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專題22.7噴水問題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】某蔬菜基地調(diào)灑水車來澆灌菜地,已知灑水的剖面是由AC、兩條拋物線和地面組成,建立如圖的平面直角坐標(biāo)系.拋物線CND的函數(shù)表達(dá)式為y=?15x2+45x+1,拋物線AMB上點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1)如圖1,當(dāng)?=6時,求拋物線AMB與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)如圖2,若大棚的一邊是防風(fēng)墻PQ,防風(fēng)墻距離點(diǎn)O有11米,墻高32米,要想所灑的水既能到墻邊又不會灑到墻外,求?
(3)如圖3,在(2)拋物線AMB正好經(jīng)過墻角Q的條件下,為了防止強(qiáng)光灼傷蔬菜,菜農(nóng)將遮陰網(wǎng)(用線段PE表示,PE與拋物線AMB相交于點(diǎn)F)兩端固定在P,E兩處,點(diǎn)E距點(diǎn)O正好2米.若G是線段EF上一動點(diǎn),過點(diǎn)G作GH⊥x軸交拋物線AMB于點(diǎn)H,求GH長度的最大值.
【思路點(diǎn)撥】(1)先求出點(diǎn)D的坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo),設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)2+6,把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入,求出拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式,最后令y=0(2)a=11150?125?,則可求當(dāng)(3)先求直線EP的表達(dá)式為y=16x?13,拋物線的表達(dá)式為y=?16【解題過程】(1)解:把y=0代入y=?15x解得x1∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為5,0,∴拋物線AMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為5,6.設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)將點(diǎn)A0,116代入,得a∴拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=?1令y=0,得?1解得x1∴拋物線AMB與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為11,0.(2)解:設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)∵它經(jīng)過點(diǎn)A0,∴a0?5∴a=11當(dāng)x=11時,y=a11?5∵要想所灑的水既能到墻邊又不會灑到墻外,∴0≤66解得5722∴?的取值范圍為5722設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)2+?(3)解:由題意知,點(diǎn)E的坐標(biāo)為2,0,點(diǎn)P的坐標(biāo)為11,3設(shè)EP所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,∴2k+b=0,11k+b=∴y=1∵拋物線AMB正好經(jīng)過墻角Q,∴拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=?1設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m.∵GH⊥x軸,∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m.∴GH=y∵?1∴當(dāng)m=92時,GH取最大值即GH長度的最大值為13324學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1.(23-24九年級上·福建廈門·階段練習(xí))學(xué)校組織學(xué)生去同安進(jìn)行研學(xué)實(shí)踐活動,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)在賓館房間的洗手盤臺面上有一瓶洗手液(如圖①).于是好奇的小王同學(xué)進(jìn)行了實(shí)地測量研究.當(dāng)小王用一定的力按住頂部A下壓如圖②位置時,洗手液從噴口B流出,路線近似呈拋物線狀,且噴口B為該拋物線的頂點(diǎn).洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形CGHD.小王同學(xué)測得:洗手液瓶子的底面直徑GH=12cm,噴嘴位置點(diǎn)B距臺面的距離為16cm,且B、D、H三點(diǎn)共線.小王在距離臺面15.5cm處接洗于液時,手心Q到直線DH的水平距離為3cm,若小王不去接,則洗手液落在臺面的位置距
A.122cm B.123cm C.2.(2024·河北石家莊·一模)如圖1,一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線.圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖,噴水頭的高度(噴水頭距噴灌架底部的距離)是1米.當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭20米時.達(dá)到最大高度11米,現(xiàn)將噴灌架置于坡度為1:10的坡地底部點(diǎn)O處,草坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度約為2.3米的石榴樹AB,因?yàn)閯倓偙粐姙⒘宿r(nóng)藥,近期不能被噴灌.下列說法正確的是()A.水流運(yùn)行軌跡滿足函數(shù)y=﹣140x2﹣xB.水流噴射的最遠(yuǎn)水平距離是40米C.噴射出的水流與坡面OA之間的最大鉛直高度是9.1米D.若將噴灌架向后移動7米,可以避開對這棵石榴樹的噴灌3.(2024·吉林長春·一模)公園要建造圓形的噴水池如圖①,水面中心O處垂直于水面安裝一個柱子,柱子頂端處的噴頭向外噴水,水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下.安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn),噴頭上下移動時,拋物線形水柱隨之豎直上下平移,水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面.如圖②,噴頭高5m時,水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)5m;噴頭高8m時,水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)6m.現(xiàn)要使水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)8m,則噴頭高應(yīng)調(diào)整為m.
4.(2024·吉林長春·二模)長春公園擬建一個噴泉景觀,在一個柱形高臺上裝有噴水管,水管噴頭斜著噴出水柱,經(jīng)過測量水柱在不同位置到水管的水平距離和對應(yīng)的豎直高度呈拋物線型,當(dāng)噴水管離地面3.2米噴水時,水柱在離水管水平距離3米處離地面豎直高度最大,最大高度是5米.此噴水管可以上下調(diào)節(jié),噴出的水柱形狀不變且隨之上下平移,若調(diào)節(jié)后的落水點(diǎn)(水落到地面的距離)向內(nèi)平移了1米,則噴水管需要向下平移米.5.(23-24九年級上·浙江溫州·期末)如圖,灌溉系統(tǒng)從點(diǎn)A處噴出水來給右側(cè)矩形BCDE花壇澆水,水流的形狀為拋物線,某一時刻拋物線經(jīng)過點(diǎn)E,分別交ED,BC于點(diǎn)F,G.測量得AB=40cm,BC=130cm,CD=60cm,EF=80cm,則GC=cm.過一段時間,灌溉系統(tǒng)由點(diǎn)A處升高至點(diǎn)H處,水流的方向和水量均沒有發(fā)生變化,此時拋物線經(jīng)過點(diǎn)D,則6.(2024·浙江溫州·一模)某游樂園有一圓形噴水池(如圖),中心立柱AM上有一噴水頭A,其噴出的水柱距池中心3米處達(dá)到最高,最遠(yuǎn)落點(diǎn)到中心M的距離為9米,距立柱4米處地面上有一射燈C,現(xiàn)將噴水頭A向上移動1.5米至點(diǎn)B(其余條件均不變),若此時水柱最高處D與A,C在同一直線上,則水柱最遠(yuǎn)落點(diǎn)到中心M的距離增加了米.7.