數(shù)學教案：直線方程的幾種形式直線方程的一般式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7（）,\s\do5（整體設(shè)計））教學分析通過討論直線的斜截式方程與二元一次方程的關(guān)系，歸納、總結(jié)出了結(jié)論：關(guān)于x、y的二元一次方程都表示一條直線,接著給出了直線的一般式方程的概念．同時，我們還可以得到結(jié)論:直線的方程都是關(guān)于x，y的二元一次方程，即對于每一條直線都可求出它的方程，而且是二元一次方程．三維目標1．掌握直線方程的一般式;了解直角坐標系中直線與關(guān)于x和y的一次方程的對應關(guān)系;培養(yǎng)學生樹立辯證統(tǒng)一的觀點；培養(yǎng)學生形成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和求簡的數(shù)學精神．2．會將直線方程的特殊形式化成一般式;會將一般式化成斜截式和截距式，培養(yǎng)學生歸納、概括能力;滲透分類討論、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想．重點難點教學重點:直線方程的一般式及各種形式的互化．教學難點：歸納出直線的一般式方程．課時安排1課時eq\o（\s\up7()，\s\do5（教學過程）)導入新課設(shè)計1。前面所學的直線方程的幾種形式,有必要尋求一種更好的形式，那么怎樣的形式才能表示一切直線的方程呢?這節(jié)課我們就來研究這個問題．設(shè)計2。由下列各條件，寫出直線的方程，并畫出圖形．(1）斜率是1,經(jīng)過點A（1，8）；（2）在x軸和y軸上的截距分別是－7，7；（3)經(jīng)過兩點P1(－1,6)、P2（2，9)；(4)在y軸上的截距是7,傾斜角是45°.由兩個獨立條件，請學生寫出直線方程的“特殊”形式分別為y－8＝x－1、eq\f（x，－7)＋eq\f(y，7）＝1、eq\f(y－6，9－6）＝eq\f（x＋1,2＋1)、y＝x＋7,教師利用計算機動態(tài)顯示，發(fā)現(xiàn)上述4條直線在同一坐標系中重合．原來它們的方程化簡后均可統(tǒng)一寫成：x－y＋7＝0。這樣前幾種直線方程有了統(tǒng)一的形式，這就是我們今天要講的新課——直線方程的一般式．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題）)eq\a\vs4\al(1寫出二元一次方程的形式.,2斜率存在的直線y＝kx＋b，斜率不存在的直線x＝x1都能寫成二元一次方程的形式嗎？)eq\a\vs4\al（3二元一次方程Ax＋By＋C＝0A，B不同時為0表示直線嗎？，4總結(jié)直線與二元一次方程之間有什么關(guān)系？）討論結(jié)果：（1)二元一次方程的形式：Ax＋By＋C＝0.(2）直線y＝kx＋b化為kx－y＋b＝0。直線x＝x1化為x－0·y－x1＝0.因此都能化為二元一次方程的形式，即有以下結(jié)論：直線的方程都是關(guān)于x,y的二元一次方程．（3)關(guān)于x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，①其中A，B不同時為0.下面分B≠0和B＝0兩種情況加以討論：①當B≠0時，方程①可化為y＝－eq\f（A,B)x－eq\f（C,B）。這是直線的斜截式方程．它表示斜率為－eq\f（A，B），在y軸上的截距為－eq\f(C，B)的直線．②當B＝0時，由于A，B不同時為0，必有A≠0，于是方程①可化為x＝－eq\f（C,A）。它表示一條與y軸平行或重合的直線．根據(jù)以上討論，我們又得到下面的結(jié)論：關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線．（4）直線與二元一次方程的關(guān)系：①直線的方程都是關(guān)于x，y的二元一次方程；②關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線．因此，關(guān)于x，y的二元一次方程是直線的方程，我們把方程Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0)叫做直線的一般式方程．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例)）思路1例1已知直線通過點（－2,5)，且斜率為－eq\f(3,4），求此直線的一般式方程．解：由直線方程的點斜式,得y－5＝－eq\f(3,4）（x＋2),整理,得所求直線方程為3x＋4y－14＝0.變式訓練1．過點A(4，－3）,且斜率為－eq\f(2,3）的直線的一般式方程是______．答案：2x＋3y＋1＝02．過A（1,1)，B(－1,3）的直線的一般式方程是______．答案：x＋y－2＝0例2求直線l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y軸上的截距．解：已知直線方程可化為y＝eq\f(2，3)x＋2.所以直線l的斜率k＝eq\f(2,3），在y軸上的截距是2。點評:本題主要考查將直線的一般式方程化為斜截式方程．變式訓練1．直線x－eq\r（3）y＋4＝0的斜率為______，傾斜角＝______.答案：eq\f（\r(3),3)30°2．已知直線mx＋ny＋12＝0在x軸、y軸上的截距分別是－3和4,求m、n的值．解法一:由截距意義，知直線經(jīng)過A(－3,0）和Q（0,4)兩點,因此有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m×－3＋n×0＋12＝0，,m×0＋n×4＋12＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝4,，n＝－3。）)解法二：由截距已知,也可將mx＋ny＋12＝0化為截距式得eq\f(x,－\f（12，m)）＋eq\f（y,－\f(12,n)）＝1.因此有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f（12，m)＝－3,,－\f(12，n）＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝4,，n＝－3。))

