北師大版2024-2025學年九年級數學上冊專題6.1反比例函數的圖象【十大題型】專題特訓（學生版+教師版）

專題6.1反比例函數的圖象【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1用反比例函數描述數量關系】 1【題型2反比例函數的概念】 2【題型3反比例函數圖象上點的坐標特征】 2【題型4判斷反比例函數圖象】 3【題型5由反比例函數圖象的對稱性求值】 4【題型6由反比例函數的圖象求比例系數】 6【題型7由比例系數求圖形的面積】 7【題型8由圖形的面積求比例系數】 9【題型9反比例函數圖象中的規(guī)律探究】 10【題型10反比例函數圖象中的存在性問題】 12知識點1：反比例函數的定義一般的，形如的函數，叫做反比例函數。其中是自變量，是函數。自變量的取值范圍是不等于0的一切實數?！绢}型1用反比例函數描述數量關系】【例1】（23-24八年級·山東煙臺·期末）下列問題中兩個變量之間的關系不是反比例函數的是（

）A．某人參加800m賽跑時，時間t與跑步平均速度vB．長方形的面積一定，它的兩條鄰邊的長y與x之間的關系C．壓強公式p=FS中，F一定時，壓強p與受力面積D．三角形的一條邊長一定時，它的面積與這條邊上的高之間的關系【變式1-1】（23-24八年級·河北保定·期末）建設中的G107馬頭南至冀豫界段是我省“十四五”建設項目，其某段施工需運送土石方104m3，則土石方日運送量Vm3A．反比例函數關系 B．正比例函數關系 C．一次函數關系 D．二次函數關系【變式1-2】（23-24八年級·河南洛陽·期中）如果三角形底邊是a，底邊上的高是h，則三角形面積S=12a?A．當a為定長時，S是h的一次函數 B．當h為定長時，S是a的一次函數C．當S確定時，a是h的一次函數 D．當S確定時，h是a的反比例函數【變式1-3】（23-24八年級·安徽宣城·期末）已知y=y1+y2，若y1與x?1成正比例，y2與x+1成反比例，當x=0(1)求y與x的函數關系式；(2)求當x=?2時，y的值．【題型2反比例函數的概念】【例2】（23-24八年級·江蘇揚州·階段練習）已知關于x的反比例函數y=(m?2)xm?1，則【變式2-1】（23-24八年級·江蘇淮安·階段練習）已知反比例函效y=k?1x，則k不可以取下列的哪個值（A．?1 B．0 C．1 D．2【變式2-2】（23-24八年級·全國·假期作業(yè)）下列函數中是反比例函數的是（

）A．y=x3 B．y=3x C．【變式2-3】（23-24·江蘇鹽城·模擬預測）（1）學校食堂用1200元購買大米，寫出所購買的大米質量ykg與單價x（元/kg）之間的函數表達式，y是x（2）水池中蓄水90m3，現用放水管xm3/h的速度排水，經過yh排空．寫出y與x【題型3反比例函數圖象上點的坐標特征】【例3】（23-24·河北石家莊·模擬預測）已知y是x的反比例函數，如表給出了x與y的一些值．x?224y3?3▲（1）反比例函數的比例系數是．（2）表中“▲”處的數為．【變式3-1】（23-24八年級·江蘇鹽城·期中）點A(m,2)在反比例函數y=4x的圖像上，則m的值為【變式3-2】（23-24·陜西咸陽·三模）已知點Ax1,y1，Bx2,y【變式3-3】（23-24八年級·江蘇揚州·期末）已知反比例函數y=kx的圖像經過點A2,?4，則知識點2：反比例函數的圖象與性質1、圖象：由兩條曲線組成（雙曲線）2、性質：函數圖象所在象限增減性三象限在同一象限內，隨的增大而減小四象限在同一象限內，隨的增大而增大越大，函數圖象越遠離坐標原點【題型4判斷反比例函數圖象】【例4】（23-24八年級·湖南岳陽·期末）如圖所示，該函數表達式可能是（

）A．y=3x2 B．y=3x C．【變式4-1】（23-24八年級·江蘇泰州·期末）當菱形的面積一定時，它的兩條對角線的長分別為x、y．選取5組數對x,y，在坐標系中進行描點，則正確的是（