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測)某村為了響應(yīng)國家關(guān)于農(nóng)田灌溉高效節(jié)水的號召,引入了現(xiàn)代灌溉技術(shù),已知噴灌機(jī)從噴水口A點(diǎn)向四周旋轉(zhuǎn)噴灑,噴出的水流近似為拋物線的一部分,且形狀相同,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,測得噴水口OA的豎直高度為1m,噴出水流距離噴灌機(jī)底座O最遠(yuǎn)水平距離OB為8m,噴出水流豎直高度的最高處位置距離噴灌機(jī)底座O的水平距離OC為3m.(1)求噴出水流的豎直高度y(m)與距離噴灌機(jī)底座O的水平距離x(m)之間的關(guān)系式:(2)為了能噴灑到更多的農(nóng)作物,保證水資源的充分利用,村民決定對噴灌機(jī)做如下設(shè)計(jì)改進(jìn):在噴水口高度和噴出水流形狀不變的前提下,要讓噴出水流距離噴灌機(jī)底座O最遠(yuǎn)水平距離擴(kuò)大為12米,請?zhí)骄扛倪M(jìn)后噴出水流的最大高度為多少米?8.(2024·河南商丘·二模)小江自制了一把水槍(圖1),他將水槍固定,在噴水頭距離地面1米的位置進(jìn)行實(shí)驗(yàn).當(dāng)噴射出的水流與噴水頭的水平距離為2米時,水流達(dá)到最大高度3米,該水槍噴射出的水流可以近似地看成拋物線,圖2為該水槍噴射水流的平面示意圖.(1)求該拋物線的表達(dá)式.(2)在距離噴射頭水平距離3米的位置放置一高度為2米的障礙物,試問水流能越過該障礙物嗎?(3)小江通過重新調(diào)整噴頭處的零件,使水槍噴射出的水流拋物線滿足表達(dá)式y(tǒng)=?x2+a+1x+1.當(dāng)1≤x≤29.(2024·山東青島·三模)如圖,無人機(jī)在離地面22m的A處發(fā)現(xiàn)大樓E處出現(xiàn)火災(zāi),同時觀察到A點(diǎn)與大樓前的旗桿CD頂端C及著火點(diǎn)E正好在同一直線上.此時消防員正在其正下方離地面2m的B處進(jìn)行噴水滅火,水流近似的呈拋物線形狀噴出,且正好經(jīng)過C,E.已知旗桿CD離消防員的水平距離是40m,高度是14(1)求直線AC的解析式,并求E點(diǎn)坐標(biāo);(2)求拋物線的解析式,并求水噴出的最大高度;(3)由于火勢太猛,消防員退后了10m,要使水仍然能噴到著火點(diǎn)E處,消防員應(yīng)升高多少米?(期間拋物線形狀保持不變)(4)在(3)的條件下,水流能否順利越過旗桿?請說明理由.10.(2024·河南濮陽·三模)如圖1,為打造潴龍河夜景景觀觀賞通道,管理部門在河道兩旁安裝了噴水裝置.噴水水柱要越過綠道噴入潴龍河中.圖2是其截面圖,已知綠道路面寬OA=3.5米,河道壩高AE=5米,壩面AB的坡比為i=1:0.5(其中i=tan∠ABE),BC是河底.當(dāng)水柱離噴水口(1)出于安全考慮,在河道的壩邊A處安裝護(hù)欄,要求水柱不能噴射到護(hù)欄上,則護(hù)欄的最大高度是多少米(結(jié)果保留一位小數(shù))?(2)水柱落入水中會濺起美麗的水花,河水水深至少為多少米時,噴水水柱剛好落在水面上?11.(2024·河北邯鄲·二模)消防員正在對一處著火點(diǎn)A進(jìn)行噴水滅火,水流路線L為拋物線的一部分.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,已知消防車上的噴水口B高出地面2m,距離原點(diǎn)的水平距離為6m,著火點(diǎn)A距離點(diǎn)B的水平距離為10m,且點(diǎn)B,A分別位于y軸左右兩側(cè),拋物線L的解析式為y=?14(1)寫出點(diǎn)B的坐標(biāo),求c與b之間滿足的關(guān)系式.(2)若著火點(diǎn)A高出地面3m①求水流恰好經(jīng)過著火點(diǎn)A時拋物線L的解析式,并求它的對稱軸;②為徹底消除隱患,消防員對距著火點(diǎn)A水平距離1m的范圍內(nèi)繼續(xù)進(jìn)行噴水,直接寫出拋物線(水流路線)L解析式中b的取值范圍(包含端點(diǎn))及c12.(2024·貴州畢節(jié)·三模)畢節(jié)市某消防中隊(duì)進(jìn)行消防技能比賽.如圖1,在一個廢棄高樓距地面12m的點(diǎn)A處和15m的點(diǎn)B處各設(shè)置了一個火源,消防員來到火源正前方,把水槍噴出的水流看作拋物線的一部分.第一次滅火時站在水平地面的點(diǎn)C處,水流從點(diǎn)C射出恰好到達(dá)點(diǎn)A處,且水流的最大豎直高度為16m,水流的最高點(diǎn)到高樓的水平距離為4m,建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系,水流的高度(1)求消防員第一次滅火時水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)待A處火熄滅后,消防員前進(jìn)2m到點(diǎn)D(水流從點(diǎn)D射出)處進(jìn)行第二次滅火,若兩次滅火時水流所在拋物線的形狀完全相同,請判斷水流能否到達(dá)點(diǎn)B(3)如圖2,若消防員從點(diǎn)C前進(jìn)tm到點(diǎn)T(水流從點(diǎn)T射出)處,水流未達(dá)到最高點(diǎn)且恰好到達(dá)點(diǎn)A處,請直接寫出t13.(2024·貴州·模擬預(yù)測)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的同學(xué)們想要研究植物園某圓形草坪自動澆水裝置的噴灑范圍,他們發(fā)現(xiàn):自動澆水裝置豎直立于草坪中心處,且噴出的水流的最上層呈拋物線形,此時草坪邊緣處恰好能噴灑到水.他們將水流最上層各點(diǎn)到澆水裝置的水平距離記為xm,到地面的豎直高度記為yx00.511.52…y11.151.21.51…根據(jù)以上數(shù)據(jù),完成下列問題.(1)測量數(shù)據(jù)中,哪一組是錯誤的?A.0,1B.0.5,1.15D.1.5,1.5(2)以草坪的中心為原點(diǎn),澆水裝置所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.①以表格中的各組數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的點(diǎn)已在圖中標(biāo)出,請將錯誤數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)改正過來重新在圖上標(biāo)出,并用平滑的曲線畫出函數(shù)圖象;②求圖象所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(3)經(jīng)調(diào)查,該自動澆水裝置的推力不變(拋物線的形狀不變),噴水口可以從現(xiàn)有位置向上移動,移動范圍是m≤0.6m.若植物園計(jì)劃在圓形草坪外圍種一圈寬度相等的花卉,請對花卉的寬度提出合理建議.14.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測)某廣場有一圓形噴泉池的中央安裝了一個噴水裝置OA,水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,通過調(diào)節(jié)噴水裝置OA的高度,從而實(shí)現(xiàn)噴出水柱豎直方向的升降,但不改變水柱的形狀.為了美觀,在半徑為3.2米的噴泉池四周種植了一圈寬度均相等的花卉.設(shè)水流離池底的高度為y(單位:米),距噴水裝置OA的水平距離為x(單位:米).如圖所示,以噴水裝置OA所在直線為y軸,以池底水平線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.如表是噴水口A最低時水流高度y和水平距離x之間的幾組數(shù)據(jù):x/米00.511.522.53x/米1.51.87521.8751.50.8750(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù),水流噴出的最大高度為______米,并求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,不要求寫出自變量的范圍;(2)為了提高對水資源的利用率,在欣賞噴泉之余也能噴灌四周的花卉,求噴水口A升高的最小值;(3)噴泉口A升高的最大值為1.92米,為能充分噴灌四周花卉,花卉的種植寬度至少要為多少米,才能使噴出的水流不至于落在花卉外?15.(2024·山東棗莊·模擬預(yù)測)【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】【項(xiàng)目主題】自動旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭灌溉蔬菜【項(xiàng)目背景】尋找生活中的數(shù)學(xué),九(1)班分四個小組,開展數(shù)學(xué)項(xiàng)目式實(shí)踐活動,獲取所有數(shù)據(jù)共享,對蔬菜噴水管建立數(shù)學(xué)模型,菜地裝有1個自動旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭,灌溉蔬菜,如圖1所示,觀察噴頭可順、逆時針往返噴灑.