2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（江蘇專用蘇教版2019選擇性必修第一冊第1-3章）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（江蘇專用）（時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：蘇教版2019選擇性必修第一冊第1章~第3章。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為，則的值為（

）A．-2 B．1 C．3 D．4【答案】B【解析】經(jīng)過兩點的直線的斜率為，又直線的傾斜角為，所以，解得.故選：B.2．求過兩點，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為C（2b+2，b），由圓過兩點A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即，解得，可得圓心為（4，1），半徑為5，則所求圓的方程為．故選：D．3．已知雙曲線經(jīng)過點，且與橢圓有相同的焦點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】橢圓焦點為，雙曲線焦點為，且，將代入雙曲線，得，又，解得，，故雙曲線的方程為，故選：D.4．設(shè)，方程所表示的曲線是（

）A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在x軸上的雙曲線C．焦點在y軸上的橢圓 D．焦點在y軸上的雙曲線【答案】C【解析】若，則，曲線,即，，表示焦點在軸上的橢圓．故選：5．設(shè)為拋物線的焦點，點在上，且在第一象限，若直線的傾斜角為，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】如圖所示，拋物線及準(zhǔn)線如圖所示，過點作垂直準(zhǔn)線于點，過焦點作垂直于于點，由題意可知，根據(jù)拋物線的定義在中，，又，所以，解得.故選：C.6．已知直線：與雙曲線：交于，兩點，點是弦的中點，則雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：設(shè)，可得，，兩式相減可得，點是弦的中點，且直線：，可得，，，即有，即，雙曲線的漸近線方程為．經(jīng)驗證此時直線與雙曲線有兩個交點.故選：B．7．已知函數(shù)，且點滿足，，若記點P構(gòu)成的圖形為，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將函數(shù)表達式代入條件可得，即.所以區(qū)域即為圓的內(nèi)部位于軸上方的部分，即該圓的去掉一個底為，高為的三角形，故所求面積為.故選：A.8．已知橢圓的一個焦點為F，點P，Q是C上關(guān)于原點對稱的兩點．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由對稱性和橢圓定義可知，其中，故，不妨設(shè)，，，則，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為4，當(dāng)時，取得最大值，最大值為64，故，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為51，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知直線，下列說法正確的是（

）A．直線過定點B．當(dāng)時，關(guān)于軸的對稱直線為C．直線一定經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．點到直線的最大距離為【答案】BD【解析】對于A，直線，所以直線過定點，故A錯誤；對于B.當(dāng)時，直線方程為，關(guān)于軸的對稱直線為，故B正確；對于C，當(dāng)時，直線方程為，直線不經(jīng)過第四象限，故C錯誤；對于D，如圖所示：設(shè)，由圖象知：，點到直線的最大距離為，故D正確；故選：BD10．已知拋物線的焦點為F，AB是經(jīng)過拋物線焦點F的弦，M是線段AB的中點，經(jīng)過點A，B，M作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線AC，BD，MN，垂足分別是C，D，N，其中MN交拋物線于點Q，連接QF，NF，NB，NA，則下列說法正確的是（）A． B．C．Q是線段的一個三等分點 D．【答案】ABD【解析】如圖，由拋物線的定義，

對于A，得，，又，則，A正確；對于B，由，，得，所以.而，所以，所以，可知，所以，B正確；對于D，在中，，可知，所以，D正確；對于C，由，可知，所以，即Q是的中點，C不正確.故選：ABD.11．直線y=kx與雙曲線交于兩點，點位于第一象限，過點作軸的垂線，垂足為，點為雙曲線的左焦點，則（

