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能說明a·b的夾角為銳角，