【項(xiàng)目素材】素材一:甲小組在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系,噴水口中心O有一噴水管OA,從A點(diǎn)向外噴水,噴出的水柱最外層的形狀為拋物線.以水平方向?yàn)閤軸,點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A(噴水口)在y軸上,x軸上的點(diǎn)D為水柱的最外落水點(diǎn).素材二:乙小組測得種植農(nóng)民的身高為1.75米,他常常往返于菜地之間.素材三:丙小組了解到需要給蔬菜大鵬里拉一層塑料薄膜用來保溫保濕,以便蔬菜更好地生長.【項(xiàng)目任務(wù)】(1)任務(wù)一:丁小組測量得噴頭的高OA=23米,噴水口中心點(diǎn)O到水柱的最外落水點(diǎn)D水平距離為8米,其中噴出的水正好經(jīng)過一個直立木桿EF的頂部F處,木桿高EF=3米,距離噴水口(2)任務(wù)二:乙小組發(fā)現(xiàn)這位農(nóng)民在與噴水口水平距離是p米時,不會被水淋到,求p的取值范圍.(3)任務(wù)三:丙小組測量發(fā)現(xiàn)薄膜所在平面和地面的夾角是45°,截面如圖3,求薄膜與地面接觸點(diǎn)與噴水口的水平距離是多少米時,噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米?(直接寫出答案,精確到0.1米).16.(2024·廣東深圳·二模)綜合與實(shí)踐:灑水車是城市綠化的生力軍,清掃道路,美化市容,降溫除塵,方便出行.如圖1,一輛灑水車正在沿著公路行駛(平行于綠化帶),為綠化帶澆水.?dāng)?shù)學(xué)小組成員想了解,灑水車要如何把控行駛路線與綠化帶之間的距離,才能保證噴出的水能澆灌到整個綠化帶?為解決這一問題,數(shù)學(xué)小組決定建立函數(shù)模型來描述澆水的情況,探索步驟如下:(1)【建立模型】數(shù)據(jù)收集:如圖2,選取合適的原點(diǎn)O,建立直角坐標(biāo)系,使得灑水車的噴水口H點(diǎn)在y軸上,根據(jù)現(xiàn)場測量結(jié)果,噴水口H離地豎直高度為OH=1.5m.把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其中D,E點(diǎn)在x軸上,測得其水平寬度DE=3m,豎直高度EF=0.5m①查閱資料:發(fā)現(xiàn)可以把灑水車噴出的水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象,分別為y1,y2.上邊緣拋物線y1的最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m,高出噴水口0.5m②下邊緣拋物線y2可以看作由上邊緣拋物線y1向左平移得到,其開口方向與大小不變.請求出下邊緣拋物線y2與x(2)【問題解決】要使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶,利用上述信息求OD的取值范圍.(3)【拓展應(yīng)用】半年之后,由于植物生長與修剪標(biāo)準(zhǔn)的變化,綠化帶的豎直高度EF變成了1m,噴水口也應(yīng)適當(dāng)升高,才能使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶,已知y1與y2的開口方向與大小不變,請直接寫出OH的最小值:17.(2024·浙江杭州·模擬預(yù)測)設(shè)計(jì)噴水方案素材1圖1為某公園的圓形噴水池,圖2是其示意圖,O為水池中心,噴頭A、B之間的距離為20米,噴射水柱呈拋物線形,水柱距水池中心7m處達(dá)到最高,高度為5m,水池中心處有一個圓柱形蓄水池,其底面直徑CD為12m,高CF
素材2如圖3、圖4,擬將在圓柱形蓄水池中心處建一能伸縮高度的噴水裝置OPOP⊥CD,要求水柱不能碰到圖2中的水柱,也不能落在蓄水池外面.經(jīng)調(diào)研,目前市場有兩種噴水頭均能噴射與圖2中形狀相同的拋物線.其中,甲噴水頭以點(diǎn)P為最高點(diǎn)向四周噴射水柱(如圖3),乙噴水頭噴射水柱的最高點(diǎn)與點(diǎn)P的高度差為0.8
問題解決任務(wù)1確定水柱形狀在圖2中以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),水平方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系,求左邊這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.任務(wù)2選擇噴水裝置甲,確定噴水裝置的最高高度若選擇甲裝置(圖3),為防止水花濺出,當(dāng)落水點(diǎn)G、M之間的距離滿足GM=27FM時,OP任務(wù)3選擇噴水裝置乙,擬定噴水裝置的高度范圍若選擇乙裝置(圖4),為了美觀,要求OP噴出的水柱高度不低于5m,求噴水裝置OP18.(2024·廣東深圳·三模)【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】項(xiàng)目主題:數(shù)學(xué)眼光儀式設(shè)計(jì)項(xiàng)目背景:“過水門”是國際民航中高級別的禮儀,因兩輛(或以上)的消防車在飛機(jī)兩側(cè)噴射水柱出現(xiàn)一個“水門”狀的效果而得名.學(xué)校計(jì)劃在運(yùn)動會開幕式上舉行彩旗隊(duì)“過水門”儀式,數(shù)學(xué)研習(xí)小組協(xié)助彩旗隊(duì)進(jìn)行隊(duì)列設(shè)計(jì).任務(wù)一測量建模(1)如圖1,研習(xí)小組測得表演場地寬度AB=16米,在A、B處各安裝一個接通水源的噴泉噴頭,將出水口高度AM,BN都設(shè)為1米,調(diào)整出水速度與角度,使噴出的兩條拋物線水柱形狀相同,并在拋物線頂點(diǎn)C處相遇,組成一條完整的拋物線形水門,且點(diǎn)C到地面的距離為5米.以線段AB所在的直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,請?jiān)趫D中畫出坐標(biāo)系,并求出“過水門”儀式中拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(不要求寫出自變量的取值范圍)任務(wù)二方案設(shè)計(jì)(2)研習(xí)小組了解到彩旗隊(duì)的隊(duì)列設(shè)置要求,每兩列之間保持相同的間距,隊(duì)員所持彩旗的頂端離地面的距離保持3.6米.為保證“水門”的水柱不被破壞,要求每排最外側(cè)兩列隊(duì)員所持彩旗頂端與水柱間的鉛直距離為0.4米,彩旗隊(duì)要排成6列縱隊(duì),請你通過計(jì)算,確定彩旗隊(duì)“過水門”時,每相鄰兩列縱隊(duì)的間距.任務(wù)三創(chuàng)意設(shè)計(jì)(3)為使下一次“過水門”的設(shè)計(jì)更具創(chuàng)意,研習(xí)小組通過進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn):兩個噴頭同時向后移動相同的距離m米,此時兩個水柱(水柱形狀不變)的交點(diǎn)相應(yīng)向下移動1米,在噴頭底端的同一直線上各安裝一臺射燈,射燈射出的光線與地面的夾角為45°且相交于一點(diǎn).若光線與水柱之間的最小距離為2米,此時右側(cè)射燈與右側(cè)噴頭底端的水平距離為n米,則m的值為______,n的值為______.專題22.7噴水問題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】某蔬菜基地調(diào)灑水車來澆灌菜地,已知灑水的剖面是由AC、兩條拋物線和地面組成,建立如圖的平面直角坐標(biāo)系.拋物線CND的函數(shù)表達(dá)式為y=?15x2+45x+1,拋物線AMB上點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1)如圖1,當(dāng)?=6時,求拋物線AMB與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)如圖2,若大棚的一邊是防風(fēng)墻PQ,防風(fēng)墻距離點(diǎn)O有11米,墻高32米,要想所灑的水既能到墻邊又不會灑到墻外,求?
(3)如圖3,在(2)拋物線AMB正好經(jīng)過墻角Q的條件下,為了防止強(qiáng)光灼傷蔬菜,菜農(nóng)將遮陰網(wǎng)(用線段PE表示,PE與拋物線AMB相交于點(diǎn)F)兩端固定在P,E兩處,點(diǎn)E距點(diǎn)O正好2米.若G是線段EF上一動點(diǎn),過點(diǎn)G作GH⊥x軸交拋物線AMB于點(diǎn)H,求GH長度的最大值.
