人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)專題11.2與三角形有關(guān)角的綜合(壓軸題專項(xiàng)講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題11.2與三角形有關(guān)角的綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問(wèn)題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時(shí)可采用間接證明。分類討論思想：當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個(gè)問(wèn)題的解答。分類討論的分類并非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：1.不重（互斥性）不漏（完備性）；2.按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分（同一性）；3.逐級(jí)分類（逐級(jí)性）。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理1.三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．2.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．二、三角形的外角性質(zhì)1.三角形的外角和為360°；2.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；3.三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．典例分析典例分析【典例1】在△ABC中，∠C=60°，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．【問(wèn)題初探】（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且∠α=60°，則∠1+∠2=______°；（2）如圖2，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；【問(wèn)題再探】（3）如圖3，若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，求∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系；（4）如圖4，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC的內(nèi)部，求∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系．【問(wèn)題解決】（5）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC的外部，且滿足與點(diǎn)A分別居于直線BC的兩側(cè)時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，找出相關(guān)角與角之間的關(guān)系．（1）（2）均先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B和∠APD+∠BPE，再根據(jù)∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°求出∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，從而求出答案即可；（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠ABC和∠3，∠4，再根據(jù)∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，從而求出答案即可；（4）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠ABC，再根據(jù)五邊形內(nèi)角和公式求出∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，從而得到答案即可；（5）分三種情況討論：①在線段AB的延長(zhǎng)線上，②不在線段AB的延長(zhǎng)線上，③當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形進(jìn)行解答即可．【解題過(guò)程】解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°?60°=120°，∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∠α=60°，∴∠APD+∠BPE=120°，∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°?120°?120°=120°，故答案為：120；（2）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°?60°=120°，∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∴∠APD+∠BPE=180°?∠α，∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°?120°?180°+∠α=60°+∠α，故答案為：∠1+∠2=60°+∠α；（3）如圖所示：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠ABC=180°?60°=120°，∵∠3+∠2+∠α=180°，∴∠3=∠4=180°?∠2?∠α，∵∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°?∠2?∠α=360°，∴∠1?∠2=60°+∠α；（4）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°?60°=120°，∵五邊形ABEPF的內(nèi)角和為5?2×180°=540°∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，∴∠1+∠2=540°?120°?∠α，即∠1+∠2=420°?∠α；（5）由題意可知點(diǎn)P的位置可能兩種情況，①在線段AB的延長(zhǎng)線上，如（3）∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系為：∠1?∠2=60°+∠α；②不在線段AB的延長(zhǎng)線上，有兩種情況第一種如圖所示：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°?60°=120°，∵∠3+∠2+∠α=180°，∴∠3=∠4=180°?∠2?∠α，∵∠A+∠B+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°?∠2?∠α=360°，∴∠1?∠2=60°+∠α，第二種如圖所示：∵∠COD=∠POE，∴180°?60°?∴∠1?∠2=60°?∠α．③當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：∠PDA=∠1=180°,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α，∵∠PCE+∠PEC+∠P=180°，∴180°?60°∴300°?∠2+∠α=∠1，∴∠1+∠2=300°+∠α；∴若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC的外部，且滿足與點(diǎn)A分別居于直線BC的兩側(cè)時(shí)，∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系為：∠1?∠2=60°+∠α；∠1?∠2=60°?α；∠1+∠2=300°+∠α．學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2023上·天津東麗·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，設(shè)∠AEF=α，∠ADC=β，則下列關(guān)系正確的是（）

A．β=110°+2a B．β=220°?2aC．β=110°+a D．β=250°?2a2．（2023上·江西南昌·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠ABC=∠ACB，BD，CD，AD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠BDC=12∠BAC；④∠ADC=90°?∠ABD

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（2023下·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在ΔABC，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H，下列結(jié)論：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12

A．1 B．2 C．3 D．44．（2023下·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD

5．（2024上·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的角平分線和高線，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，F(xiàn)H⊥AD，交AE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論：①∠DAE=∠F；②∠ACF=2∠F+∠ADF；③∠AGF=∠ADB；④∠ACB=2∠F+∠B．其中結(jié)論正確的為．（填序號(hào)）．6．（2023上·吉林·八年級(jí)階段練習(xí)）【題目】如圖①：根據(jù)圖形填空：（1）∠1=∠C+，∠2=∠B+；（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______+∠1+∠2=；【應(yīng)用】（3）如圖②．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)；【拓展】（4）如圖③，若∠BGF=110°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小為_(kāi)_____度．7．（2023上·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）綜合與探究

（1）如圖1，將△ABC沿著DE第一次折疊，頂點(diǎn)B落在△ABC的內(nèi)部點(diǎn)O處，試探究∠1+∠2與∠B之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，將△ABC沿著FG第二次折疊，頂點(diǎn)C恰好與點(diǎn)O重合，若∠A=85°，∠5=62°，求∠1+∠3的度數(shù)．（3）如圖3，將△ABC沿著GH第三次折疊，頂點(diǎn)A恰好與點(diǎn)O重合，若∠A=α，∠5=β，用含α，β的代數(shù)式表示∠6?∠1+∠AGO8．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)期末）（1）如圖，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，試探究∠1、∠2與∠A（2）如圖2，若∠1=140°,∠2=80°，作∠ABC的平分線BN，與∠ACB的外角平分線CN交于點(diǎn)N，求∠BNC的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)A1落在△ABC內(nèi)部，作∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)A1，此時(shí)∠1,∠2,

9．（2024上·遼寧阜新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們把有一組對(duì)頂角的兩個(gè)三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1，AD，BC相交于點(diǎn)O，連接AB，CD得到“8”字圖形ABDC．（1）如圖1，試說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；（2）如圖2，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E，利用（1）中的結(jié)論探索∠E與∠A、∠C間的關(guān)系；（3）如圖3，點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延長(zhǎng)線與DP交于點(diǎn)P，請(qǐng)?zhí)剿?0．（2023下·湖北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交射線BD于點(diǎn)F，∠CEF的平分線所在直線與射線BD交于點(diǎn)G．（1）如圖，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．①若∠ABC=40°，∠C=60°，則∠A的度數(shù)是；∠EFB的度數(shù)是②探究∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)E在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．11．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中∠A=60°．