）A． B．C． D．【變式4-2】（23-24八年級·河南南陽·階段練習）如圖是三個反比例函數y1=k1x，y2=k2x，y3【變式4-3】（23-24·云南·模擬預測）定義新運算：p⊕q=pq,(q>0)?pq,(q<0)例如：3⊕5=A． B．C． D．【題型5由反比例函數圖象的對稱性求值】【例5】（23-24八年級·全國·單元測試）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，若正方形的邊長是2，則圖中陰影部分的面積等于．

【變式5-1】（23-24·遼寧鞍山·一模）如圖，直線y=kxk>0與雙曲線y=4x交于A，B兩點，若A2，A．2,2 B．?2,?1 C．?2,?2 D．?1,?4【變式5-2】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，點A3a,?a是反比例函數y=kx的圖象與⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為【變式5-3】（23-24八年級·江蘇無錫·期末）如圖，過原點的直線交反比例函數y=ax圖象于P、Q點，過點Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數y=bxx>0的圖象于A、B點，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為；且當S【題型6由反比例函數的圖象求比例系數】【例6】（23-24八年級·浙江杭州·期末）在平面直角坐標系中，反比例函數y=kxk≠0的圖象如圖所示，則kA．1 B．2 C．3 D．4【變式6-1】（23-24八年級·江蘇揚州·期末）如圖，反比例函數y=kx的圖象經過平行四邊形ABCD的頂點C，D，若點A、點B、點C的坐標分別為3,0，0,4，【變式6-2】（23-24八年級·江蘇揚州·期末）如圖，反比例函數y=kx的圖象經過平行四邊形ABCD的頂點C，D，若點A、點B、點C的坐標分別為3,0，0,4，【變式6-3】（23-24八年級·廣西南寧·階段練習）如圖，點A的坐標是?2，0，點B的坐標是0，6，C為OB的中點，將△ABC繞點B逆時針旋轉90°后得到△A′B′C′知識點3：反比例函數比例系數k的幾何意義如圖，在反比例函數上任取一點，過這一點分別作軸，軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積【題型7由比例系數求圖形的面積】【例7】（23-24八年級·浙江臺州·期末）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A在y軸上，邊BC與x軸重合．反比例函數y=3x的圖象經過正六邊形的中心G，則正六邊形ABCDEF的面積等于【變式7-1】（23-24八年級·廣東揭陽·期末）如圖，A、B是反比例函數y=6x圖象上兩點，AC和BD都與坐標軸垂直，垂足分別為C，D，OD=1，OC=2，A．4 B．6 C．8 D．10【變式7-2】（23-24八年級·湖南邵陽·期末）如圖，直線y=?x與反比例函數y=?6x的圖象相交于A、B兩點，過A、B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C、D，連接AD,BC，則四邊形A．4 B．8 C．12 D．24【變式7-3】（23-24八年級·浙江寧波·期末）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數y=4x在第一象限的圖象經過點B，則△OAC與【題型8由圖形的面積求比例系數】【例8】（23-24八年級·浙江寧波·期末）如圖，點D是?ABCD內一點，CD//x軸，BD//y軸，BD=2，∠ADB=135°，S△ABD=2，若反比例函數y=kx【變式8-1】（23-24八年級·山東威海·期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、C分別在x軸、y軸上，點B在函數y1=?8x的圖象上，邊AB與函數y2=kx的圖象交于點D，已知陰影部分A．2 B．?4 C．4 D．?2【變式8-2】（23-24八年級·遼寧·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，D分別在x軸，y軸上，對角線BD∥x軸，反比例函數y=kxk>0，x>0的圖象經過矩形對角線的交點E，若點A1,0，【變式8-3】（23-24八年級·浙江金華·期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是菱形，BC∥x軸．AD與y軸交于點E，反比例函數y＝kx（x＞0）的圖象經過頂點C、D．已知點C的橫坐標為5，BE＝2DE，則k的值為【題型9反比例函數圖象中的規(guī)律探究】【例9】（23-24·河北張家口·二模）如圖，平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OAP1B的頂點A、B分別在x軸、y軸上，點P1在反比例函數y=kx(x>0)的圖象上，過P1A的中點B1作矩形B1AA1P