【思路點(diǎn)撥】(1)先求出點(diǎn)D的坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo),設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)2+6,把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入,求出拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式,最后令y=0(2)a=11150?125?,則可求當(dāng)(3)先求直線EP的表達(dá)式為y=16x?13,拋物線的表達(dá)式為y=?16【解題過程】(1)解:把y=0代入y=?15x解得x1∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為5,0,∴拋物線AMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為5,6.設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)將點(diǎn)A0,116代入,得a∴拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=?1令y=0,得?1解得x1∴拋物線AMB與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為11,0.(2)解:設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)∵它經(jīng)過點(diǎn)A0,∴a0?5∴a=11當(dāng)x=11時,y=a11?5∵要想所灑的水既能到墻邊又不會灑到墻外,∴0≤66解得5722∴?的取值范圍為5722設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)2+?(3)解:由題意知,點(diǎn)E的坐標(biāo)為2,0,點(diǎn)P的坐標(biāo)為11,3設(shè)EP所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,∴2k+b=0,11k+b=∴y=1∵拋物線AMB正好經(jīng)過墻角Q,∴拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=?1設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m.∵GH⊥x軸,∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m.∴GH=y∵?1∴當(dāng)m=92時,GH取最大值即GH長度的最大值為13324學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1.(23-24九年級上·福建廈門·階段練習(xí))學(xué)校組織學(xué)生去同安進(jìn)行研學(xué)實(shí)踐活動,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)在賓館房間的洗手盤臺面上有一瓶洗手液(如圖①).于是好奇的小王同學(xué)進(jìn)行了實(shí)地測量研究.當(dāng)小王用一定的力按住頂部A下壓如圖②位置時,洗手液從噴口B流出,路線近似呈拋物線狀,且噴口B為該拋物線的頂點(diǎn).洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形CGHD.小王同學(xué)測得:洗手液瓶子的底面直徑GH=12cm,噴嘴位置點(diǎn)B距臺面的距離為16cm,且B、D、H三點(diǎn)共線.小王在距離臺面15.5cm處接洗于液時,手心Q到直線DH的水平距離為3cm,若小王不去接,則洗手液落在臺面的位置距
A.122cm B.123cm C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意:GH所在直線為x軸,GH的垂直平分線所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,噴口B為拋物線頂點(diǎn),共線的三點(diǎn)B、D、H所在直線為拋物線的對稱軸,得出各點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求拋物線解析式進(jìn)而求解.【解題過程】解:根據(jù)題意:GH所在直線為x軸,GH的垂直平分線所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,噴口B為拋物線頂點(diǎn),共線的三點(diǎn)B、D、H所在直線為拋物線的對稱軸,
根據(jù)題意,OH=12GH=6,Q將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得,15.5=a9?6解得:a=?1∴拋物線解析式為:y=?1當(dāng)y=0時,即?1解得:x=6+122,或x=6?12所以洗手液落在臺面的位置距DH的水平距離是6+122故選:C.2.(2024·河北石家莊·一模)如圖1,一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線.圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖,噴水頭的高度(噴水頭距噴灌架底部的距離)是1米.當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭20米時.達(dá)到最大高度11米,現(xiàn)將噴灌架置于坡度為1:10的坡地底部點(diǎn)O處,草坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度約為2.3米的石榴樹AB,因?yàn)閯倓偙粐姙⒘宿r(nóng)藥,近期不能被噴灌.下列說法正確的是()A.水流運(yùn)行軌跡滿足函數(shù)y=﹣140x2﹣xB.水流噴射的最遠(yuǎn)水平距離是40米C.噴射出的水流與坡面OA之間的最大鉛直高度是9.1米D.若將噴灌架向后移動7米,可以避開對這棵石榴樹的噴灌【思路點(diǎn)撥】A、設(shè)水流運(yùn)行軌跡滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-20)2+11,用待定系數(shù)法求得a的值即可求得答案;B、把y=0代入函數(shù)y=﹣140x2+xC、坡度為1:10的坡地解析式為y=110x,設(shè)拋物線上點(diǎn)P(x,?140x2+x+1),過P作PQ∥y軸,交OA于Q,點(diǎn)Q(x,110D、向后平移后的解析式為y=?140(x?13)2+11【解題過程】解:A、設(shè)水流運(yùn)行軌跡滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-20)2+11,把(0,1)代入解析式得:400a+11=1,解得:a=?1∴解析式為y=?1故A不符合題意;B、當(dāng)y=0時,?1解得x=±2110+20,∴水流噴射的最遠(yuǎn)水平距離是2110+20米;故B不符合題意;C、坡度為1:10的坡地解析式為y=1設(shè)拋物線上點(diǎn)P(x,?140x2+x+1),過P作PQ∥y軸,交OA于Q∴PQ=?1當(dāng)x=18時噴射出的水流與坡面OA之間的最大鉛直高度是9.1米,故C符合題意;D、向后7米平移后的解析式為y=?1當(dāng)x=30時,y=3.775,3.775-3=0.775<2.3,∴不可以避開對這棵石榴樹的噴灌,故選項(xiàng)D不正確;故選:C.3.(2024·吉林長春·一模)公園要建造圓形的噴水池如圖①,水面中心O處垂直于水面安裝一個柱子,柱子頂端處的噴頭向外噴水,水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下.安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn),噴頭上下移動時,拋物線形水柱隨之豎直上下平移,水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面.如圖②,噴頭高5m時,水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)5m;噴頭高8m時,水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)6m.現(xiàn)要使水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)8m,則噴頭高應(yīng)調(diào)整為m.