（1）∠ABC，∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P，求（2）∠ABC，∠ACB的三等分線分別相交于點(diǎn)P1（3）∠ABC，∠ACB的n等分線分別相交于點(diǎn)P1,P2,…Pn?1，則∠BP1C=________（結(jié)果用含n的式子表示），12．（2024上·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知ABCD為四邊形，點(diǎn)E為邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．【探究】（1）如圖1，∠ADC=110°,∠BCD=120°,∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB=______°；（2）如圖2，∠ADC=α,∠BCD=β，且α+β>180°,∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB=______；（用α,β表示）（3）如圖3，∠ADC=α,∠BCD=β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG,BH平行時(shí)，α,β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【挑戰(zhàn)】如果將（2）中的條件α+β>180°改為α+β<180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，若兩平分線所在的直線交于點(diǎn)F，則∠AFB與α,β有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形并直接寫出結(jié)論．13．（2024上·廣東肇慶·八年級(jí)?？计谀締?wèn)題】如圖①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，則∠BEC=____________；若∠A=a°，則∠BEC=____________．

【探究】（1）如圖②，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，若∠A=a°，則∠BEC=____________；（2）如圖③，O是∠ABC與外角的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖④，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2023下·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，△ABC的外角∠MBC與∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線段BP，QC交于點(diǎn)E．（1）若∠A=30°，求∠BPC的度數(shù)；（2）探究∠BPC與∠Q之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在△BQE中，若存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．15．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AD是角平分線．∠B<∠C．

（1）如圖（1），AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖（2），點(diǎn)E在AD上，EF⊥BC于F，試探究∠DEF與∠B、∠C的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（提示：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G）；（3）如圖（3），點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上．EF⊥BC于F，試探究∠DEF與∠B、∠C的大小關(guān)系是______．（直接寫出結(jié)論，不需證明）16．（2023下·福建莆田·七年級(jí)校聯(lián)考期中）李強(qiáng)將一個(gè)含有30°角的三角板ABC（∠A=30°，∠C=90°，∠B=60°）放置在互相平行的直線MN和（1）將三角板ABC如圖1放置，BC交MN于點(diǎn)E，AC交PQ于點(diǎn)F，AB分別交MN、PQ于點(diǎn)D、G.①寫出∠NEC與∠QFC的數(shù)量關(guān)系；

②寫出∠NEB與∠QGB的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，K為AC上一點(diǎn)，連點(diǎn)EK，若∠NEC=∠KEC，試探究∠MEK與∠PFA之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.（3）旋轉(zhuǎn)三角板ABC至如圖3所示位置，K為AC上一點(diǎn)，連DK，若∠ADM=15∠ADK，則∠NDK∠QFC=

17．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β=100°，那么稱這樣的三角形為“微妙三角形”，從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)是“微妙三角形”，我們就把這條線段叫做這個(gè)三角形的“微妙分割線”．理解概念：（1）如圖①，在△ABC中，∠C=80°，BD平分∠ABC．求證：△ABD為“微妙三角形”；概念應(yīng)用：（2）若△ABC為“微妙三角形”，且∠C=80°．試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖②，在△ABC中，若∠A=40°，BD平分∠ABC，且BD是△ABC的“微妙分割線”，請(qǐng)直接寫出∠ABC的度數(shù)．18．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谥校┪覀?cè)?jīng)研究過(guò)內(nèi)外角平分線夾角問(wèn)題．小聰在研究完上面的問(wèn)題后，對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過(guò)程如下：

（1）【問(wèn)題再現(xiàn)】如圖（1），若∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線交∠BAO的平分線于點(diǎn)D．則∠D=（2）【問(wèn)題推廣】①如圖（2），若∠MON=α(0°<α<180°)，（1）中的其余條件不變，則∠D=°（用含α的代數(shù)式表示）②如圖（2），∠MON=α(0°<α<180°)，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)E是OB上一動(dòng)點(diǎn)，BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與射線AE交于點(diǎn)D，若∠D=12α（3）【拓展提升】如圖（3），若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，試探索19．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料并解答問(wèn)題：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角α的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍，那么這樣的三角形我們稱為“優(yōu)雅三角形”，其中α稱為“優(yōu)雅角”．例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是50°、100°、30°，這個(gè)三角形就是“優(yōu)雅三角形”，其中“優(yōu)雅角”為100°．反之，若一個(gè)三角形是“優(yōu)雅三角形”，那么這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中一定有一個(gè)內(nèi)角α的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍．

（1）一個(gè)“優(yōu)雅三角形”的一個(gè)內(nèi)角為120°，若“優(yōu)雅角”為銳角，則這個(gè)“優(yōu)雅角”的度數(shù)為．（2）如圖1，已知∠MON=60°，在射線OM上取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)畫射線交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)O、點(diǎn)B重合）．若△AOC是“優(yōu)雅三角形”，求∠ACB的度數(shù)．（3）如圖2，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為線段AD上一點(diǎn)，且∠AFE+∠ADC=180°，∠FED=∠C．若△ADC是“優(yōu)雅三角形”，求∠C的度數(shù)．20．（2023上·江西南昌·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”，其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．