）A．若，則B．若，則的面積為4C．D．的最小值為4【答案】AD【解析】設(shè)雙曲線右焦點為，由題意可知，四邊形為平行四邊形，由雙曲線可知：，對于A，因為，所以，所以四邊形為矩形，所以，故A正確；對于B，據(jù)雙曲線定義可知：，若，則四邊形為矩形，則，所以，即所以，所以，所以，故B不正確；對于C，由雙曲線的方程可知，在中，，又因為雙曲線漸近線方程為：，所以，所以，即，故C錯誤；對于D，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值為4，故D正確．故選：AD．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若與平行，則兩直線之間的距離為.【答案】【解析】∵直線與平行，∴，解得，∴直線，直線，∴直線與之間的距離，故答案為：.13．已知點，若圓上存在點M滿足，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑，則，其中為坐標(biāo)原點，可得，則，所以M的軌跡是以O(shè)為圓心，r=3的圓，由題意可知：圓與圓有公共點，則，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.14．已知拋物線的焦點為，圓，圓心是拋物線上一點，直線，圓與線段相交于點，與直線交于，兩點，且，若，則拋物線方程為.【答案】【解析】

如圖，過點作于點，則,由圖知①，由可得，②，又點在拋物線上，可得，，即③，把①式代入②式，，解得，，回代入①可得，，代入③式整理得，，解得，或（舍去），故拋物線方程為：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知直線：，：，其中為實數(shù).(1)當(dāng)時，求直線，之間的距離；(2)當(dāng)時，求過直線，的交點，且垂直于直線的直線方程.【解析】（1）由得，解得， 2分此時直線：，：，不重合， 4分則直線，之間的距離為； 6分（2）當(dāng)時，：，聯(lián)立，解得， 9分又直線斜率為， 10分故過直線，的交點，且垂直于直線的直線方程為， 12分即. 13分16．（15分）已知圓C過兩點，，且圓心C在直線上.(1)求圓C的方程；(2)過點作圓C的切線，求切線方程.【解析】（1）根據(jù)題意，因為圓過兩點，，設(shè)的中點為，則，因為，所以的中垂線方程為，即又因為圓心在直線上，聯(lián)立，解得， 3分所以圓心，半徑，故圓的方程為； 5分（2）圓的圓心為，半徑， 6分當(dāng)過點P的切線的斜率不存在時，此時直線與圓C相切； 8分當(dāng)過點P的切線斜率k存在時，設(shè)切線方程為，即（*）， 9分由圓心C到切線的距離，即，可得， 12分將代入（*），得切線方程為，即， 14分綜上，所求切線方程為或. 15分17．（15分）2024年4月30日17時46分，神舟十七號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙．返回艙的軸截面可近似看作是由半個橢圓和一段圓弧組成的“果圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，某“果圓”中圓弧經(jīng)過橢圓的一個焦點和短軸的兩個頂點與．(1)寫出圖中“果圓”的方程；(2)直線交該“果圓”于A、B兩點，求弦AB的長度（精確到0.01）．【解析】（1）因為橢圓的一個焦點和短軸的兩個頂點與.可得，即，所以半個橢圓的方程為； 2分圓弧經(jīng)過橢圓的一個焦點和短軸的兩個頂點與，設(shè)圓弧方程為， 4分利用，解得，所以，得. 6分所以果圓方程為，. 7分（2）由，解得，得， 10分由，解得，得， 13分所以. 15分18．（17分）已知拋物線的焦點為，點在上，且的最小值為1.(1)求的方程；(2)過點的直線與相交于，兩點，過點的直線與相交于，兩點，且，不重合，判斷直線是否過定點.若是，求出該定點；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意可設(shè)，則 1分所以則的最小值為，則，得. 4分所以的方程為. 6分（2）因為A，C不重合，所以直線，，的斜率必然存在.設(shè)，，.直線的斜率，得. 9分直線的斜率.得.由，可得. 12分直線的斜率.所以直線的方程. 15分故直線過定點. 17分19．（17分）已知雙曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．(1)求雙曲線的方程．(2)若，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？若存在出直線l的方程；若不存在，說明理由．(3)點，直線交直線于點．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．【解析】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，