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,由題意可知,在調(diào)整噴頭高度的過程中,水柱的形狀不發(fā)生變化,則當(dāng)噴頭高5m時,可設(shè)y=ax2+bx+5,將5,0代入解析式得出5a+b+1=0;噴頭高8m時,可設(shè)y=ax2+bx+8;將y=ax2+bx+8代入解析式得36a+6b+8=0,聯(lián)立可求出a和b的值,設(shè)噴頭高為?m【解題過程】解:由題意可知,在調(diào)整噴頭高度的過程中,水柱的形狀不發(fā)生變化,即拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)不會發(fā)生變化,當(dāng)噴頭高5m時,可設(shè)y=ax將5,0代入解析式得出25a+5b+5=0,整理得5a+b+1=0①;噴頭高8m時,可設(shè)y=ax將6,0代入解析式得36a+6b+8=0②,聯(lián)立①②可求出a=?1設(shè)噴頭高為?m時,水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)8∴此時的解析式為y=?1將8,0代入可得解得?=16,∴噴頭高應(yīng)調(diào)整為16m故答案為:16.4.(2024·吉林長春·二模)長春公園擬建一個噴泉景觀,在一個柱形高臺上裝有噴水管,水管噴頭斜著噴出水柱,經(jīng)過測量水柱在不同位置到水管的水平距離和對應(yīng)的豎直高度呈拋物線型,當(dāng)噴水管離地面3.2米噴水時,水柱在離水管水平距離3米處離地面豎直高度最大,最大高度是5米.此噴水管可以上下調(diào)節(jié),噴出的水柱形狀不變且隨之上下平移,若調(diào)節(jié)后的落水點(diǎn)(水落到地面的距離)向內(nèi)平移了1米,則噴水管需要向下平移米.【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題時要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.依據(jù)題意,由表格數(shù)據(jù)即可作圖;結(jié)合圖象,設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax?32+5a≠0,再將(0,3.2)代入求出a后即可得解,依據(jù)題意,令y=0,即:?15x?32+5=0,從而解得x后,即可判斷原拋物線的落水點(diǎn),然后求出新拋物線的落水點(diǎn),再設(shè)噴水管需要向下平移?【解題過程】解:建立平面直角坐標(biāo)系為:設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=a觀察圖象可知,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5),代入得y=ax?3將(0,3.2)代入得9a+5=3.2,∴解得:a=?1∴拋物線的表達(dá)式為y=?1由題意,拋物線與x軸相交,令y=0,即?1解之得:x1∴原拋物線的落水點(diǎn)為(8,0).∴新拋物線的落水點(diǎn)為8?10,即設(shè)噴水管需要向下平移?米,∴新拋物線的表達(dá)式為y=?1將(7,0)代入得,?1∴解得:?=1.8,答:噴水管需要向下平移1.8米,故答案為:1.8.5.(23-24九年級上·浙江溫州·期末)如圖,灌溉系統(tǒng)從點(diǎn)A處噴出水來給右側(cè)矩形BCDE花壇澆水,水流的形狀為拋物線,某一時刻拋物線經(jīng)過點(diǎn)E,分別交ED,BC于點(diǎn)F,G.測量得AB=40cm,BC=130cm,CD=60cm,EF=80cm,則GC=cm.過一段時間,灌溉系統(tǒng)由點(diǎn)A處升高至點(diǎn)H處,水流的方向和水量均沒有發(fā)生變化,此時拋物線經(jīng)過點(diǎn)D,則【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、二次函數(shù)的平移、矩形的性質(zhì),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,則A0,0,E40,60,F(xiàn)120,60,設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+bx+c,待定系數(shù)法求出解析式為y=?180x2+2x,令y=0,則?180x2【解題過程】解:∵四邊形BCDE是矩形,CD=60cm∴BE=CD=60cm如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系如圖所示:則A0∵AB=40cm,EF=80∴E40,60設(shè)拋物線的解析式為:y=ax將A0,0,E40,解得:a=?1∴拋物線的解析式為y=?1令y=0,則?1解得:x=0或x=160,∴G160∴AG=160cm∴BG=AG?AB=160?40=120cm∴CG=BC?BG=130?120=10cm∴AC=AG+CG=160+10=170cm∴D170∵y=?180x2+2x=?∴設(shè)灌溉系統(tǒng)由點(diǎn)A處升高至點(diǎn)H處,升高了m,則拋物線的解析式變?yōu)閥=?1∵灌溉系統(tǒng)由點(diǎn)A處升高至點(diǎn)H處,水流的方向和水量均沒有發(fā)生變化,此時拋物線經(jīng)過點(diǎn)D,∴60=?1解得:m=325∴AH=325故答案為:10,32546.(2024·浙江溫州·一模)某游樂園有一圓形噴水池(如圖),中心立柱AM上有一噴水頭A,其噴出的水柱距池中心3米處達(dá)到最高,最遠(yuǎn)落點(diǎn)到中心M的距離為9米,距立柱4米處地面上有一射燈C,現(xiàn)將噴水頭A向上移動1.5米至點(diǎn)B(其余條件均不變),若此時水柱最高處D與A,C在同一直線上,則水柱最遠(yuǎn)落點(diǎn)到中心M的距離增加了米.【思路點(diǎn)撥】以地面為x軸,中心立柱為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.由題意可知拋物線的對稱軸,即可設(shè)該拋物線解析式為y=a(x?3)2+b(a<0),由該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(9,0),即可求出該拋物線解析式為y=a(x?3)2?36a,即能求出平移后的解析式為y=a(x?3)2?36a+1.5,即可知D點(diǎn)坐標(biāo).由點(diǎn)A和點(diǎn)C坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出經(jīng)過點(diǎn)A、C的直線的解析式,又由于點(diǎn)D【解題過程】解:如圖,以地面為x軸,中心立柱為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意可知水柱可以看成拋物線(只考慮第一象限).由題意可知C點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0).∵噴水頭A噴出的水柱距池中心3米處達(dá)到最高,故該拋物線的對稱軸為x=3.∴設(shè)該拋物線解析式為y=a(x?3)又∵水柱最遠(yuǎn)落點(diǎn)到中心M的距離為9米,∴該拋物線又經(jīng)過點(diǎn)(9,0).∴0=a(9?3)2+b∴該拋物線解析式為y=a(x?3)當(dāng)x=0時,y=a故點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,-27a).由題意可知將噴水頭A向上移動1.5米至點(diǎn)B,即將拋物線向上平移1.5.∴平移后的拋物線為y=a(x?3)∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,?36a+1.5).設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、C的直線解析式為y=kx+m,∴0=?4k+m?27a=m,解得k=?即經(jīng)過點(diǎn)A、C的直線解析式為y=?27又∵該直線經(jīng)過點(diǎn)D.∴?36a+1.5=?27解得:a=?2故平移后的拋物線解析式為y=?2整理得:y=?2當(dāng)y=0時,即?2解得:x1∴移動后最遠(yuǎn)落點(diǎn)到中心M的距離為6+321∴移動后水柱最遠(yuǎn)落點(diǎn)到中心M的距離增加了6+321故答案為:3217.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測)某村為了響應(yīng)國家關(guān)于農(nóng)田灌溉高效節(jié)水的號召,引入了現(xiàn)代灌溉技術(shù),已知噴灌機(jī)從噴水口A點(diǎn)向四周旋轉(zhuǎn)噴灑,噴出的水流近似為拋物線的一部分,且形狀相同,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,測得噴水口OA的豎直高度為1m,噴出水流距離噴灌機(jī)底座O最遠(yuǎn)水平距離OB為8m,噴出水流豎直高度的最高處位置距離噴灌機(jī)底座O的水平距離OC為3m.(1)求噴出水流的豎直高度y(m)與距離噴灌機(jī)底座O的水平距離x(m)之間的關(guān)系式:(2)為了能噴灑到更多的農(nóng)作物,保證水資源的充分利用,村民決定對噴灌機(jī)做如下設(shè)計(jì)改進(jìn):在噴水口高度和噴出水流形狀不變的前提下,要讓噴出水流距離噴灌機(jī)底座O最遠(yuǎn)水平距離擴(kuò)大為12米,請?zhí)骄扛倪M(jìn)后噴出水流的最大高度為多少米?【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題時要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.(1)根據(jù)題意得出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),再用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得平移后的函數(shù)解析式,再化為頂點(diǎn)式即可求解.【解題過程】(1)解:由題意,A點(diǎn)坐標(biāo)為0,1,B點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)拋物線的解析式為y=a(x?3)∴1=9a+k0=25a+k∴a=?1∴y=?1∴x=1時,y=2.25.∴水流噴出的最大高度為2.25m(2)解:由題意,∵在噴水口高度和噴出水流形狀不變,∴可設(shè)拋物線為y=?116x2+mx+n∴n=1?1∴拋物線為y=?1當(dāng)x=163時,y=25答:改進(jìn)后噴出水流的最大高度為2598.(2024·河南商丘·二模)小江自制了一把水槍(圖1),他將水槍固定,在噴水頭距離地面1米的位置進(jìn)行實(shí)驗(yàn).當(dāng)噴射出的水流與噴水頭的水平距離為2米時,水流達(dá)到最大高度3米,該水槍噴射出的水流可以近似地看成拋物線,圖2為該水槍噴射水流的平面示意圖.(1)求該拋物線的表達(dá)式.(2)在距離噴射頭水平距離3米的位置放置一高度為2米的障礙物,試問水流能越過該障礙物嗎?(3)小江通過重新調(diào)整噴頭處的零件,使水槍噴射出的水流拋物線滿足表達(dá)式y(tǒng)=?x2+a+1x+1.