（1）【問(wèn)題解決】如圖②，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，若∠C的三分線CD交AB于點(diǎn)D，則∠BDC=________．（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)．（3）【延伸推廣】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A=m，∠B=n，并且m>n．直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）專題11.2與三角形有關(guān)角的綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問(wèn)題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時(shí)可采用間接證明。分類討論思想：當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個(gè)問(wèn)題的解答。分類討論的分類并非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：1.不重（互斥性）不漏（完備性）；2.按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分（同一性）；3.逐級(jí)分類（逐級(jí)性）。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理1.三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．2.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．二、三角形的外角性質(zhì)1.三角形的外角和為360°；2.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；3.三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．典例分析典例分析【典例1】在△ABC中，∠C=60°，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．【問(wèn)題初探】（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且∠α=60°，則∠1+∠2=______°；（2）如圖2，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；【問(wèn)題再探】（3）如圖3，若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，求∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系；（4）如圖4，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC的內(nèi)部，求∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系．【問(wèn)題解決】（5）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC的外部，且滿足與點(diǎn)A分別居于直線BC的兩側(cè)時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，找出相關(guān)角與角之間的關(guān)系．（1）（2）均先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B和∠APD+∠BPE，再根據(jù)∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°求出∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，從而求出答案即可；（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠ABC和∠3，∠4，再根據(jù)∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，從而求出答案即可；（4）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠ABC，再根據(jù)五邊形內(nèi)角和公式求出∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，從而得到答案即可；（5）分三種情況討論：①在線段AB的延長(zhǎng)線上，②不在線段AB的延長(zhǎng)線上，③當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形進(jìn)行解答即可．【解題過(guò)程】解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°?60°=120°，∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∠α=60°，∴∠APD+∠BPE=120°，∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°?120°?120°=120°，故答案為：120；（2）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°?60°=120°，∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∴∠APD+∠BPE=180°?∠α，∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°?120°?180°+∠α=60°+∠α，故答案為：∠1+∠2=60°+∠α；（3）如圖所示：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠ABC=180°?60°=120°，∵∠3+∠2+∠α=180°，∴∠3=∠4=180°?∠2?∠α，∵∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°?∠2?∠α=360°，∴∠1?∠2=60°+∠α；（4）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°?60°=120°，∵五邊形ABEPF的內(nèi)角和為5?2×180°=540°∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，∴∠1+∠2=540°?120°?∠α，即∠1+∠2=420°?∠α；（5）由題意可知點(diǎn)P的位置可能兩種情況，①在線段AB的延長(zhǎng)線上，如（3）∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系為：∠1?∠2=60°+∠α；②不在線段AB的延長(zhǎng)線上，有兩種情況第一種如圖所示：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°?60°=120°，∵∠3+∠2+∠α=180°，∴∠3=∠4=180°?∠2?∠α，∵∠A+∠B+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°?∠2?∠α=360°，∴∠1?∠2=60°+∠α，第二種如圖所示：∵∠COD=∠POE，∴180°?60°?∴∠1?∠2=60°?∠α．③當(dāng)點(diǎn)P在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：∠PDA=∠1=180°,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α，∵∠PCE+∠PEC+∠P=180°，∴180°?60°∴300°?∠2+∠α=∠1，∴∠1+∠2=300°+∠α；∴若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC的外部，且滿足與點(diǎn)A分別居于直線BC的兩側(cè)時(shí)，∠1，∠2，∠α之間的數(shù)量關(guān)系為：∠1?∠2=60°+∠α；∠1?∠2=60°?α；∠1+∠2=300°+∠α．學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2023上·天津東麗·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，設(shè)∠AEF=α，∠ADC=β，則下列關(guān)系正確的是（）

A．β=110°+2a B．β=220°?2aC．β=110°+a D．β=250°?2a【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)G，設(shè)∠BAD的度數(shù)為2x，∠DCB的度數(shù)為2y，通過(guò)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得到x+y=β?110°2之間的關(guān)系，在根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠B+∠BFC+∠BCF=180°，將【解題過(guò)程】解：如圖，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)G，

設(shè)∠BAD的度數(shù)為2x，∠DCB的度數(shù)為2y，∵AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，∴∠EAF=1∵∠ADC=β，∴∠DGC=∠ADC?∠DCG=β?2y，∴∠BGD=180°?∠DGC=180°?β+2y，在△BAG中，∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°?β+2y=180°，∴x+y=β?110°∵∠AEF=α，∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α，在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+y+110°=180°，將x+y=β?110°2代入可得整理得β=250°?2a，故選：D．2．（2023上·江西南昌·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠ABC=∠ACB，BD，CD，AD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠BDC=12∠BAC；④∠ADC=90°?∠ABD

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【解題過(guò)程】解：∵AD平分∠EAC∴∠EAC=2∠EAD∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB∴∠EAC=2∠ABC∴∠EAD=∠ABC∴AD∥∵AD∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC=2∠ADB，②正確；∵∠DCF+∠ACD+∠ACB=180°∴2∠DCF+∠ACB=180∵∠BDC+∠DBC=∠DCF∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB=∴∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB=∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=∴∠BAC=2∠BDC∴∠BDC=1∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC∵AD∴∠ADB=∠DBC∴∠ABD=∠ADB∵CD平分∠ACF∴∠ACF=2∠DCF∵∠ADB+∠CDB=∠DCF，2∠DCF+∠ACB=∴2∠DCF+∠ABC=2∠DCF+2∠ABD=∴∠DCF+∠ABD=∴∠ADB+∠CDB+∠ADB=∴∠ABD=45∵AD∴∠DCF=∠ADC∵∠DCF+∠ABD=90∴∠ADC+∠ABD=90°即∠ADC=90°?∠ABD，④正確；正確的個(gè)數(shù)為5故選：D3．（2023下·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在ΔABC，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H，下列結(jié)論：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12

