江蘇南京寧海中學(xué)2025屆高三期末數(shù)學(xué)試題

江蘇南京寧海中學(xué)2025屆高三期末數(shù)學(xué)試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛第填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知耳,月是雙曲線!■-t=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)F?關(guān)于雙曲線漸近線的對(duì)稱點(diǎn)A滿足

/耳4。=乙4。月（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±2xB.y=±43xC.y=±41xD.y=±x

/G）滿足氐）匕2卜/,且y=&+/）為奇函數(shù)，則），=&）的圖象可能是

'??'CD..

3.某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,則該幾何體的體積為

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.-B.C.1D.2

33

4.如圖，矩形A5C。中，A6=l,8C=&，E是4。的中點(diǎn)，將AABE沿HE折起至AA'BE，記二面角/V-的一。

的平面角為直線AE與平面〃CDE所成的角為夕，4E與8C所成的角為有如下兩個(gè)命題：①對(duì)滿足題意的

任意的4的位置，二十/工乃；②對(duì)滿足題意的任意的4的位置，a+y<7T,貝i］（

A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立D.命題①不成立，命題②成立

5.如圖，長(zhǎng)方體旦GA中，24B=3A4]=6,AP=2PB1點(diǎn)T在棱A4上，若7P_L平面則

UUUUU

TPB[B=()

C.2D.-2

6.已知〃A〃是兩條不重合的直線，％戶是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）

A.若機(jī)IIa,m\\ptn//a,〃〃/，則a|R

B.若機(jī)〃叫mLa,，則a||分

C.若機(jī)_L〃，mua,nuR,則

D.若加_L〃，m\\atn1/3,則。_1_4

7.已知函數(shù)/.（力=；：：[],若不等式〃-刈對(duì)任意的xwR恒成立，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是（）

A.B.[h+oo）C.[0,1）D.（-1,0]

8.已知尸是雙曲線C:依2+y2=4|%|a為常數(shù)）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)尸到雙曲線。的一條漸近線的距離為（）

A.2kB.4kC.4D.2

9.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物

不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)

的問(wèn)題：將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，

則該數(shù)列各項(xiàng)之和為（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

10.己知全集為實(shí)數(shù)集K,集合4={*8+射書>0},B={x\log2X<\\t貝U（aA）c3等于（）

A.[-4,2]B.[-4,2)C.(-4,2)D.(0,2)

11.關(guān)于函數(shù)/*)=sin|x|+|cos.Y|有下述四個(gè)結(jié)論：()

①是偶函數(shù)；②/(X)在區(qū)間,千。)上是單調(diào)遞增函數(shù)；

③〃力在R上的最大值為2；④/(“在區(qū)間[一2匹2句上有4個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①?@B.①?C.①④D.②④

12.小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在.起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作

業(yè)本的概率為()

12-118

A.—B.-C.-D.—

77335

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(可的定義域?yàn)榉矊?dǎo)函數(shù)為r(x),^/(x)=cosx-/(-x),且r(x)+詈＜o(jì),則滿足

+的x的取值范圍為.

14.正方體ABC?！狝,4GA中，E是棱的中點(diǎn)，尸是側(cè)面SAG上的動(dòng)點(diǎn)，且同尸//平面ABE,記印與產(chǎn)

的軌跡構(gòu)成的平面為

①開，使得與尸"LC"；

②直線與/與直線8c所成角的正切值的取值范圍是?占；

③a與平面所成銳二面角的正切值為2夜；

④正方體ABC。-4旦GA的各個(gè)側(cè)面中，與a所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè).

其中正確命題的序號(hào)是.(寫出所有正確命題的序號(hào))

15.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)4—3,0),僅-1,-2),若圓*-2)2+52=/(r＞0)上有且僅有一對(duì)點(diǎn)M”，

使得AMAS的面積是AM43的面積的2倍，貝"的值為.

2

16.已知兩動(dòng)點(diǎn)A3在橢圓。3+丁=1(。＞1)上，動(dòng)點(diǎn)2在直線3%+4丁-10=0上，若NAPB恒為銳角，則橢圓

C的離心率的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在多面體八BCDE1下中，四邊形是菱形，EF//AC,EF=1,ZABC=60%CEJ■平

（I）求證：平面ACG//平面跳產(chǎn)；

（II）求直線AO與平面AB廠所成的角的正弦值.