A．(218,1218) B．【變式9-1】（23-24·湖北武漢·模擬預測）某杠桿裝置如圖，桿的一端吊起一桶水，阻力臂保持不變，在使杠桿平衡的情況下，小康通過改變動力臂L，測量出相應的動力F數據如下表：(動力×動力臂=阻力×阻力臂)動力臂(L/…0.51.01.52.02.5…動力(F/…600302200a120…請根據表中數據規(guī)律探求，當動力臂L長度為2.0m時，所需動力最接近的是(

A．300N B．180N C．150N D．120N【變式9-2】（23-24·遼寧·一模）如圖，點B11,33在直線l2:y=33x上，過點B1作A1B1⊥l1交直線l:y=3x于點A1，以A1B1為邊在△OA1B1外側作等邊三角形A1B1C1，過

【變式9-3】（23-24八年級·湖南·階段練習）如圖，在反比例函數y=4x的圖象上有A2,m、B兩點，連接AB，過這兩點分別作x軸的垂線交x軸于點C、D，已知BD=12AC，點F1是CD的中點，連接AF1、BF1，得到△AF1B【題型10反比例函數圖象中的存在性問題】【例10】（23-24八年級·河南周口·期末）如圖，四邊形OABC是面積為4的正方形，函數y=kx(x>0)(1)k的值為______．(2)將正方形OABC分別沿直線AB，BC翻折，得到正方形MABC′，正方形NA′BC．設線段MC′，NA′分別與函數y=kx①求△OEF的面積；②在x軸上是否存在點P，使△PEF為直角三角形，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式10-1】（23-24八年級·浙江·專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，BA=3，BC=5，有一反比例函數圖象剛好過點B．(1)分別求出過點B的反比例函數和過A，C兩點的一次函數的表達式．(2)動點P在射線CA（不包括C點）上，過點P作直線l⊥x軸，交反比例函數圖象于點D．是否存在這樣的點Q，使得以點B，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【變式10-2】（23-24·四川成都·一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=x+2與反比例函數y=kx的圖像交于A、B兩點，其中點A的坐標為(1)求反比例函數y=kx的函數表達式和點(2)若A′是A點關于原點的對稱點，連接AA′(3)連接OA，將線段OA繞點O順時針旋轉45°交反比例函數y=kx的圖像于點C，D是x軸上一點，是否存在這樣的點D，使得以O、C、D為頂點，OC為腰的等腰三角形？若存在，請寫點【變式10-3】（23-24八年級·浙江溫州·階段練習）如圖1，在平面直角坐標系中，在平面直角坐標系中，反比例函數y=kx（k>0,k為常數，x>0）的圖象經過矩形OABC的頂點B4,2，頂點A,C分別在x軸，y軸的正半軸上，點D為線段AC上的一個動點，點E在直線AO(1)求反比例函數表達式．(2)如圖1，若點D為對角線AC的中點時，且四邊形BDEF是平行四邊形，求DE長．(3)在坐標平面內，是否存在P點，使得四邊形BDPF為正方形，若存在，請求出點F的坐標，若不存在，請說明理由．

專題6.1反比例函數的圖象【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1用反比例函數描述數量關系】 1【題型2反比例函數的概念】 3【題型3反比例函數圖象上點的坐標特征】 5【題型4判斷反比例函數圖象】 7【題型5由反比例函數圖象的對稱性求值】 10【題型6由反比例函數的圖象求比例系數】 14【題型7由比例系數求圖形的面積】 18【題型8由圖形的面積求比例系數】 22【題型9反比例函數圖象中的規(guī)律探究】 27【題型10反比例函數圖象中的存在性問題】 32知識點1：反比例函數的定義一般的，形如的函數，叫做反比例函數。其中是自變量，是函數。自變量的取值范圍是不等于0的一切實數。【題型1用反比例函數描述數量關系】【例1】（23-24八年級山東煙臺·期末）下列問題中兩個變量之間的關系不是反比例函數的是（