A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)BD⊥AC，F(xiàn)H⊥BE，以及∠FGD=∠BGH即可推出∠DBE=∠F；②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明即可；③證明∠ABD=90°?∠BAC，由①知：∠DBE=∠F即可證明∠F=12(∠BAC?∠C)；④由同角的余角相等證明∠BGH=∠BED【解題過(guò)程】解：∵BD⊥AC，∴∠F+∠FGD=90°．∵FH⊥BE，∴∠DBE+∠BGH=90°．∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F．故①正確；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=1∵∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=2∠CBE+∠C∵∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C．故②正確；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=1∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°?∠BAC．∴∠DBE=∠ABE?∠ABD=90°?由①知：∠DBE=∠F，∴∠F=1故③正確；∵BD⊥AC，F(xiàn)H⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∠BED+∠DBE=90°．∴∠BGH=∠BED=∠CBE+∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠BGH=∠ABE+∠C．故④正確；綜上可知，正確的有①②③④，共4個(gè)，故選D．4．（2023下·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BD=12∠ABC，∠A【解題過(guò)程】解：∵BA1和CA∴∠A1BD=又∵∠ACD=∠ABC+∠A，∠A∴1∴∠A同理可得：∠A∠A3=則A2023∵∠A=α∴∠A故答案為：125．（2024上·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的角平分線和高線，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，F(xiàn)H⊥AD，交AE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論：①∠DAE=∠F；②∠ACF=2∠F+∠ADF；③∠AGF=∠ADB；④∠ACB=2∠F+∠B．其中結(jié)論正確的為．（填序號(hào)）．【思路點(diǎn)撥】對(duì)于①，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及同角的余角相等，即可判斷結(jié)果；對(duì)于②，通過(guò)舉反例“當(dāng)∠B=40°，∠ACB=60°時(shí)，∠ACF≠2∠F+∠ADF．”計(jì)算可得②的結(jié)論不成立；對(duì)于③，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，即可判斷結(jié)果；對(duì)于④，根據(jù)AD是△ABC的角平分線，F(xiàn)H⊥AD，可得∠AHN=∠AMN，再利用三角形的外角性質(zhì)，可逐步推得結(jié)論成立．【解題過(guò)程】解：對(duì)于①，∵AE是△ABC的高線，∴∠AED=90°，∴∠DAE+∠ADE=90°，∵FH⊥AD，∴∠F+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠F，∴①正確；對(duì)于②，舉反例，當(dāng)∠B=40°，∠ACB=60°時(shí)，∠ACF≠2∠F+∠ADF．理由如下：當(dāng)∠B=40°，∠ACB=60°時(shí)，∠BAC=180°?40°?60°=80°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠DAC=1∵∠AED=90°，∴∠CAE=90°?∠ACB=30°，∴∠DAE=∠DAC?∠CAE=50°?30°=20°，∵∠AED=90°，∵∠ADF=180°?∠CAD?∠ACB=70°，∠F+∠ADF=90°，∴∠F=90°?∠ADF=20°，∴2∠F+∠ADF=110°，而∠ACF=180°?∠ACB=120°，∴∠ACF≠2∠F+∠ADF，∴②錯(cuò)誤；對(duì)于③，∵∠AGF是△GEF的外角，∴∠AGF=∠GEF+∠F=90°+∠F，∵∠ADB是△ADE的外角，∴∠ADB=∠DAE+∠AED=90°+∠DAE，而由①知∠DAE=∠F，∴∠ADB=90°+∠F，∴∠AGF=∠ADB，∴③正確；對(duì)于④，設(shè)FH與AC交于點(diǎn)M，與AD交于點(diǎn)N，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠HAN=∠MAN，∵∠ANH=∠ANM=90°，∴∠AHN=∠AMN，又∵∠AHN=∠B+∠F，∠ACB=∠CMF+∠F=∠AMN+∠F，∴∠ACB=∠B+∠F+∠F=2∠F+∠B，∴④正確．故答案為：①③④．6．（2023上·吉林·八年級(jí)階段練習(xí)）【題目】如圖①：根據(jù)圖形填空：（1）∠1=∠C+，∠2=∠B+；（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______+∠1+∠2=；【應(yīng)用】（3）如圖②．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)；【拓展】（4）如圖③，若∠BGF=110°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小為_(kāi)_____度．【思路點(diǎn)撥】本題考查了多邊形的外角和以及外角和的求法，熟練掌握三角形外角性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用三角形外角性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)外角性質(zhì)，將∠A+∠B+∠C+∠D+∠E轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi)計(jì)算即可；（3）利用三角形外角性質(zhì)將∠A+∠B+∠C+∠D+∠E轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，再根據(jù)三角形內(nèi)角和180°即可得到結(jié)果；（4）利用外角套外角可得∠BGF=∠B+∠BDF+∠F，∠CGE=∠A+∠C+∠E，根據(jù)對(duì)頂角相等，即可計(jì)算出結(jié)果．【解題過(guò)程】解：（1）∵∠1是三角形的外角，∴∠1=∠C+∠E，∵∠2是三角形的外角，∴∠2=∠B+∠D．故答案為：∠E，∠D．（2）∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°，故答案為：∠A；180°．（3）∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠AFG+∠AGF=180°；（4）如圖，連接DG并延長(zhǎng)，

根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得：∠BGF=∠BGK+∠FGK=∠B+∠BDK+∠FDK+∠F=∠B+∠BDF+∠F，同理可得：∠CGE=∠C+∠A+∠E，∵∠BGF=∠CGE=110°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BGF+∠CGE=220°，故答案為：220°．7．（2023上·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）綜合與探究