當(dāng)1≤x≤2【思路點(diǎn)撥】本題考查拋物線的應(yīng)用,掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式與二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)用待定系數(shù)法求解即可;(2)把x=3,代入拋物線解析式,求出y值,再與2比較,即可得出結(jié)論;(3)先求得拋物線y=?x2+a+1x+1的對稱軸為x=a+12.再分兩種情況:①當(dāng)a+1【解題過程】(1)解:設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=ax?2將點(diǎn)0,1代入,得4a+3=1,解得a=?1∴該拋物線的表達(dá)式為y=?1(2)解:當(dāng)x=3時,y=?1∵2.5>2,∴水流能越過該障礙物.(3)解:∵拋物線y=?x2+①當(dāng)a+12<3將x=2代入y=?x2+a+1x+1∴a的取值范圍為32②當(dāng)32≤a+1將x=1代入y=?x2+a+1x+1∴a的取值范圍為a≥2.綜上所述,a的取值范圍為a>39.(2024·山東青島·三模)如圖,無人機(jī)在離地面22m的A處發(fā)現(xiàn)大樓E處出現(xiàn)火災(zāi),同時觀察到A點(diǎn)與大樓前的旗桿CD頂端C及著火點(diǎn)E正好在同一直線上.此時消防員正在其正下方離地面2m的B處進(jìn)行噴水滅火,水流近似的呈拋物線形狀噴出,且正好經(jīng)過C,E.已知旗桿CD離消防員的水平距離是40m,高度是14(1)求直線AC的解析式,并求E點(diǎn)坐標(biāo);(2)求拋物線的解析式,并求水噴出的最大高度;(3)由于火勢太猛,消防員退后了10m,要使水仍然能噴到著火點(diǎn)E處,消防員應(yīng)升高多少米?(期間拋物線形狀保持不變)(4)在(3)的條件下,水流能否順利越過旗桿?請說明理由.【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵;(1)根據(jù)點(diǎn)A、C得坐標(biāo)運(yùn)用待定法求出直線AC的解析式,再根據(jù)OF=50m,令x=50,求出y(2)設(shè)拋物線為y=ax2+bx+c,分別將B、C(3)由拋物線形狀不變,消防員后退10m,設(shè)出新的拋物線y=?1100x?35+102+k,根據(jù)過點(diǎn)E(4)令x=40代入新的拋物線求出y,比較即可得出結(jié)論.【解題過程】(1)解:∵無人機(jī)在離地面22m的A處發(fā)現(xiàn)大樓E處出現(xiàn)火災(zāi),旗桿CD離消防員的水平距離是40m,高度是∴A0,22設(shè)直線AC為y=kx+b,∴b=2240k+b=14∴k=?1∴直線AC為y=?1又∵OF=50m∴令x=50,則y=?1∴E((2)解:由題意知拋物線過B(0,2)設(shè)拋物線為y=ax∴c=21600a+40b+c=14∴a=?1∴拋物線為y=?1∴當(dāng)x=35時,y取最大值為574∴水噴出的最大高度574(3)由題意,∵拋物線形狀保持不變,消防員后退10m,∴可設(shè)新拋物線為y=?1又過E(50,12)∴k=73∴新拋物線為y=?1∴令x=?10,則y=?1又6?2=4m∴消防員應(yīng)升高4米.(4)解:∵新拋物線為y=?1∴令x=40,則y=?1∴水流能順利越過旗桿.10.(2024·河南濮陽·三模)如圖1,為打造潴龍河夜景景觀觀賞通道,管理部門在河道兩旁安裝了噴水裝置.噴水水柱要越過綠道噴入潴龍河中.圖2是其截面圖,已知綠道路面寬OA=3.5米,河道壩高AE=5米,壩面AB的坡比為i=1:0.5(其中i=tan∠ABE),BC是河底.當(dāng)水柱離噴水口(1)出于安全考慮,在河道的壩邊A處安裝護(hù)欄,要求水柱不能噴射到護(hù)欄上,則護(hù)欄的最大高度是多少米(結(jié)果保留一位小數(shù))?(2)水柱落入水中會濺起美麗的水花,河水水深至少為多少米時,噴水水柱剛好落在水面上?【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題時要熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.(1)依據(jù)題意得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,3,設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=ax?2再結(jié)合函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn),求出a的值,得到二次函數(shù)的解析式為:y=?34x?22+3,(2)依據(jù)題意,可得A3.5,0,再求得B的坐標(biāo)為6,?5,再設(shè)AB的解析式為y=kx+bk≠0【解題過程】(1)解:由題意得:二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,3,∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為:y=ax?2∵函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn),∴4a+3=0,解得:a=?3∴該二次函數(shù)的解析式為:y=?3∴當(dāng)x=3.5時,y=∴護(hù)欄的最大高度為1.3米.(2)解:設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為a,則BE=a?3.5,∵AE=5米,壩面AB的坡比為i=1:0.5,∴a=6,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為6,又由題意可知,A3.5設(shè)AB的解析式為y=kx+bk≠0∴3.5k+b=0∴k=?2∴y=?2x+73.5≤x≤6∴?2x+7=?3解得:x1=2當(dāng)x=143時,∴河水降至離地平面距離為73∴河水水深為5?711.(2024·河北邯鄲·二模)消防員正在對一處著火點(diǎn)A進(jìn)行噴水滅火,水流路線L為拋物線的一部分.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,已知消防車上的噴水口B高出地面2m,距離原點(diǎn)的水平距離為6m,著火點(diǎn)A距離點(diǎn)B的水平距離為10m,且點(diǎn)B,A分別位于y軸左右兩側(cè),拋物線L的解析式為y=?14(1)寫出點(diǎn)B的坐標(biāo),求c與b之間滿足的關(guān)系式.(2)若著火點(diǎn)A高出地面3m①求水流恰好經(jīng)過著火點(diǎn)A時拋物線L的解析式,并求它的對稱軸;②為徹底消除隱患,消防員對距著火點(diǎn)A水平距離1m的范圍內(nèi)繼續(xù)進(jìn)行噴水,直接寫出拋物線(水流路線)L解析式中b的取值范圍(包含端點(diǎn))及c【思路點(diǎn)撥】題目主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,理解題意,結(jié)合圖形,綜合運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.(1)根據(jù)題意得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?6,2(2)①根據(jù)題意確定A(4,3②根據(jù)題意分兩種情況分析:當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3,3)時,當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(5,3)時,即可確定b的取值范圍;再由c與【解題過程】(1)解:∵消防車上的噴水口B高出地面2m,距離原點(diǎn)的水平距離為6∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?6,2∵拋物線L的解析式為y=?14x∴2=?1整理得:c=6b+11;(2)①∵著火點(diǎn)A距離點(diǎn)B的水平距離為10m,著火點(diǎn)A高出地面3m,點(diǎn)B的坐標(biāo)為∴?6+10=4,∴A(4,3由(1)得c=6b+11,∴拋物線的解析式為:y=?1∵水流恰好經(jīng)過著火點(diǎn)A,∴代入得:3=?1解得:b=?2∴c=43∴拋物線的解析式為:y=?1對稱軸為:x=??②∵消防員對距著火點(diǎn)A水平距離1m的范圍內(nèi)繼續(xù)進(jìn)行噴水,A(∴當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3,33=?14×當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(5,3)時,3=?14×綜上可得:?23∵c=6b+11,6>0,∴c隨b的增大而增大,∴當(dāng)b=?2336時,c取得最小值為∴c的最小值為43612.(2024·貴州畢節(jié)·三模)畢節(jié)市某消防中隊(duì)進(jìn)行消防技能比賽.如圖1,在一個廢棄高樓距地面12m的點(diǎn)A處和15m的點(diǎn)B處各設(shè)置了一個火源,消防員來到火源正前方,把水槍噴出的水流看作拋物線的一部分.