）A．某人參加800m賽跑時，時間t與跑步平均速度vB．長方形的面積一定，它的兩條鄰邊的長y與x之間的關系C．壓強公式p=FS中，F一定時，壓強p與受力面積D．三角形的一條邊長一定時，它的面積與這條邊上的高之間的關系【答案】D【分析】本題主要考查了反比例函數的定義，對于兩個變量，若它們的乘積一定，則這兩個變量是反比例函數關系，據此可得答案．【詳解】解：A、由題意得，vt=800，則時間t與跑步平均速度v之間的關系是反比例函數，不符合題意；B、由題意得，xy=S長方形面積，則長方形的面積一定，它的兩條鄰邊的長y與C、由題意得，pS=F，則F一定時，壓強p與受力面積S之間的關是反比例函數，不符合題意；D、由題意得，S三角形=12l??（l故選：D【變式1-1】（23-24八年級·河北保定·期末）建設中的G107馬頭南至冀豫界段是我省“十四五”建設項目，其某段施工需運送土石方104m3，則土石方日運送量Vm3A．反比例函數關系 B．正比例函數關系 C．一次函數關系 D．二次函數關系【答案】A【分析】根據題意，列出函數關系式，進行作答即可．本題考查反比例函數的實際應用．讀懂題意，正確的列出函數關系式，是解題的關鍵．【詳解】解：由題意，得：V=10∴V與t滿足反比例函數關系．故選：A．【變式1-2】（23-24八年級·河南洛陽·期中）如果三角形底邊是a，底邊上的高是h，則三角形面積S=12a?A．當a為定長時，S是h的一次函數 B．當h為定長時，S是a的一次函數C．當S確定時，a是h的一次函數 D．當S確定時，h是a的反比例函數【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數和反比例函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握一次函數的定義：一般地，形如y=kx+b（k、b為常數，k≠0），那么y叫做x的一次函數；反比例函數定義：一般地，形如y=kx(k為常數，【詳解】解：三角形底邊是a，底邊上的高是h，則三角形面積S=1A．當a為定長時，S是h的一次函數，正確，不符合題意；B．當h為定長時，S是a的一次函數，正確，不符合題意；C．當S確定時，a是h的反比例函數，原說法錯誤，符合題意；D．當S確定時，h是a的反比例函數，正確，不符合題意．故選：C．【變式1-3】（23-24八年級·安徽宣城·期末）已知y=y1+y2，若y1與x?1成正比例，y2與x+1成反比例，當x=0(1)求y與x的函數關系式；(2)求當x=?2時，y的值．【答案】(1)y=2(2)y【分析】本題考查的是正比例與反比例的含義，利用待定系數法求解函數解析式，掌握待定系數法是解本題的關鍵；（1）由題意可設設y1=k（2）把x=?2代入（1）中所求函數解析式即可得到答案．【詳解】（1）解：設y1=k則y=∵當x=0時，y=?5；當x=2時，y=1．∴?解得：k∴y=2（2）當x=?2時，y=2×?3【題型2反比例函數的概念】【例2】（23-24八年級·江蘇揚州·階段練習）已知關于x的反比例函數y=(m?2)xm?1，則【答案】0【分析】此題考查了反比例函數，形如y=kxk≠0的函數是反比例函數，根據反比例函數的定義得到m?2≠0，m【詳解】解：∵y=(m?2)x∴m?2≠0，m?1=?1∴m=0，故答案為：0【變式2-1】（23-24八年級·江蘇淮安·階段練習）已知反比例函效y=k?1x，則k不可以取下列的哪個值（A．?1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】本題考查了反比例函數的定義，根據反比例函數定義即可求解．【詳解】解：∵y=k?1∴k?1≠0，即k≠1，故選：C．【變式2-2】（23-24八年級·全國·假期作業(yè)）下列函數中是反比例函數的是（