（1）如圖1，將△ABC沿著DE第一次折疊，頂點(diǎn)B落在△ABC的內(nèi)部點(diǎn)O處，試探究∠1+∠2與∠B之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，將△ABC沿著FG第二次折疊，頂點(diǎn)C恰好與點(diǎn)O重合，若∠A=85°，∠5=62°，求∠1+∠3的度數(shù)．（3）如圖3，將△ABC沿著GH第三次折疊，頂點(diǎn)A恰好與點(diǎn)O重合，若∠A=α，∠5=β，用含α，β的代數(shù)式表示∠6?∠1+∠AGO【思路點(diǎn)撥】（1）由折疊的性質(zhì)得出∠BDE=∠ODE，∠BED=∠OED，由平角的定義及三角形內(nèi)角和定理可得出答案；（2）由（1）可知∠1+∠2=2∠B，∠3+∠4=2∠C，求出∠2+∠4=180°?∠5°=180°?62°=118°，則可得出答案；（3）由（2）可知∠1+∠2=2∠B，∠AGO+∠4=2∠C，求出∠1+∠AGO=180°?2α+β，由周角的定義求出∠6=180°?β，則可得出答案．【解題過(guò)程】（1）∠1+∠2=2∠B．理由：由折疊得：∠BDE=∠ODE，∠BED=∠OED，∵∠ADB+∠BEC=360°，∴∠1+∠2=360°?∠BDE?∠ODE?∠BED?∠OED=360°?2∠BDE?2∠BED，∴∠1+∠2=2(180°?∠BDE?∠BED)=2∠B；（2）由（1）可知∠1+∠2=2∠B，∠3+∠4=2∠C，∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠B+2∠C，∵∠A=85°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=2(180°?85°)=190°，∵∠5=62°，∴∠2+∠4=180°?∠5°=180°?62°=118°，∴∠1+∠3=190°?118°=72°；（3）由（2）可知∠1+∠2=2∠B，∠AGO+∠4=2∠C，∴∠1+∠AGO=2∠B+2∠C?(∠2+∠4)，∵∠A=α，∠5=β，∴∠1+∠AGO=2(180°?α)?(180°?β)=180°?2α+β，又∵∠6=360°?∠DOE?∠5?∠GOF?∠GOH=360°?∠B?∠C?∠5?α=360°?(180°?α)?β?α=180°+α?β?α=180°?β，∴∠6?(∠1+∠AGO)=180°?β?(180°?2α+β)=2α?2β．8．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)期末）（1）如圖，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，試探究∠1、∠2與∠A（2）如圖2，若∠1=140°,∠2=80°，作∠ABC的平分線BN，與∠ACB的外角平分線CN交于點(diǎn)N，求∠BNC的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)A1落在△ABC內(nèi)部，作∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)A1，此時(shí)∠1,∠2,

【思路點(diǎn)撥】（1）由折疊的性質(zhì)可知∠A=∠A1，根據(jù)外角定理得到∠1=∠A+∠AMD，∠AMD=∠A（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論求出得到∠A=30°，再由角平分線的定義得到∠NBC=12∠ABC（3）由折疊的性質(zhì)可知∠AED=∠A1ED,∠ADE=∠A1DE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠1+∠2=2∠A，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ABC=2∠A【解題過(guò)程】解：（1）∠1=2∠A+∠2，理由如下：如圖1，AC與DA1交于點(diǎn)

由折疊的性質(zhì)可知∠A=∠A∵∠1為△ADM外角，∴∠1=∠A+∠AMD，∵∠AMD為△EMA∴∠AMD=∠A∴∠1=∠A+∠A（2）由（1）得∠1=2∠A+∠2，∵∠1=140°,∠2=80°，∴2∠A+80°=140°，∴∠A=30°,∵∠ABC的平分線BN，與∠ACB的外角平分線CN交于點(diǎn)N，∴∠NBC=1∵∠NCH為△NBC的外角，∠ACH為△ABC的外角，∴∠N=∠NCH?∠NBC=1（3）解：∠1+∠2=4∠BA由折疊的性質(zhì)可知∠AED=∠A∴∠1=180°?∠ADA1=180°?2∠ADE∴∠1+∠2=360°?2∠ADE?2∠AED=360°?2∠ADE+∠AED∵∠ADE+∠AED=180°?∠A，∴∠1+∠2=360°?2180°?∠A∵∠ABC,∠ACB的平分線交于點(diǎn)A1∴∠ABC=2∠A1BC∵∠ABC+∠ACB=2∠∴∠A=180°?∠ABC+∠ACB∴∠1+∠2=2∠A=22∠B9．（2024上·遼寧阜新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們把有一組對(duì)頂角的兩個(gè)三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1，AD，BC相交于點(diǎn)O，連接AB，CD得到“8”字圖形ABDC．（1）如圖1，試說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；（2）如圖2，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E，利用（1）中的結(jié)論探索∠E與∠A、∠C間的關(guān)系；（3）如圖3，點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延長(zhǎng)線與DP交于點(diǎn)P，請(qǐng)?zhí)剿鳌舅悸伏c(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵；（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=∠CBE，∠CDE=∠ADE，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠E=∠A+∠C；（3）運(yùn)用（1）和（2）的結(jié)論即可求得答案．【解題過(guò)程】（1）解：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B=∠COD+∠C+∠D=180°，∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．（2）解：如圖2，∵∠ABC和∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E，∴∠ABE=∠CBE，∠CDE=∠ADE，由（1）可得：∠A+∠ABE=∠E+∠ADE，∠C+∠CDE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，∴2∠E=∠A+∠C．（3）由（1）得：∠A+∠ABC=∠C+∠CDA，∴14∴14設(shè)AD與PQ的交點(diǎn)為點(diǎn)O，則∠CBQ+∠BOD=∠C+∠ADC，兩式相減可得：∠BOD?1∴∠BOD?1∴45°?1∵∠P=180°?∠BOD?∠ADP，∴45°?1即∠A+3∠C+4∠P=180°．10．（2023下·湖北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交射線BD于點(diǎn)F，∠CEF的平分線所在直線與射線BD交于點(diǎn)G．（1）如圖，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．①若∠ABC=40°，∠C=60°，則∠A的度數(shù)是；∠EFB的度數(shù)是②探究∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)E在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)可知∠EFB=∠FBC，再利用角平分線的定義即可解答；②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到∠C=∠DEF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義即可解答；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得到∠EHG=180°?∠C【解題過(guò)程】（1）解：①∵∠ABC=40°，∴在△ABC中，∠A=180°?∠ABC?∠C=180°?40°?60°=80°，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠FBC，∵BD平分∠ABC，∴∠FBC=1∴∠EFB=∠FBC=20°，故答案為：80°、20°；②∵∠BGE是△EGF是一個(gè)外角，∴∠BGE=∠EFG+∠FEG，∵EF∥BC，∴∠C=∠DEF，∵∠ABC+∠C=180°?∠A，∴∠ABC+∠DEF=180°?∠A，∵BD平分∠ABC，EG平分∴∠CBD=12∠ABC∴∠CBD+∠FEG=1∵EF∥BC，∴∠EFG=∠CBD，∴∠EFG+∠FEG=90°?1∴∠BGE=90°?1（2）解：∵EF∥BC，∴∠FEH=∠EHC，∵GH是∠FEG的平分線，∴∠FEH=∠HEG，∴∠HEG=∠EHC，∴∠EHG=180°?∠C∵BG平分∠ABC，∴∠GBC=12∴∠BGE=∠EHG?∠GBC=180°?∠C11．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中∠A=60°．