18.（12分）某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大

市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度，推出了健身促銷活動(dòng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的

部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來(lái)該健身館健身，設(shè)甲、

乙健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的概率分別為y,健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別為?，且兩人健

身時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).

（1）設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量4（單位：元），求J的分布列與數(shù)學(xué)期望E（J）；

（2）此促銷活動(dòng)推出后，健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來(lái)參與健身活動(dòng)，以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)

測(cè)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額.

19.（12分）在底面為菱形的四棱柱ABC?！狝MGR中，AB=AAi=ZA]B=A}D,ZBAD=（）O\ACBD=O,AO

面AM

（1）證明:旦C〃平面AB。；

（2）求二面角的正弦值.

20.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系工。），中，橢圓C：W+g=l（〃＞力＞°）的離心率為;，且過(guò)點(diǎn)（0，退卜

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知WMN是橢圓。的內(nèi)接三角形，

①若點(diǎn)8為橢圓C的上頂點(diǎn)，原點(diǎn)。為的垂心，求線段MN的長(zhǎng)；

②若原點(diǎn)0為/\BMN的重心，求原點(diǎn)。到直線MN距離的最小值.

2

21.(12分)已知橢圓C:5+y2=i的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，直線/：戈=2被稱作為橢圓C的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)P在橢圓C上(異于

橢圓左、右頂點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作直線加：〉=依+，與橢圓C相切，且與直線/相交于點(diǎn)Q.

(1)求證：PF1QF.

(2)若點(diǎn)P在不軸的上方，當(dāng)△P。產(chǎn)的面積最小時(shí)，求直線〃?的斜率h

附：多項(xiàng)式因式分解公式：r6-3r4-5r-1=(/2+l)(r4-4r-1)

22.(10分)已知函數(shù)〃x)=|x./|+k+2l，記〃”的最小值為”

(I)解不等式〃短w5；

(H)若正實(shí)數(shù)"隅足，、后求證：，為2加

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

先利用對(duì)稱得,根據(jù)/片4。=乙4?！昕傻肁耳=c,由幾何性質(zhì)可得NA￡O=60,即NMO鳥=60,

從而解得漸近線方程.

【題目詳解】

由對(duì)稱性可得：M為AF?的中點(diǎn)，且A/^_LOM,

所以耳A_LAg,

因?yàn)镹耳40=440M，所以AG=^O=c,

故而由幾何性質(zhì)可得NA^O=60,即NMO6=60,

故漸近線方程為y=±后，

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的知識(shí)，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出NM。6二60是解題的關(guān)鍵，屬于中檔

題.

2、D

【解題分析】

根據(jù)〃=&+/）為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于（人0）中心對(duì)稱，排除.48,計(jì)算!〃5）1＜后排除C,得到答案.

【題目詳解】

'=&+/）為奇函數(shù)，即禽+/）=?/（?x+/）,函數(shù)關(guān)于0,0）中心對(duì)稱，排除」氐

以/.5）1?2"5"=也，排除c.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，確定函數(shù)關(guān)于9。）中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.

3、C

【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，三棱錐的高為百，所以該幾何體的體積

V=—x—x2x2x-^x>/3=1?故選C.

322

4、A

【解題分析】

作出二面角a的補(bǔ)角、線面角夕、線線角/的補(bǔ)角，由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.

【題目詳解】

①如圖所示，過(guò)大作AO_L平面8CDE,垂足為0,連接0E,作OM_L3E,連接A'M.

由圖可知NAMO=;r—a,ZAEO=ft<Z.AMO=7r—a,所以a+￡W乃，所以①正確.

②由于BCHDE,所以4七與8。所成角7二乃一/4&)4/4知。=萬(wàn)一儀,所以二+/4乃，所以②正確.

綜上所述，①②都正確.

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了折疊問(wèn)題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

5、D

【解題分析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知TP上PB;結(jié)合4尸=2尸4即可證明△尸進(jìn)而求得7A?由線段關(guān)系及平

UUUUU

面向量數(shù)量積定義即可求得

【題目詳解】

長(zhǎng)方體ABCO-A旦CQ中，2AB=3AAi=6,

點(diǎn)了在棱AA上，若7P_L平面P8C.