）A．y=x3 B．y=3x C．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數的定義和方程式的變形，反比例函數解析式的一般形式y(tǒng)=kx(k≠0)，也可轉化為y=kx?1(k≠0)的形式，特別注意不要忽略【詳解】解：A、y=xB、y=3C、y=x?3是一次函數，不是反比例函數，故C不合題意；D、y=?3故選：B．【變式2-3】（23-24·江蘇鹽城·模擬預測）（1）學校食堂用1200元購買大米，寫出所購買的大米質量ykg與單價x（元/kg）之間的函數表達式，y是x（2）水池中蓄水90m3，現用放水管xm3/h的速度排水，經過yh排空．寫出y與x【答案】（1）y=1200x，y是x的反比例函數；（2）y=90x，【分析】本題主要考查了列函數關系式，反比例函數的定義，一般地，形如y=kxk≠0（1）根據題意結合“質量×單價=總價”列出函數關系式，然后利用反比例函數的定義判斷即可；（2）根據“放水時間×放水速度=蓄水量”列出函數關系式，然后利用反比例函數的定義判斷即可．【詳解】解：（1）由題意得：xy=1200，∴y=1200∴y是x的反比例函數；（2）由題意，得y=90∴y是x的反比例函數．【題型3反比例函數圖象上點的坐標特征】【例3】（23-24·河北石家莊·模擬預測）已知y是x的反比例函數，如表給出了x與y的一些值．x?224y3?3▲（1）反比例函數的比例系數是．（2）表中“▲”處的數為．【答案】?6?【分析】本題考查了待定系數法求反比例函數關系式及反比例函數圖像上的點與反比例函數解析式的對應關系，（1）設出反比例函數的解析式為：y=kx，把x=?2，y=3代入y=k（2）將x=4代入y=?6【詳解】設反比例函數解析式為y=將x=?2，y=3代入y=kx∴反比例函數的比例系數是?6；（2）∵k=?6∴y=?當x=4時，y=?6∴中“▲”處的數為?3故答案為：?6，?3【變式3-1】（23-24八年級·江蘇鹽城·期中）點A(m,2)在反比例函數y=4x的圖像上，則m的值為【答案】2【分析】本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數上的點的橫縱坐標符合函數的解析式．將點A(m,2)代入反比例函數y=4x，即可求出【詳解】解：把A(m,2)代入y=4x得：解得m=2，故答案為：2．【變式3-2】（23-24·陜西咸陽·三模）已知點Ax1,y1，Bx2,y【答案】?8【分析】本題主要考查反比例函數的圖象上點的特征，掌握反比例函數圖象上點的坐標之積等于k是解題的關鍵．因為A、B都在反比例函數的圖象上，可知x1y1=4，x2【詳解】解：∵點Ax1,y1∴x1y∴x且x1∴y故答案為：?8．【變式3-3】（23-24八年級·江蘇揚州·期末）已知反比例函數y=kx的圖像經過點A2,?4，則【答案】在【分析】本題考查反比例函數圖像上點的坐標特征，根據反比例函數圖像上點的坐標滿足函數解析式求得k值，然后將點B坐標代入函數解析式中驗證即可．【詳解】解：∵反比例函數y=kx的圖像經過點∴k=2×?4∴反比例函數的解析式為y=?8當x=12時，y=?8故答案為：在．知識點2：反比例函數的圖象與性質1、圖象：由兩條曲線組成（雙曲線）2、性質：函數圖象所在象限增減性三象限在同一象限內，隨的增大而減小四象限在同一象限內，隨的增大而增大越大，函數圖象越遠離坐標原點【題型3由反比例函數解析式判斷其性質】【題型4判斷反比例函數圖象】【例4】（23-24八年級·湖南岳陽·期末）如圖所示，該函數表達式可能是（