（1）∠ABC，∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P，求（2）∠ABC，∠ACB的三等分線分別相交于點(diǎn)P1（3）∠ABC，∠ACB的n等分線分別相交于點(diǎn)P1,P2,…Pn?1，則∠BP1C=________（結(jié)果用含n的式子表示），【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根據(jù)角平分線的定義即可求出∠PBC+∠PCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根據(jù)三等分線的定義即可求出∠P（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根據(jù)n等分線的定義即可求出∠P【解題過(guò)程】（1）解：∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°?∠A=120°，∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12=12=60°，∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=120°，故答案為：120°．（2）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°?∠A=120°，∵∠ABC和∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)P1，P∴∠P1∴∠==40°，∴∠BP1∵∠ABC和∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)P1，P∴∠P2BC=23∠ABC，∠∴∠P2BC+∠P2CB=2=23=80°，∴∠BP2（3）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°?∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)P1，P2，……∴∠∴∠B∴∠Pn?1BC=n?1n∠ABC，∠∴∠Pn?1BC+∠Pn?1CB=n?1=n?1n=∴∠∴∠BPk故答案為：180°?120°n，12．（2024上·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知ABCD為四邊形，點(diǎn)E為邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．【探究】（1）如圖1，∠ADC=110°,∠BCD=120°,∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB=______°；（2）如圖2，∠ADC=α,∠BCD=β，且α+β>180°,∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB=______；（用α,β表示）（3）如圖3，∠ADC=α,∠BCD=β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG,BH平行時(shí)，α,β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【挑戰(zhàn)】如果將（2）中的條件α+β>180°改為α+β<180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，若兩平分線所在的直線交于點(diǎn)F，則∠AFB與α,β有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形并直接寫出結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】探究：（1）由四邊形內(nèi)角和定理求出∠DAB+∠ABC，由角平分線的定義得出∠FAB=12∠DAB,∠FBE=（2）同（1）可得∠DAB+∠ABC=360°?∠ADC?∠BCD，∠F=1（3）根據(jù)AG∥BH，可得∠GAB=∠HBE，結(jié)合角平分線的定義可得∠DAB=∠CBE，進(jìn)而證明AD∥挑戰(zhàn)：畫出圖形，參照“探究”中的方法，即可求解．【解題過(guò)程】解：（1）∵∠ADC=110°,∠BCD=120°，∴∠DAB+∠ABC=360°?∠ADC?∠BCD=360°?110°?120°=130°，∵∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，∴∠FAB=1∵∠F+∠FAB=∠FBE，∴∠F=∠FBE?∠FAB=1故答案為：25；（2）由（1）得∠DAB+∠ABC=360°?∠ADC?∠BCD，∠F=1∴∠F=1故答案為：12（3）若AG∥BH，則∵AG∥∴∠GAB=∠HBE，∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，∴∠DAB=2∠GAB,∠CBE=2∠HBE，∴∠DAB=∠CBE，∴AD∥∴∠ADC+∠BCD=α+β=180°；挑戰(zhàn)：如圖4，∠AFB=90°?1∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，∴∠MAB=1∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∠ADC=α,∠BCD=β，∴∠DAB+∠ABC=360°?α?β，∴∠DAB+180°?∠CBE=360°?α?β，∴∠DAB?∠CBE=180°?α?β，∵∠ABF=∠NBE，∠MAB=∠F+∠ABF，∴∠MAB=∠AFB+∠NBE，∴∠AFB=∠MAB?∠NBE====90°?113．（2024上·廣東肇慶·八年級(jí)?？计谀締?wèn)題】如圖①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，則∠BEC=____________；若∠A=a°，則∠BEC=____________．

【探究】（1）如圖②，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，若∠A=a°，則∠BEC=____________；（2）如圖③，O是∠ABC與外角的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖④，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵；問(wèn)題：利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB，即可求出∠BEC；探究：（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)三等分線的定義求出∠EBC+∠ECB，即可求出∠BEC；（2）由三角形外角性質(zhì)可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠2=∠BOC+∠1，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2，代入∠A+∠ABC=∠ACD即可求解；（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC=90°?12∠ABC，∠OCB=90°?【解題過(guò)程】解：?jiǎn)栴}：若∠A=82°，則∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?82°=98°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC∴∠EBC+∠ECB=1∴∠BEC=180°?∠EBC+∠ECB故答案為：131°；若∠A=α°，則∠ABC+∠ACB=180°?α°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC∴∠EBC+∠ECB=1∴∠BEC=180°?∠EBC+∠ECB故答案為：90°+1（1）如圖2，∵∠A=α°，∴∠ABC+∠ACB=180°?α°，∵BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，∴∠EBC=23∠ABC∴∠EBC+∠ECB=2∴∠BEC=180°?∠EBC+∠ECB故答案為：60°+2（2）∠BOC=1理由：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠2=∠BOC+∠1，∵O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2，∴∠A+∠ABC=∠ACD=2∠BOC+∠1∴∠A=2∠BOC；（3）∠BOC=90°?1理由：∵O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點(diǎn)，∴∠OBC=1∠OCB=1在△OBC∠BOC=180°?∠OBC?∠OCB=180°?90°?=1∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∴∠BOC=114．（2023下·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，△ABC的外角∠MBC與∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線段BP，QC交于點(diǎn)E．（1）若∠A=30°，求∠BPC的度數(shù)；（2）探究∠BPC與∠Q之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在△BQE中，若存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)∠A=30°，得出∠ABC+∠ACB=180°?30°=150°，根據(jù)角平分線定義得出∠CBP=12∠ABC，∠BCP=（2）根據(jù)角平分線定義得出∠CBP=12∠ABC，∠CBQ=12∠CBM，根據(jù)∠CBP+∠CBQ=1（3）先證明∠A=2∠E，根據(jù)∠EBQ=90°，得出∠E+∠Q=90°，分四種情況：當(dāng)∠EBQ=3∠E=90°，∠EBQ=3∠Q=90°，∠Q=3∠E，∠E=3∠Q時(shí)，分別求出結(jié)果即可．【解題過(guò)程】（1）解：∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=180°?30°=150°，∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBP=12∠ABC∴∠CBP+∠BCP=1∴∠BPC=180°?∠CBP+∠BCP（2）解：∠BPC+∠Q=180°；理由如下：∵BP、BQ分別平分∠ABC、∠CBM，∴∠CBP=12∠ABC∴∠CBP+∠CBQ=1即∠PBQ=90°，同理得：∠PCQ=90°，∴∠BPC+∠Q=360°?∠PBQ?∠PCQ=180°；（3）解：如圖，延長(zhǎng)BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，根據(jù)解析（2）可知：∠EBQ=90°，∴∠E+∠Q=90°，如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況：若∠EBQ=3∠E=90°，則∠E=30°，∴∠A=2∠E=60°；若∠EBQ=3∠Q=90°，則∠Q=30°，∴∠E=60°，∴∠A=2∠E=120°；若∠Q=3∠E，則∠E=22.5°，∴∠A=45°；若∠E=3∠Q，則∠E=67.5°，∴∠A=135°；綜上所述，∠A的度數(shù)是60°或120°或45°或135°．15．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AD是角平分線．∠B<∠C．