思路2例3設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1）y＝2m－6,根據(jù)下列條件確定m的值．（1)l在x軸上的截距為－3;(2)l的傾斜角為135°;（3)直線l與x軸平行．解:（1）由于l在x軸上的截距為－3，則l過點（－3,0)，∴（m2－2m－3）(－3）＝2m－6,解得m＝－eq\f（5,3）或m＝3(舍去),∴m＝－eq\f（5,3).(2)由l的傾斜角α＝135°,則斜率k＝tan135°＝－1，∴－eq\f(m2－2m－3，2m2＋m－1)＝－1，解得m＝－2，或m＝－1（舍去）．（3）由于l∥x軸,則l的斜率k＝0，∴－eq\f（m2－2m－3,2m2＋m－1）＝0解得m＝3或m＝－1（舍去）．點評:本題（1)易錯認為m＝3也符合題意,通過（3)可以看出m＝3時，l與x軸平行，此時，l在x軸上不存在截距．變式訓練1．直線Ax＋By＋C＝0，經(jīng)過第一、二、三象限，則（）A．AB>0B．AB〈0C．AB＝0D．A與B的符號不確定解析：由題意，知直線的傾斜角為銳角，則k＝－eq\f(A，B)>0，則AB〈0。答案：B2．已知直線Ax＋By＋C＝0,（1)系數(shù)為什么值時，方程表示通過原點的直線；（2）系數(shù)滿足什么關(guān)系時與坐標軸都相交；（3)系數(shù)滿足什么條件時只與x軸相交；(4）系數(shù)滿足什么條件時是x軸；（5）設(shè)P(x0，y0）為直線Ax＋By＋C＝0上一點，證明這條直線的方程可以寫成A(x－x0)＋B（y－y0）＝0。答案：(1)C＝0;（2)A≠0且B≠0；（3）即B＝0且A≠0；（4)A＝C＝0且B≠0;(5)證明：∵P（x0，y0）在直線Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C＝0，C＝－Ax0－By0.∴A(x－x0）＋B(y－y0)＝0.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練））1．經(jīng)過點A(8，－2)，且斜率為3的直線的一般式方程為______．答案:3x－y－26＝02．經(jīng)過點M(－3,0)，且與x軸垂直的直線的一般式方程為______．答案：x＋3＝03．斜率為－4,且在y軸上的截距為7的直線的一般式方程為______．答案:4x＋y－7＝04．在x、y軸上截距分別為3，－2的直線的一般式方程為______．答案：2x－3y－6＝05．直線x－2y＋2＝0化為斜截式方程為______，化為截距式方程為______．答案：y＝eq\f(1,2）x＋1eq\f（x，－2）＋eq\f(y，1)＝16．已知直線ax＋my＋2a＝0(a≠0)過點（1,－eq\r(3）)，求此直線的斜率k.解:由題意，得a－eq\r（3）m＋2a＝0,則m＝eq\r（3)a.∴直線方程為ax＋eq\r（3)ay＋2a＝0，又∵a≠0,∴整理,得x＋eq\r（3)y＋2＝0,化為斜截式，得y＝－eq\f(\r(3)，3）x－eq\f（2，3)eq\r(3),∴k＝－eq\f(\r(3）,3）。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升）)已知直線l的方程為y＝mx＋（2m＋1），若x∈（－1,1）時，y〉0恒成立，求m的取值范圍．解：設(shè)f（x）＝mx＋(2m＋1），當x∈（－1,1）時，f(x）〉0恒成立，即當x∈(－1,1)時，f(x）的圖象位于x軸上方,只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≥0，,f1≥0，)）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－m＋2m＋1≥0，,m＋2m＋1≥0，))解得m≥－eq\f(1，3)，即m的取值范圍是[－eq\f（1，3),＋∞）．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)）)本節(jié)課學習了：1．直線的一般式方程；2．直線的方程化為一般式方程；一般式方程化為斜截式方程和截距式方程．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè))）本節(jié)練習B2,3題．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（設(shè)計感想))本節(jié)課的教學流程是這樣設(shè)計的：激活舊知→歸納猜想→獲得新知→轉(zhuǎn)化鞏固→重組網(wǎng)絡(luò)→變式訓練→遷移應用→小結(jié)歸納．兩點可以確定一條直線，給出一點和直線的方向也可以確定一條直線，由兩個獨立條件選用恰當形式求出直線方程后，均應統(tǒng)一到一般式．直線的一般式方程中系數(shù)A、B、C的幾何意義不很鮮明，常常要化為斜截式和截距式,所以各種形式應會互化．引導學生觀察直線方程的特殊形式，歸納出它們的方程的類型都是二元一次方程，推導直線方程的一般式時滲透分類討論的數(shù)學思想,通過直線方程各種形式的互化，滲透化歸的數(shù)學思想，進一步研究一般式系數(shù)A、B、C的幾何意義時，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．安排變式練習，培養(yǎng)學生解決問題的技能．eq\o(\s\up7（),\s\do5(備課資料））直線方程的一般式是在學生學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式后的第5種形式．前4種形式都有其各自的優(yōu)點，那么為什么還要學習一般式呢？實際上直線方程的一般式有其他4種形式無法實現(xiàn)的一個優(yōu)點，它能表示平面內(nèi)的任意一條直線．針對這個特點就想到先讓學生尋找4種形式的不完備之處，那就是它們都有一定的應用范圍，進而提出問題：平