2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)第1-3章）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（蘇教版2019）（時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)第1章~第3章。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線的的傾斜角為，且，直線的斜率，所以，故選：A2．方程所表示的圓的最大面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意整理可得：，則，解得，且圓的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即圓的半徑最大值為3，所以圓的最大面積為.故選：B.3．已知點(diǎn)，，若過(guò)點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】記為點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選：B．4．方程表示橢圓的充要條件是（

）A． B．C． D．或【答案】D【解析】若表示橢圓，則有，解得或.故選：D.5．直線與曲線恰有1個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．或【答案】D【解析】曲線，整理得，畫(huà)出直線與曲線的圖象，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，則圓心到直線的距離為，可得（正根舍去），當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，如圖，直線與曲線恰有1個(gè)交點(diǎn)，則或.故選：D.6．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且在第一象限，若直線的傾斜角為，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】如圖所示，拋物線及準(zhǔn)線如圖所示，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，由題意可知，根據(jù)拋物線的定義在中，，又，所以，解得.故選：C.7．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線分別交雙曲線左右兩支于點(diǎn)M，N.若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2，則，又|MF2|＝|NF2|，可得△MNF2為等腰直角三角形，設(shè)|MF2|＝|NF2|＝m，則|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，兩式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有，取H為MN的中點(diǎn)，在直角三角形HF1F2中可得，化為，即e．故選C．8．若圓）與圓交于A、B兩點(diǎn)，則tan∠ANB的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】可化為，故圓N的圓心為，半徑為，由題意可知：AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，所以且，故，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，在△NAB中，，又，在上單調(diào)遞減，故為銳角，且當(dāng)時(shí)，最大，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，且最大值為，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為2，則的取值可能是A． B．13 C．15 D．18【答案】BC【解析】圓化為，則圓心，半徑為，若圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為2，則圓心到直線的距離，如圖，則故選：BC.10．已知直線，其中，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，直線與兩坐標(biāo)軸的截距相等C．直線與垂直時(shí)，D．若直線與直線平行，則兩條平行直線之間的距離為【答案】AD【解析】當(dāng)時(shí)，，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)，，直線在軸上的截距為,在軸上的截距為2，故B錯(cuò)誤；當(dāng)直線與垂直時(shí)，，解得或，故C錯(cuò)誤；若直線與直線平行時(shí)，，解得或,當(dāng)或,時(shí)，直線到直線的距離為，故D正確.故選：AD.11．已知曲線的方程為是以點(diǎn)為圓心?1為半徑的圓位于軸右側(cè)的部分，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．曲線過(guò)點(diǎn)C．若直線被所截得的線段的中點(diǎn)在上，則的值為D．若曲線在的上方，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A中，由曲線，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，點(diǎn)代入圓的方程得，所以圓過(guò)點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)被所截得的線段為，中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，故，所以，代入，可得，解得，所以C正確；對(duì)于D中如圖所示，曲線在的上方時(shí)，拋物線和圓無(wú)交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以D正確.故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為．【答案】【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，一條漸近線方程為，所以，所以，所以.故答案為：.13．設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為．【答案】【解析】，圓心，半徑．設(shè)切點(diǎn)為，由題意可知，點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)最小時(shí)，，圓心到直線的距離，切線長(zhǎng)的最小值為：．故答案為：．14．如圖，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為

【答案】【解析】連接，如圖所示設(shè)則，由橢圓的定義得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線：．(1)求證：直線經(jīng)過(guò)第一象限；(2)當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）方程可化為，由解得所以直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以直線經(jīng)過(guò)第一象限．（6分）（2）由題意可得，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，因?yàn)?，則，所以直線的方程為，即．（13分）16．（15分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，由題意得，解得，，所以橢圓的方程為.（6分）（2）直線的斜率存在，設(shè)斜率為，直線的方程為，即，聯(lián)立，消去得：，設(shè)，因?yàn)?，即，所以，解得，此時(shí)滿(mǎn)足題意所以所求直線的方程為.（15分）17．（15分）已知半徑為的圓C的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是圓C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍；(3)已知，為圓上任意一點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）依題可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)椋?，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（4分）（2）若是圓C上任意一點(diǎn)，則表示圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，所以的最大值為，的最小值為，所以的取值范圍為：.（10分）（3）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)，，則，則，當(dāng)，即，（舍去）時(shí)，為定值，

且定值為，故存在定點(diǎn)，且的坐標(biāo)為.（15分）18．（17分）已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)，并且與圓外切，設(shè)動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C.(1)直線與圓相切于點(diǎn)Q，求的值；(2)求曲線C的方程；(3)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，直線交于點(diǎn)M，證明直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由直線與圓的位置關(guān)系可知，，所以點(diǎn).（4分）（2）由題意可知，設(shè)動(dòng)圓半徑為，，，，即，所以點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，，，則，所以曲線的方程為，；（8分）（3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，直線，當(dāng)，得，即，直線，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，直線，當(dāng)時(shí)，，，聯(lián)立，得，，，，（12分）下面證明直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即證，，把，代入整理得，即，所以直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，綜上可知，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.（17分）19．（17分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，是橢圓上的一點(diǎn)，直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值；(3)設(shè)是直線l的一個(gè)法向量，M是l上一點(diǎn)，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的定點(diǎn)N，定義.用a、b、k、m表示，并利用與的大小關(guān)系，提出一個(gè)關(guān)于l與位置關(guān)系的真命題，給出命題的證明.【解析】（1）因?yàn)槭巧系囊稽c(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)可得，又因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以，，所以的方程為；（4分）（2）由題意可知，直線的方程為，設(shè)

則，，得，所以，所以，又到的距離，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取最大值，最大值為；（9分）（3）因?yàn)橹本€的斜率為，在軸上的截距為，所以直