（1）如圖（1），AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖（2），點(diǎn)E在AD上，EF⊥BC于F，試探究∠DEF與∠B、∠C的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（提示：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G）；（3）如圖（3），點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上．EF⊥BC于F，試探究∠DEF與∠B、∠C的大小關(guān)系是______．（直接寫出結(jié)論，不需證明）【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)角平分線的定義以及垂線的定義，即可得到∠CAD=12∠BAC，∠CAE=90°?∠C（2）過(guò)A作AG⊥BC于G，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAG=∠DEF，依據(jù)（1）中結(jié)論即可得到∠DEF=1（3）過(guò)A作AG⊥BC于G，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAG=∠DEF，依據(jù)（1）中結(jié)論即可得到∠DEF=1【解題過(guò)程】（1）解：如圖1所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=1∵AE⊥BC，∴∠CAE=90°?∠C，∴∠DAE=∠CAD?∠CAE====1∵∠B=35°，∠C=65°，∴∠DAE=1（2）解：結(jié)論∠DEF=1理由如下：過(guò)A作AG⊥BC于G，如圖2所示：∵EF⊥BC，∴AG∥EF，∴∠DAG=∠DEF，由（1）可得∠DAG=1∴∠DEF=1（3）解：結(jié)論仍成立．過(guò)A作AG⊥BC于G，如圖3所示：∵EF⊥BC，∴AG∥EF，∴∠DAG=∠DEF，由（1）可得∠DAG=1∴∠DEF=1故答案為：∠DEF=116．（2023下·福建莆田·七年級(jí)校聯(lián)考期中）李強(qiáng)將一個(gè)含有30°角的三角板ABC（∠A=30°，∠C=90°，∠B=60°）放置在互相平行的直線MN和（1）將三角板ABC如圖1放置，BC交MN于點(diǎn)E，AC交PQ于點(diǎn)F，AB分別交MN、PQ于點(diǎn)D、G.①寫出∠NEC與∠QFC的數(shù)量關(guān)系；

②寫出∠NEB與∠QGB的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，K為AC上一點(diǎn)，連點(diǎn)EK，若∠NEC=∠KEC，試探究∠MEK與∠PFA之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.（3）旋轉(zhuǎn)三角板ABC至如圖3所示位置，K為AC上一點(diǎn)，連DK，若∠ADM=15∠ADK，則∠NDK∠QFC=

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出∠GDE=60°+∠NEC，60°+∠NEC+30°+∠QFC=180°進(jìn)而即可求解；②根據(jù)∠NEB=60°+∠BDE；∠BDE=∠QGB，即可求解；（2）設(shè)∠MEK=∠1，∠PFA=∠2，∠NEC=∠3=∠CEK=∠4，得出∠1=2∠2（3）根據(jù)平行線的基本性質(zhì)，角度的關(guān)系和已知條件即可求解．【解題過(guò)程】（1）①∵∠NEC=∠BED；∵∠GDE=60°+∠BED；∴∠GDE=60°+∠NEC；∵∠AGF=60°+∠NEC；∵∠AGF+30°+∠GFA=180°；∵∠GFA=∠QFC；∴60°+∠NEC+30°+∠QFC=180°；∴∠NEC+∠QFC=90°；②∵∠NEB=60°+∠BDE；∠BDE=∠QGB；∴∠NEB?∠QGB=60°；（2）設(shè)∠MEK=∠1，∠PFA=∠2，∠NEC=∠3=∠CEK=∠4；

∵∠1+∠4=60°+∠BDE；∵∠BDE=∠BGF=30°+∠2；∴∠1+∠4=∠2+90°；∴2∠1+2∠4=2∠2+180°；∵∠1+∠4+∠3=∠1+2∠4=180°；∴∠1=2∠2，∴∠MEK與∠PFA之間的關(guān)系為：∠MEK=2∠PFA；（3）設(shè)∠ADM=∠1，∠ADK=∠2，∠NDK=∠3，∠QFC=∠4；