則7P_LP3，"=2PB\

則ZPLAj=NBPB1,所以AP%=MPB[,

則%=%=1,

uiruuulUiTiiuuur

所以7PgB=7PB|Bcos/PZ4

=+1、x2xI———I=—2,

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解題分析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.

【題目詳解】

A選項(xiàng)，若m\\ptn〃a,,則。11萬(wàn)或。與夕相交；故A錯(cuò)；

B選項(xiàng)，若加〃〃，則〃_La,又〃，夕，夕是兩個(gè)不重合的平面，則。"，故B正確；

C選項(xiàng)，若〃z_L〃，mua,則〃ua或〃〃0或〃與。相交，又〃u夕，a,用是兩個(gè)不重合的平面，則a夕或a

與月相交；故C錯(cuò);

D選項(xiàng)，若〃z_L〃，根1a,則，7ua或，〃?；颉ㄅca相交，又〃_L〃，a,P是兩個(gè)不重合的平面，則a||〃或a與

夕相交；故D錯(cuò)；

故選B

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題，熟記線線、線面位置關(guān)系，即可求解，屬于常考題型.

7、A

【解題分析】

先求出函數(shù)“X)在(1,0)處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)/("={和g(x)=k-K的圖象，

利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【題目詳解】

當(dāng)xNl時(shí)，/(x)=lnx,=>/(%)=-=>/(1)=1,所以函數(shù)/(x)在(1,0)處的切線方程為：y=x-\f令

g(x)=\x-k\t它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(Z,0).

/、(0,x<1..

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)/(%)=|坨］］>］和ga)=k-4的圖象如下圖的所示:

y

利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式/（無(wú)）4,一?對(duì)任意的xcR恒成立，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是ZW1.

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

8、D

【解題分析】

分析可得k<0,再去絕對(duì)值化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.

【題目詳解】

22

當(dāng)女之0時(shí)，等式心+y2=4伏|不是雙曲線的方程；當(dāng)k<0時(shí)，履2+9=4|%|=_4攵，可化為上一一—=1，可得虛

-4k4

半軸長(zhǎng)6=2,所以點(diǎn)尸到雙曲線。的一條漸近線的距離為2.

故選：D

【題目點(diǎn)撥】

本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解題分析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)％可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可得結(jié)果.

【題目詳解】

被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,

公差為5x7=35的等差數(shù)列，記數(shù)列｛《J

貝U4=23+35（〃-1）=35〃-12

2

令4=35〃-1242020,解得"458天.

co*57

故該數(shù)列各項(xiàng)之和為58x23+——x35=59189.

2

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。

10、D

【解題分析】

求解一元二次不等式化簡(jiǎn)4,求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)8,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.

【題目詳解】

解：由—+2*<>0,得xV-4或X>2,

???4=3/+2代8>0}={工［*<-4或x>2},

由logzxvl,x>0,得0VxV2,

：.B={x\log2X<l}={x|0<x<2},

則aA={/|-4WxK2},

???&4）「8=（0,2）.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了對(duì)數(shù)不等式，二次不等式的求法，是基礎(chǔ)題.

11、C

【解題分析】

根據(jù)函數(shù)/（X）的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號(hào).

【題目詳解】

“X）的定義域?yàn)镽.

由于/（-%）=/（x），所以/（X）為偶函數(shù)，故①正確.

,_r（兀、.兀nV3+1/萬(wàn)71yj3+yj2//*g、］“

由于/——=sin—+cos—=--------,/——=sin—+COS—=--------------,f--<f\一-7，所以/（x）在

k6J66214）442I6；I4；'）

區(qū)間（一半。）上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯(cuò)誤.

當(dāng)工20時(shí)，/(x)=sinx+|cosx\=sinx±cosx=>/2sinx±—<\/2,

士士乃j，萬(wàn)萬(wàn)乃

且rt存在x=二，使.f7=s?m--+cos—3

4⑷44

所以當(dāng)工之0時(shí)，/(x)<V2；

由于/(力為偶函數(shù)，所以XER時(shí)/(%)工血,

所以/(x)的最大值為血，所以③錯(cuò)誤.