）A．y=3x2 B．y=3x C．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數的圖象．熟練掌握反比例函數的圖象是解題的關鍵，由圖象可知，反比例函數k<0，然后對各選項進行判斷作答即可．【詳解】解：由圖象可知，反比例函數k<0，A中y=3xB中y=3C中y=?3D中y=3x不是反比例函數，故不符合要求；故選：C．【變式4-1】（23-24八年級·江蘇泰州·期末）當菱形的面積一定時，它的兩條對角線的長分別為x、y．選取5組數對x,y，在坐標系中進行描點，則正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數的圖象，先利用菱形的面積公式求出y與x的函數解析式，再根據x的取值范圍及函數的性質判斷即可求解，掌握反比例函數的圖象和性質是解題的關鍵．【詳解】解：設菱形的面積為k，則k=1∴y=2k∴y是x的反比例函數，∵x>0，2k>0，∴圖象分布在第一象限，y的值隨x的增大而減小，∴描點正確的是C，故選：C．【變式4-2】（23-24八年級·河南南陽·階段練習）如圖是三個反比例函數y1=k1x，y2=k2x，y3【答案】k1>【分析】本題考查了反比例函數的圖象及性質，從函數圖象中獲取正確信息是解題的關鍵；由圖象經過的象限可得k3<0,k1>0,【詳解】由題意得：k3當x=1時，y1∵y∴k∴故答案為：k1【變式4-3】（23-24·云南·模擬預測）定義新運算：p⊕q=pq,(q>0)?pq,(q<0)例如：3⊕5=A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了函數圖象，根據新定義運算，寫出函數解析式，再根據函數解析式即可判斷求解，掌握反比例函數的圖象是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，y=2⊕x=2即y為反比例函數，當x>0時，圖象在第一象限；當x<0時，圖象在第二象限；故選：D．【題型5由反比例函數圖象的對稱性求值】【例5】（23-24八年級·全國·單元測試）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，若正方形的邊長是2，則圖中陰影部分的面積等于．

【答案】1【分析】設反比例函數解析式y(tǒng)=kx，由題意可得：P點坐標為：【詳解】解：設反比例函數解析式y(tǒng)=k由題意可得：P點坐標為：(1,1)，故圖中陰影部分的面積為：1×1=1．故答案為：1．