∵∠BDE=∠1；∴∠1+60°=∠DEC；∵M(jìn)N∥∴∠DEC=∠FGC，∴∠4+∠DEC=∠4+∠FGC=90°；∴∠1+∠4=30°；∵∠2=5∠1；∵∠1+∠2+∠3=180°；∴∠3+6∠1=180°；∴∠3=6∠4；∴∠NDK17．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β=100°，那么稱這樣的三角形為“微妙三角形”，從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)是“微妙三角形”，我們就把這條線段叫做這個(gè)三角形的“微妙分割線”．理解概念：（1）如圖①，在△ABC中，∠C=80°，BD平分∠ABC．求證：△ABD為“微妙三角形”；概念應(yīng)用：（2）若△ABC為“微妙三角形”，且∠C=80°．試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖②，在△ABC中，若∠A=40°，BD平分∠ABC，且BD是△ABC的“微妙分割線”，請(qǐng)直接寫出∠ABC的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠A+∠ABC=100°，由角平分線的定義可得∠ABC=2∠ABD，從而推出∠A+2∠ABD=100°，最后由“微妙三角形”的定義即可得出答案；（2）由三角形內(nèi)角和定理可得∠A+∠B=100°，由微妙三角形”的定義可得∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A=100°，從而推出∠B=10°或∠A=10°，分別進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）分情況討論：當(dāng)△ABD為“微妙三角形”或當(dāng)△ACD為“微妙三角形”，根據(jù)“微妙三角形”的定義進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解題過(guò)程】（1）解：在△ABC中，∵∠C=80°，∴∠A+∠ABC=100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD，即∠A+2∠ABD=100°，∴△ABD為“微妙三角形”；（2）解：△ABC是直角三角形，理由：在△ABC中，∵∠C=80°，∴∠A+∠B=100°，∵△ABC為“微妙三角形”，∴∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A=100°，∴∠B=10°或∠A=10°，當(dāng)∠B=10°時(shí)，∠A=90°，△ABC是直角三角形，當(dāng)∠A=10°時(shí)，∠B=90°，△ABC是直角三角形，綜上所述，△ABC是直角三角形；（3）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，∵BD是△ABC的“微妙分割線”，∴△ABD為“微妙三角形”或△ACD為“微妙三角形”，當(dāng)△ABD為“微妙三角形”時(shí)，則∠A+2∠ABD=100°或2∠A+∠ABD=100°，當(dāng)∠A+2∠ABD=100°時(shí)，40°+2∠ABD=100°，解得：∠ABD=30°，∴∠ABC=2∠ABD=60°；當(dāng)2∠A+∠ABD=100°時(shí)，2×40°+∠ABD=100°，解得：∠ABD=20°，∴∠ABC=2∠ABD=40°；當(dāng)△ACD為“微妙三角形”時(shí)，則2∠C+∠CBD=100°或2∠CBD+∠BDC=100°或∠CBD+2∠BDC=100°，當(dāng)2∠C+∠CBD=100°①∵∠C+2∠CBD=180°?∠A=140°，∴∠C=140°?2∠CBD②∴由①②得：∠CBD=60°，∴∠ABC=2∠CBD=120°；當(dāng)2∠CBD+∠BDC=100°時(shí)，∵∠BDC=∠ABD+∠A=∠CBD+40°，∴2∠CBD+∠CBD+40°=100°，∴∠CBD=20°，∴∠ABC=2∠CBD=40°；當(dāng)∠CBD+2∠BDC=100°時(shí)，∵∠BDC=∠ABD+∠A=∠CBD+40°，∴∠CBD+2∠CBD+40°∴∠CBD=20∴∠ABC=2∠CBD=40綜上所述：∠ABC的度數(shù)為40°或60°或403°或18．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)校考期中）我們?cè)?jīng)研究過(guò)內(nèi)外角平分線夾角問(wèn)題．小聰在研究完上面的問(wèn)題后，對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過(guò)程如下：

（1）【問(wèn)題再現(xiàn)】如圖（1），若∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線交∠BAO的平分線于點(diǎn)D．則∠D=（2）【問(wèn)題推廣】①如圖（2），若∠MON=α(0°<α<180°)，（1）中的其余條件不變，則∠D=°（用含α的代數(shù)式表示）②如圖（2），∠MON=α(0°<α<180°)，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)E是OB上一動(dòng)點(diǎn)，BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與射線AE交于點(diǎn)D，若∠D=12α（3）【拓展提升】如圖（3），若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，試探索【思路點(diǎn)撥】（1）利用三角形外角的性質(zhì)可得∠ABN=90°+∠OAB，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，求解即可；（2）①利用三角形外角的性質(zhì)可得∠ABN=∠MON+∠OAB，在根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，求解即可；②根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)以及角平分線的定義，得出∠BAD=1（3）利用三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，求解即可．【解題過(guò)程】（1）解：由三角形外角的性質(zhì)可得∠ABN=90°+∠OAB，由題意可得：∠OAB+∠OBA=90°，∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分線，∴∠BAD=12∠OAB∴∠DBO=∠CBN=1∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=1∴∠D=180°?∠DBA?∠BAD=180°?故答案為：45°（2）①由三角形外角的性質(zhì)可得∠ABN=α+∠OAB，由題意可得：∠OAB+∠OBA=180°?α，∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分線，∴∠BAD=12∠OAB∴∠DBO=∠CBN=1∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=1∴∠D=180°?∠DBA?∠BAD=180°?1故答案為：12②是，理由如下：由三角形外角的性質(zhì)可得∠ABN=α+∠OAB，由題意可得：∠OAB+∠OBA=180°?α，∵BC是∠ABN的平分線，∴∠CBN=1∴∠DBO=∠CBN=1∴∠DBA=∠DBO+∠ABO=1∴∠BAD=180°?∠D?∠DBA=180°?1=∠OAB+∠OBA?=1∴AE是△OAB的角平分線；（3）∠D=1?由三角形外角的性質(zhì)可得∠ABN=∠O+∠OAB，由題意可得：∠OAB+∠OBA=180°?∠O，∴∠DBO=∠NBC=1∴∠DBA=1∵∠DAO=1∴∠BAD=∠BAO?∠DAO=∠BAO?1由三角形內(nèi)角和定理可得：∠D=180°?∠DBA?∠B