依題意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,當(dāng)0<xW2"時(shí),

?八/兀-p3乃,c

sinx+cos苞0<xW—,或——<X<2TT

“加.—‘

smx—cosx,一<x<—

22

所以令sinx+cosx=0,解得x二子，令sinx-cosx=0,解得丫=苧,所以在區(qū)間(0,2句，/(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

由于/(力為偶函數(shù)，所以〃力在區(qū)間［-2%,0)有兩個(gè)零點(diǎn).故在區(qū)間［-2乃,2句上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.

綜上所述，正確的結(jié)論序號(hào)為①

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

12、A

【解題分析】

利用P=%計(jì)算即可，其中〃，表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)，〃為基本事件總數(shù).

n

【題目詳解】

從7本作業(yè)本中任取兩本共有C；種不同的結(jié)果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有C；種不同結(jié)果，

C21

由古典概型的概率計(jì)算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為T=一.

C；7

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、一二■，田

L2)

【解題分析】

CCSX?

構(gòu)造函數(shù)晨x)=〃x)-一片，再根據(jù)條件確定g(x)為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡(jiǎn)

不等式，解得結(jié)果.

【題目詳解】

—\COSXr/\cos(-x)

依題意，/(X)一一—=-/(-%)+—4，

令g(x)=/(x)-差之貝11且(/)=-8(-1),故函數(shù)g(x)為奇函數(shù)

P1，

g'G)=/(X)--=廣(司+包絲<()，故函數(shù)g")在R上單調(diào)遞減，

22

則/(x+/)+/(x)V0=>/(x+/)_cos(j+%)+/(x)_g^v0

og(x+7T)+g(x)W0og(x+乃)W-g(x)=g(-x),即X+TTN-X,故xN,則X的取值范圍為一］，+8)?

故答案為：一耳，+8)

【題目點(diǎn)撥】

本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

14、①@@④

【解題分析】

取C。中點(diǎn)G,GR中點(diǎn)M,CG中點(diǎn)N,先利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段仞V,平面BMN即為平面

a，畫出圖形，再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷;②直線BF與直線3C所成角即為直線BF與直線B?

所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,進(jìn)而求解;③由MNHEG跟F為MN中點(diǎn)，則MN1C、F,MN1用尼則Zfi.FC,即為a

與平面CDAG所成的銳二面角，進(jìn)而求解；④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.

【題目詳解】

0

取。中點(diǎn)G,連接EG,則EG//CD}，所以EG//A兄所以平面ABE即為平面ABGE,

取GR中點(diǎn)M,CG中點(diǎn)N,連接則易證得qM〃BG4N//AE,

所以平面gMN〃平面A3GE,所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN,平面片“V即為平面。.

①取/為MN中點(diǎn)，因?yàn)椤饔肕N是等腰三角形，所以四尸J.MN,又因?yàn)镸N//CR,所以用尸_LCR,故①正確：

②直線印「與直線BC所成角即為直線B}F與直線5G所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,當(dāng)點(diǎn)F為MN中點(diǎn)時(shí)，直線B.F

與直線B?所成角最小，此時(shí)C、F=旦八an/C\B、F=^=烏;

24cl4

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)，直線與直線4G所成角最大，此時(shí)tanZC,B,F=i,

所以直線與直線BC所成角的正切值的取值范圍是[￥，g],②正確；

③a與平面a)RG的交線為EG,且MN//EGMF為MN中點(diǎn)，則MN±C,F,MN_Lq￡，NB尸G即為。與平

面CDD.C,所成的銳二面角,tan=照=2&，所以③正確；

C\F

④正方體ABCD-A^C^的各個(gè)側(cè)面中，平面A8CD,平面平面BCC.B,，平面ADDiA,與平面a所成的角

相等,所以④正確.

故答案為:①@③④

【題目點(diǎn)撥】

本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系，考查異面直線成角，二面角，考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.

15、—

6

【解題分析】

寫出A3所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結(jié)合題意可得關(guān)于「的等式，求解得答案.

【題目詳解】

解：直線AB的方程為與2=毛言，即x+y+3=0.

—2—0—1+3

圓“-2）2+y2=/（/>0）的圓心（2,0）

到直線AB的距離d=|1X^31=平，

V22

由AM48的面積是的面積的2倍的點(diǎn)M,N有且僅有一對(duì),

可得點(diǎn)M到AB的距離是點(diǎn)N到直線AB的距離的2倍，

可得A/N過(guò)圓的圓心，如圖：

由竽+「=2（乎一「），解得「=平.

故答案為：述.