【點睛】本題考查了反比例函數的性質，k的幾何意義，中心對稱的性質，熟練掌握反比例函數圖象的性質是解題的關鍵．【變式5-1】（23-24·遼寧鞍山·一模）如圖，直線y=kxk>0與雙曲線y=4x交于A，B兩點，若A2，A．2,2 B．?2,?1 C．?2,?2 D．?1,?4【答案】C【分析】根據反比例函數的對稱性進行求解即可．【詳解】解：∵直線y=kxk>0與雙曲線y=4x交于A∴點A和點B關于原點對稱，把A2，m代入到y(tǒng)=∴A2∴B?2故選C．【點睛】本題主要考查了反比例函數的對稱性，反比例函數與一次函數的交點問題，正確得到點A和點B關于原點對稱是解題的關鍵．【變式5-2】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，點A3a,?a是反比例函數y=kx的圖象與⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為【答案】y=?【分析】首先根據圓的對稱性以及反比例函數的對稱性可得：14πr【詳解】解：設圓的半徑是r，根據圓的對稱性以及反比例函數的對稱性可得：14解得：r=4．∵點A3a,?a是反比例函y=k∴?3a2∴a∴k=?3則反比例函數的解析式是：y=?4故答案為：y=?4【點睛】本題考查了反比例函數圖象的性質，勾股定理，求反比例函數的解析式，熟練掌握和運用反比例函數圖象的性質是解決本題的關鍵．【變式5-3】（23-24八年級·江蘇無錫·期末）如圖，過原點的直線交反比例函數y=ax圖象于P、Q點，過點Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數y=bxx>0的圖象于A、B點，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為；且當S【答案】69【分析】連接OA，OB，延長BP交x軸于點C，易求S△BOP由P，Q關于與原點成中心對稱，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面積相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S【詳解】連接PQ，OA，OB，延長BP交x軸于點C，設點C對應的數為m，m＞0.則P（m，am），B（m，b∴OC=m，PC=am，BC=∴S△POC=∴S∵P、Q關于原點成中心對稱，∴OP=OQ∴S∴S同理可得：S所以S設點C（m，0）m＞0．則P（m，am），A（m，bm），B（bma∴AP＝bm∵S△APB＝3，∴1∴a＝32∵b?a＝3，∴b＝92故答案為：6，92【點睛】本題主要考查了反比例函數系數k的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標的特征，關于原點對稱的點的坐標的性質，三角形的面積．利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．【題型6由反比例函數的圖象求比例系數】【例6】（23-24八年級·浙江杭州·期末）在平面直角坐標系中，反比例函數y=kxk≠0的圖象如圖所示，則kA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了反比例函數的圖象，解題的關鍵是掌握反比例函數圖象離坐標軸越遠，k的絕對值越大．根據點A和點C的坐標，得出k的取值范圍，即可解答．【詳解】解：∵該反比例函數位于第一象限的圖象低于點A2,2∴k<2×2=4，∵該反比例函數位于第三象限的圖象低于點B?1,?2∴k>?1×?2∴2<k<4，∴k的值可能是3，故選：C．【變式6-1】（23-24八年級·江蘇揚州·期末）如圖，反比例函數y=kx的圖象經過平行四邊形ABCD的頂點C，D，若點A、點B、點C的坐標分別為3,0，0,4，【答案】9【分析】本題考查了反比例函數與幾何綜合，平行四邊形的性質，反比例函數解析式等知識．熟練掌握反比例函數與幾何綜合，平行四邊形的性質，反比例函數解析式是解題的關鍵．設Dm，n，如圖，連接AC、BD交于點E，則E3+a2，0+62，E0+m2，4+n2，即3+a2=0+m2，0+6【詳解】解：設Dm如圖，連接AC、BD交于點E，∴E3+a2，∴3+a2=0+m解得，m=3+a，n=2，∴D3+a∵反比例函數y=kx的圖象經過平行四邊形ABCD的頂點Ca∴k=6a=23+a解得，a=32，故答案為：9．【變式6-2】（23-24八年級·江蘇揚州·期末）如圖，反比例函數y=kx的圖象經過平行四邊形ABCD的頂點C，D，若點A、點B、點C的坐標分別為3,0，0,4，【答案】9【分析】本題考查了反比例函數與幾何綜合，平行四邊形的性質，反比例函數解析式等知識．熟練掌握反比例函數與幾何綜合，平行四邊形的性質，反比例函數解析式是解題的關鍵．設Dm，n，如圖，連接AC、BD交于點E，則E3+a2，0+62，E0+m2，4+n2，即3+a2=0+m2，0+6【詳解】解：設Dm如圖，連接AC、BD交于點E，∴E3+a2，∴3+a2=0+m解得，m=3+a，n=2，∴D3+a∵反比例函數y=kx的圖象經過平行四邊形ABCD的頂點Ca∴k=6a=23+a解得，a=32，故答案為：9．【變式6-3】（23-24八年級·廣西南寧·階段練習）如圖，點A的坐標是?2，0，點B的坐標是0，6，C為OB的中點，將△ABC繞點B逆時針旋轉90°后得到△A′B′C′【答案】15【分析】本題考查反比例函數圖形上的點的坐標特征、坐標與圖形的變化旋轉等知識點，學會添加常用輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．如圖：作A′H⊥y軸于H,證明△AOB≌△BHA′AAS，推出OA=BH【詳解】解：作A′H⊥y軸于∵∠AOB=∠A∴∠ABO+∠A∴∠BAO=∠A∵BA=BA∴△AOB≌△BHA∴OA=BH，∵點A的坐標是?2，0，點B的坐標是∴OA=2，∴BH=OA=2，∴OH=4，∴A′∵BD=A∴D3∵反比例函數y=kx的圖像經過點∴k=15．故答案為：15．知識點3：反比例函數比例系數k的幾何意義如圖，在反比例函數上任取一點，過這一點分別作軸，軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積【題型7由比例系數求圖形的面積】【例7】（23-24八年級·浙江臺州·期末）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A在y軸上，邊BC與x軸重合．