第一次滅火時站在水平地面的點(diǎn)C處,水流從點(diǎn)C射出恰好到達(dá)點(diǎn)A處,且水流的最大豎直高度為16m,水流的最高點(diǎn)到高樓的水平距離為4m,建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系,水流的高度(1)求消防員第一次滅火時水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)待A處火熄滅后,消防員前進(jìn)2m到點(diǎn)D(水流從點(diǎn)D射出)處進(jìn)行第二次滅火,若兩次滅火時水流所在拋物線的形狀完全相同,請判斷水流能否到達(dá)點(diǎn)B(3)如圖2,若消防員從點(diǎn)C前進(jìn)tm到點(diǎn)T(水流從點(diǎn)T射出)處,水流未達(dá)到最高點(diǎn)且恰好到達(dá)點(diǎn)A處,請直接寫出t【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,二次函數(shù)的平移,待定系數(shù)法求解析式,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)4,16且過A0,12,可設(shè)拋物線解析式為y=a(2)利用平移求出消防員第二次滅火時水流所在拋物線的解析式,再令x=0,即可求解;(3)利用平移求出消防員到點(diǎn)T處時水流所在拋物線的解析式,再結(jié)合水流未達(dá)到最高點(diǎn)且恰好到達(dá)點(diǎn)A(0,10),即可求解.【解題過程】(1)解:依題意,消防員第一次滅火時水流所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4,16,∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax?4將點(diǎn)A0,1212=a(0?4)2+16∴消防員第一次滅火時水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1(2)解:水流能到達(dá)點(diǎn)B處.理由:依題意,消防員第二次滅火時水流所在拋物線是由第一次的拋物線向左平移2個單位長度得到,∴消防員第二次滅火時水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1令x=0,則y=?1即消防員第二次滅火時水流所在拋物線過點(diǎn)B0∴水流能到達(dá)點(diǎn)B處;(3)解:依題意,消防員從點(diǎn)C前進(jìn)tm到點(diǎn)T處,消防員到點(diǎn)T處時水流所在拋物線是由第一次的拋物線向左平移t∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1∵水流未達(dá)到最高點(diǎn)且恰好到達(dá)點(diǎn)A處,∴y=?14(x?4+t)2+16∴t>4.將點(diǎn)A0,12代入,得12=?解得t=8或t=0(含去),∴t=8.13.(2024·貴州·模擬預(yù)測)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的同學(xué)們想要研究植物園某圓形草坪自動澆水裝置的噴灑范圍,他們發(fā)現(xiàn):自動澆水裝置豎直立于草坪中心處,且噴出的水流的最上層呈拋物線形,此時草坪邊緣處恰好能噴灑到水.他們將水流最上層各點(diǎn)到澆水裝置的水平距離記為xm,到地面的豎直高度記為yx00.511.52…y11.151.21.51…根據(jù)以上數(shù)據(jù),完成下列問題.(1)測量數(shù)據(jù)中,哪一組是錯誤的?A.0,1B.0.5,1.15D.1.5,1.5(2)以草坪的中心為原點(diǎn),澆水裝置所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.①以表格中的各組數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的點(diǎn)已在圖中標(biāo)出,請將錯誤數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)改正過來重新在圖上標(biāo)出,并用平滑的曲線畫出函數(shù)圖象;②求圖象所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(3)經(jīng)調(diào)查,該自動澆水裝置的推力不變(拋物線的形狀不變),噴水口可以從現(xiàn)有位置向上移動,移動范圍是m≤0.6m.若植物園計(jì)劃在圓形草坪外圍種一圈寬度相等的花卉,請對花卉的寬度提出合理建議.【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,正確理解題意、熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.(1)由表格中的數(shù)據(jù)可得對稱軸為x=1,當(dāng)x=1時,y有最大值1.2,再進(jìn)行判斷即可;(2)①畫出圖形即可;②用待定系數(shù)法求解即可;(3)當(dāng)y=0時,?15x?12+1.2=0,求得草坪的半徑是1+6m,可得自動澆水裝置達(dá)到最大噴灑半徑時,對應(yīng)的拋物線為y=?【解題過程】(1)由0,1及2,1可得對稱軸為可得當(dāng)x=1時,y有最大值1.2,所以1.5,故選:D;(2)①如解圖;②由表格數(shù)據(jù)可知此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax?1把0,1代入,解得a=?1∴y=?1故圖象所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1(3)當(dāng)y=0時,?1解得x1=1+6∴草坪的半徑是1+6∵在向上平移的過程中拋物線的形狀不變,且向上移動的范圍是m≤0.6,∴自動澆水裝置達(dá)到最大噴灑半徑時,對應(yīng)的拋物線為y=?1令?1解得x=4(負(fù)值已舍去),此時自動澆水裝置的最大噴灑半徑是4m∵圓形草坪的半徑為1+64?1+∴為使花卉都能被澆水,其寬度應(yīng)不超過3?614.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測)某廣場有一圓形噴泉池的中央安裝了一個噴水裝置OA,水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,通過調(diào)節(jié)噴水裝置OA的高度,從而實(shí)現(xiàn)噴出水柱豎直方向的升降,但不改變水柱的形狀.為了美觀,在半徑為3.2米的噴泉池四周種植了一圈寬度均相等的花卉.設(shè)水流離池底的高度為y(單位:米),距噴水裝置OA的水平距離為x(單位:米).如圖所示,以噴水裝置OA所在直線為y軸,以池底水平線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.如表是噴水口A最低時水流高度y和水平距離x之間的幾組數(shù)據(jù):x/米00.511.522.53x/米1.51.87521.8751.50.8750(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù),水流噴出的最大高度為______米,并求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,不要求寫出自變量的范圍;(2)為了提高對水資源的利用率,在欣賞噴泉之余也能噴灌四周的花卉,求噴水口A升高的最小值;(3)噴泉口A升高的最大值為1.92米,為能充分噴灌四周花卉,花卉的種植寬度至少要為多少米,才能使噴出的水流不至于落在花卉外?【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題時要能讀懂題意,靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵.(1)依據(jù)題意,根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得拋物線的對稱軸,得頂點(diǎn)為1,2,可得最大高度;由題意可設(shè)拋物線的關(guān)系式為y=ax?1(2)依據(jù)題意,設(shè)拋物線向上平移m米恰好灑到花卉上,可得此時解析式為y=?0.5x?12+2+m,又過點(diǎn)3.2,0(3)依據(jù)題意,設(shè)噴泉口A升高的最大值為1.92米時,解析式為y=?0.5x?12+2+?,又過點(diǎn)0,3.42【解題過程】(1)解:由題意,根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得拋物線的對稱軸是直線x=0.5+1.5∴頂點(diǎn)為1,∴水流噴出的最大高度為2米,故答案為:2;由題意可設(shè)拋物線的關(guān)系式為:y=ax?1又拋物線過0,∴a+2=1.5,∴a=?0.5,∴函數(shù)關(guān)系式為y=?0.5x?1(2)解:由題意,設(shè)拋物線向上平移m米恰好灑到花卉上,∴此時解析式為y=?0.5x?1由題意此時拋物線過點(diǎn)3.2,∴0=?0.53.2?1∴m=0.42,∴此時解析式為y=?0.5x?1令x=0,∴y=2.42?0.5=1.92,∴噴水口A升高的最小值為1.92?1.5=0.42(米);(3)解:由題意,噴泉口A升高的最大值為1.92米時,此時A0設(shè)拋物線解析式為y=?0.5x?1又過點(diǎn)0,∴3.42=?0.50?1∴?=1.92,∴解析式為y=?0.5x?1令y=0,∴0=?0.5x?1∴x=3.8或x=?1.8(不合題意,舍去),∴花卉的種植寬度至少為:3.8?3.2=0.6(米).∴花卉的種植寬度至少要為0.6米,才能使噴出的水流不至于落在花卉外.15.(2024·山東棗莊·模擬預(yù)測)【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】【項(xiàng)目主題】自動旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭灌溉蔬菜【項(xiàng)目背景】尋找生活中的數(shù)學(xué),九(1)班分四個小組,開展數(shù)學(xué)項(xiàng)目式實(shí)踐活動,獲取所有數(shù)據(jù)共享,對蔬菜噴水管建立數(shù)學(xué)模型,菜地裝有1個自動旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭,灌溉蔬菜,如圖1所示,觀察噴頭可順、逆時針往返噴灑.【項(xiàng)目素材】素材一:甲小組在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系,噴水口中心O有一噴水管OA,從A點(diǎn)向外噴水,噴出的水柱最外層的形狀為拋物線.