6

【題目點(diǎn)撥】

本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.

/I。閘3J

【解題分析】

根據(jù)題意可知圓/+產(chǎn)=〃2+i上任意一點(diǎn)向橢圓c所引的兩條切線互相垂直，乙APB恒為銳角，只需直線

3%+4），-10=0與圓/+/="+［相離，從而可得/+1</=4,解不等式，再利用離心率。=￡即可求解.

a

【題目詳解】

根據(jù)題意可得，圓Y+y2=/+1上任意一點(diǎn)向橢圓C所引的兩條切線互相垂直,

因此當(dāng)直線3%+4y-10=0與圓/+丁=々2+|相離時(shí)，N4P3恒為銳角，

2

[0+0-10「

故/+1=4,解得\<a2<3

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了邏輯分析能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、（I）詳見解析；（II）姮.

5

【解題分析】

試題分析：（I）連接8。交AC于O,得OG//BE,所以O(shè)G〃面BEF,又EFHAC,得AC//面8防，

即可利用面面平行的判定定理，證得結(jié)論；

（II）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求的平面A3b的一個(gè)法向量而，利用向量A力和向量〃z夾

角公式，即可求解AO與平面A8廠所成角的正弦值.

試題解析：

（I）連接交AC于O,易知。是30的中點(diǎn)，故OGMBE,BE^BEF,OG在面SEW外，所以O(shè)G〃

面BEF；

又EFHAC,AC在面尸夕卜，AC/他BEF,又AC與OG相交于點(diǎn)。，面ACG有兩條相交直線與面8￡尸

平行，故面ACG〃面//為/；

（II）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C、OD、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（-l,0,0）,8（0,—g,0）,

￡）（0,^,0）,尸（0,0詞,AD=（l,V3,0）,通

(〃也°)(1,-6,0)=。_屏=0

tnlAB

設(shè)面A3尸的法向量為m二（4,A,C）,依題意有＜令a=，b=l,

mlAF9(a,/?,c).(1,0，6)=a+6c=0

c=-l,根,cos(AD,tn)=,

')\/V4xV4+l5

直線AD與面AB尸成的角的正弦值是叵.

5

18、（1）見解析，40元（2）6000元

【解題分析】

（1）甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是。元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情

況，分情況計(jì)算即可

（2）根據(jù)（1）結(jié)果求均值.

【題目詳解】

解：（1）由題設(shè)知J可能取值為0,20,40,60,80,則

P(^=0)=-xl=—；

'74624

P(￡=20)=-x-^-x-=-.

'743624

P(i=40)=—x—+—x—+—x—=—

'746236412

p(^=60)=-xl+ix-=l；

726434

=80)=-xl=—.

'74624

故4的分布列為:

自020406080

1J_5\_1

p

244n424

所以數(shù)學(xué)期望E（J）=0x（+20x；+40xi1+60x；+80x^=40（元）

⑵此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額預(yù)計(jì)為：40x300x1=6000（元）

【題目點(diǎn)撥】

考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，中檔題.

19、(1)證明見解析；(2)巫

7

【解題分析】

(1)由已知可證瑪。〃A￡),即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)已知可證4。-L平面ABCD,建立空間直角坐標(biāo)系，求出4A,仇。坐標(biāo),進(jìn)而求出平面A.AB和平面A.AD

的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可求解.

【題目詳解】

方法一：(D依題意，AB也AB,且AB&CD,：,AB也CD,

???四邊形A"。。是平行四邊形，???用?！?。，

?.?800平面AOu平面480,

???4。/平面48。.

(2)???40_1平面4/。，???4。，4。，

???48=4。且。為BO的中點(diǎn)，???4。，8￡),

VAO.BOu平面ABCD且AOBD=O,

???4。，平面A3CO,

以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)AO氏04,為x軸、)軸、二軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-gz,

則A(6,o,o),8(0,1,0),D(0,-l,0),A(。，?！?,

:.M=(->/3,0,l),AB=(-^,l,0),AD=(->/3,-l,0),

設(shè)平面4AB的法向量為〃=(x,y,z),

則發(fā)例，,?」一*+"°,取I,則〃=",研

\nlAB|-岳+y=0'7

設(shè)平面4AD的法向量為6二（x，y,zj,

…n_LAA—\/3x+z=04一/,A/r\

則（f,???〈廠，取x=l,則，"二（L一點(diǎn)K）.

h±AD[-^x-y=o\）

m-n11

,cos<m,n>=7—FT=—p=----,==—

??耐.忖>/7XV77，

設(shè)二面角8-⑨一。的平面角為。，則sina=Jl—（J=竽,

，二面角B-AA.-D的正弦值為苧.