以水平方向?yàn)閤軸,點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A(噴水口)在y軸上,x軸上的點(diǎn)D為水柱的最外落水點(diǎn).素材二:乙小組測得種植農(nóng)民的身高為1.75米,他常常往返于菜地之間.素材三:丙小組了解到需要給蔬菜大鵬里拉一層塑料薄膜用來保溫保濕,以便蔬菜更好地生長.【項(xiàng)目任務(wù)】(1)任務(wù)一:丁小組測量得噴頭的高OA=23米,噴水口中心點(diǎn)O到水柱的最外落水點(diǎn)D水平距離為8米,其中噴出的水正好經(jīng)過一個直立木桿EF的頂部F處,木桿高EF=3米,距離噴水口(2)任務(wù)二:乙小組發(fā)現(xiàn)這位農(nóng)民在與噴水口水平距離是p米時,不會被水淋到,求p的取值范圍.(3)任務(wù)三:丙小組測量發(fā)現(xiàn)薄膜所在平面和地面的夾角是45°,截面如圖3,求薄膜與地面接觸點(diǎn)與噴水口的水平距離是多少米時,噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米?(直接寫出答案,精確到0.1米).【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意得到A0,23,D8,0,E4,0(2)根據(jù)這位農(nóng)民在與噴水口水平距離是p米時,不會被水淋到,結(jié)合農(nóng)民最高點(diǎn)坐標(biāo)為p,1.75,以及二次函數(shù)性質(zhì)求解,即可解題;(3)根據(jù)薄膜所在平面和地面的夾角是45°,設(shè)薄膜所在平面的直線解析式為y=?x+m,當(dāng)拋物線與薄膜所在平面相切時(即只有一個交點(diǎn)),有?x+m=?16x2+54x+2【解題過程】(1)解:由題可知:A0,23,D8,0,設(shè)拋物線的解析式為:y=ax將F4,3,D8,0代入16a+4b+2解得:a=?1∴拋物線的解析式為:y=?1(2)解:由題可知:農(nóng)民常常往返于菜地之間,則此時農(nóng)民最高點(diǎn)坐標(biāo)為p,1.75,將其代入y=?16x整理得2p?13p?1解得:p1=13則1<p<13綜上:p的取值范圍為1<p<13(3)解:由題知,薄膜所在平面和地面的夾角是45°,設(shè)薄膜所在平面的直線解析式為y=?x+m,當(dāng)拋物線與薄膜所在平面相切時,有?x+m=?1整理得2x有b2解得m=793∴薄膜所在平面的直線解析式為y=?x+8.3,∵噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米,即薄膜所在的直線應(yīng)向右平移0.1米,∴平移后的直線解析式為y=?x?0.1當(dāng)y=0時,?x+8.4=0,解得x=8.4,∴薄膜與地面接觸點(diǎn)與噴水口的水平距離是8.4米時,噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米.16.(2024·廣東深圳·二模)綜合與實(shí)踐:灑水車是城市綠化的生力軍,清掃道路,美化市容,降溫除塵,方便出行.如圖1,一輛灑水車正在沿著公路行駛(平行于綠化帶),為綠化帶澆水.?dāng)?shù)學(xué)小組成員想了解,灑水車要如何把控行駛路線與綠化帶之間的距離,才能保證噴出的水能澆灌到整個綠化帶?為解決這一問題,數(shù)學(xué)小組決定建立函數(shù)模型來描述澆水的情況,探索步驟如下:(1)【建立模型】數(shù)據(jù)收集:如圖2,選取合適的原點(diǎn)O,建立直角坐標(biāo)系,使得灑水車的噴水口H點(diǎn)在y軸上,根據(jù)現(xiàn)場測量結(jié)果,噴水口H離地豎直高度為OH=1.5m.把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其中D,E點(diǎn)在x軸上,測得其水平寬度DE=3m,豎直高度EF=0.5m①查閱資料:發(fā)現(xiàn)可以把灑水車噴出的水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象,分別為y1,y2.上邊緣拋物線y1的最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m,高出噴水口0.5m②下邊緣拋物線y2可以看作由上邊緣拋物線y1向左平移得到,其開口方向與大小不變.請求出下邊緣拋物線y2與x(2)【問題解決】要使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶,利用上述信息求OD的取值范圍.(3)【拓展應(yīng)用】半年之后,由于植物生長與修剪標(biāo)準(zhǔn)的變化,綠化帶的豎直高度EF變成了1m,噴水口也應(yīng)適當(dāng)升高,才能使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶,已知y1與y2的開口方向與大小不變,請直接寫出OH的最小值:【思路點(diǎn)撥】(1)①用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,令0=?18x?2②根據(jù)平移的特點(diǎn)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可;(2)根據(jù)點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5,得出?18x?22+2=0.5(3)設(shè)點(diǎn)Dm,?18m+22+?+0.5,【解題過程】(1)解:①由題意得:A2,2∵A2設(shè)y1又∵拋物線過點(diǎn)H0∴1.5=4a+2,∴a=?1∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y1令y1=0,則解得x=6或x=?2(舍去),∴灑水車噴出水的最大射程OC為6m②∵y1對稱軸為直線x=2∴點(diǎn)0,1.5的對稱點(diǎn)為∵平移后y2仍過點(diǎn)0∴y2是由y1向左平移4m∵C6,0,點(diǎn)B是由點(diǎn)C∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,(2)解:∵EF=0.5,∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5,∴?1解得x=2+23或x=2?2∴x=2+23當(dāng)x>2時,y隨x的增大而減小,∴當(dāng)2≤x≤6時,要使y≥0.5,則x≤2+23∵當(dāng)0≤x≤2時,y隨x的增大而增大,且x=0時,y=1.5>0.5,∴當(dāng)0≤x≤6時,要使y≥0.5,則0≤x≤2+23∵DE=3,灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶,∴OD的最大值為2+23∵下邊緣拋物線,噴出的水能灌溉到綠化帶底部的條件是OD≥2,∴OD的取值范圍為2≤OD≤23(3)解:設(shè)OH=?,由(1)②可知y2當(dāng)噴水口高度最低,且恰好能澆灌到整個綠化帶時,點(diǎn)D、F恰好分別在兩條拋物線上,設(shè)點(diǎn)Dm,?18則有?1解得m=2.5,∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為??65∵??65∴h的最小值為6532故答案為:653217.(2024·浙江杭州·模擬預(yù)測)設(shè)計(jì)噴水方案素材1圖1為某公園的圓形噴水池,圖2是其示意圖,O為水池中心,噴頭A、B之間的距離為20米,噴射水柱呈拋物線形,水柱距水池中心7m處達(dá)到最高,高度為5m,水池中心處有一個圓柱形蓄水池,其底面直徑CD為12m,高CF
素材2如圖3、圖4,擬將在圓柱形蓄水池中心處建一能伸縮高度的噴水裝置OPOP⊥CD,要求水柱不能碰到圖2中的水柱,也不能落在蓄水池外面.經(jīng)調(diào)研,目前市場有兩種噴水頭均能噴射與圖2中形狀相同的拋物線.其中,甲噴水頭以點(diǎn)P為最高點(diǎn)向四周噴射水柱(如圖3),乙噴水頭噴射水柱的最高點(diǎn)與點(diǎn)P的高度差為0.8
問題解決任務(wù)1確定水柱形狀在圖2中以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),水平方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系,求左邊這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.任務(wù)2選擇噴水裝置甲,確定噴水裝置的最高高度若選擇甲裝置(圖3),為防止水花濺出,當(dāng)落水點(diǎn)G、M之間的距離滿足GM=27FM時,OP任務(wù)3選擇噴水裝置乙,擬定噴水裝置的高度范圍若選擇乙裝置(圖4),為了美觀,要求OP噴出的水柱高度不低于5m,求噴水裝置OP【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,任務(wù)1:以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系,設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式,再將?10,0代入即可得到結(jié)論;任務(wù)2:令(1)拋物線y=1.8,得x=?4.6,求出FM=1.4,再依據(jù)GM:FM=2:7即可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)為?4.2,1.8,設(shè)圖3中拋物線解析式為y=?5任務(wù)3;設(shè)P0,m,根據(jù)題意得從點(diǎn)噴射的拋物線水柱頂點(diǎn)坐標(biāo)為k,m+0.8,由于拋物線形狀相同,可得拋物線表達(dá)式為y=?59x?k2+m+0.8,把【解題過程】解:任務(wù)1:以O(shè)為原點(diǎn),AB
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