方法二：（D證明：連接A4交于點(diǎn)。，

因?yàn)樗倪呅?MB4為平行四邊形，所以。為A片中點(diǎn)，

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以。為AC中點(diǎn)，

，在VAB]。中，OQ〃4。,且OQ=g8C，

???OQu平面A3。，四。二平面AB。，

???丹。1平面ABD

（2）略，同方法一.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),

屬于中檔題.

20、（1）[+]=1；⑵①②也.

【解題分析】

（1）根據(jù)題意列出方程組求解即可；

（2）①由原點(diǎn)。為△BMN的垂心可得BO1.MN,MN〃x軸，設(shè)M（x,y）,則N（—x,y）,x2=4-1/,根據(jù)

8M-ON=0求出線段MN的長(zhǎng)；

②設(shè)中點(diǎn)為。，直線OO與橢圓交于A,8兩點(diǎn)，。為ZX^MN的重心，則80=200=04,設(shè)MN：y=kx+mf

M（x，yJ,N（w，%），則4（%+Z，y+必），當(dāng)MN斜率不存在時(shí)，則。到直線MN的距離為1,

y="+加

（4&2+3）1七十4mk（A）十人2）+4〃/+6=0,則（4/十3b2+8〃血+4〃,-12=0,

3/+4丁=12'

-Smk4m2-1?大求解即可?

玉+%2xx=——；----,得出4m2=4k2+3，根據(jù)d=

-4F+3i12-4/+3

【題目詳解】

a2=4

解:（1）設(shè)焦距為2c,由題意知:從=3

因此，橢圓C的方程為：—+^-=1；

43

（2）①由題意知：BO工MN,故MN//X軸，設(shè)“（x,y）,貝!JN（—x,y）,x2=4-^y2,

222

BMON=-x+y-43y=-y-y/3y-4=0f解得：y=g或-延，

3,7

B，Al不重合，故），=一生8,x2=-^7?故MN=2|H=&g^;

,749117

②設(shè)MN中點(diǎn)為。，直線QD與橢圓交于A,4兩點(diǎn)，

O為/\BMN的重心,則8O=2QD=Q4,

當(dāng)MN斜率不存在時(shí)，則。到直線MN的距離為1；

設(shè)MN：y=kx+mt則A（%+%,%+%）

工+￡=名+近=5+置+。+垃43中2+4”2=-6

434343

3%%+4（何+根）（5+m）=-6

（4&2+3卜超+4加〃（玉+為）+4機(jī)2+6=0

{32^4^]2,貝”（4"2+3）r+8mAx+4m2-12=。

△=48（442+3-也＞0,丁二）2）3（4產(chǎn)+3一也

4k2+3

r,一8mk4m2-17

則：…=E'中2，代入式子得:

1-4公+3

32m2k2

8〃z~-6—=0,4>=4r+3

必2+3

設(shè)。到直線MN的距離為d,則/=)㈣一4T_+3

4公+4

攵=0時(shí)，d=也；

min2

綜上，原點(diǎn)。到直線MN距離的最小值為立.

2

【題目點(diǎn)撥】

本題考查橢圓的方程的知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合運(yùn)用向量，韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離的知深，屬于難題.

21、(1)證明見解析(2)-/當(dāng)匚

【解題分析】

x~21

萬(wàn)+'=|得（2二+i）（2k1

(1)由《f+4奴r+2f2—2=0令△=（）可得*=2^+1，進(jìn)而得到尸——,同理

y=kx+t

。(2,2&+。，利用數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算萬(wàn)./Q即可;

(2)5”3=?+2左一上，分2之0，k<0兩種情況討論即可.

【題目詳解】

(1)證明：點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(1，0).

X2—

+y

聯(lián)立方程~2=,消去），后整理為（23+1）/+4依+2/一2=0

y=kx+t

有A=16公產(chǎn)-4（2公+1）（2/-2）=0,可得/=2二+],x=.,^_2kt2k