反比例函數y=3x的圖象經過正六邊形的中心G，則正六邊形ABCDEF的面積等于【答案】9【分析】此題主要考查了正多邊形與反比例函數的應用，正確得出G點坐標是解題關鍵．設正六邊形ABCDEF的邊長為a，連接AG，BG，CG，過點G作GH⊥BC于點H，根據正六邊形的性質得到GH=32a，進而得到點G的坐標為a,32a，將點G的坐標代入【詳解】解：設正六邊形ABCDEF的邊長為a．如圖，連接AG，BG，CG，過點G作GH⊥BC于點H，則AG=BG=CG=BC=a，BH=1∴GH=3∴點G的坐標為a,3∵y=3x的圖象經過點∴將點G的坐標代入，得32解得a2∴S【變式7-1】（23-24八年級·廣東揭陽·期末）如圖，A、B是反比例函數y=6x圖象上兩點，AC和BD都與坐標軸垂直，垂足分別為C，D，OD=1，OC=2，A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】本題考查了反比例函數的k的幾何意義、反比例函數的性質，求出B6，1，A2，3，得到AC=3，BE=1，CE=4，由A、B是反比例函數y=6【詳解】解：如圖，連接OA、OB，作BE⊥x軸于E，，∵OD=1，OC=2，A、B是反比例函數∴B61，1，A2∴AC=3，BE=1，CE=4，∵A、B是反比例函數y=6∴S∴S故選：D．【變式7-2】（23-24八年級·湖南邵陽·期末）如圖，直線y=?x與反比例函數y=?6x的圖象相交于A、B兩點，過A、B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C、D，連接AD,BC，則四邊形A．4 B．8 C．12 D．24【答案】C【分析】首先根據反比例函數圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S=12∣k∣，得出S△AOC=【詳解】解：∵過A，B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C，D，∴S△AOC又∵OC=OD,AC=BD，∴S△AOC∴四邊形ACBD的面積為：S△AOC故選：C．【點睛】本題主要考查了反比例函數y=kx中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為k；圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即【變式7-3】（23-24八年級·浙江寧波·期末）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數y=4x在第一象限的圖象經過點B，則△OAC與【答案】2【分析】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，等腰三角形的性質，面積公式，平方差公式，根據△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC=AC、AD=BD，設OC=a，BD=b，則點B的坐標為a+b,a?b，根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出a2?b2=4【詳解】∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OC=AC，AD=BD，設OC=a，BD=b，則點B的坐標為a+b,a?b，∵反比例函數y=4x在第一象限的圖象經過點∴a+ba?b∴S△OAC故答案為：2．【題型8由圖形的面積求比例系數】【例8】（23-24八年級·浙江寧波·期末）如圖，點D是?ABCD內一點，CD//x軸，BD//y軸，BD=2，∠ADB=135°，S△ABD=2，若反比例函數y=kx【答案】?6【分析】根據三角形面積公式求得AE=22，易證得△AOM≌△CBDAAS，得出MO=BD=2，根據題意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝22，設A（m，2），則有D【詳解】解：作AM⊥y軸于M，延長BD，交AM于E，設BC與y軸的交點為N，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA//BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD//∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD與x軸平行，BD與y軸平行，∴∠CDB=90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD＝2∵S∴AE＝22∵∠ADB＝135°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝22∴D的縱坐標為32設A（m∵反比例函數y=kx(x<0)的圖像經過Ak=解得：m=?32∴k＝2故答案為：?6．【點睛】本題考查了反比例函數圖像上點的坐標特征，平行四邊形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，三角形的面積等，表示出A、D的坐標是解題的關鍵．【變式8-1】（23-24八年級·山東威?！て谀┤鐖D所示，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、C分別在x軸、y軸上，點B在函數y1=?8x的圖象上，邊AB與函數y2=kx的圖象交于點D，已知陰影部分A．2 B．?4 C．4 D．?2【答案】B【分析】本題考查了反比例函數k的幾何意義，根據反比例函數k的幾何意義分別求出矩形AOCB和△AOD的面積，根據陰影部分的面積為6，可得關于k的一元一次方程，解方程后結合反比例函數的性質即可求解，掌握是解題的關鍵．【詳解】解：∵點B在函數y1∴S矩形∵點D在函數y2∴S△AOD∵陰影部分ODBC的面積為6，∴8?1∴k=4∴k=±4，∵函數y2∴k<0，∴k=?4，故選：B．【變式8-2】（23-24八年級·遼寧·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，D分別在x軸，y軸上，對角線BD∥x軸，反比例函數y=kxk>0，x>0的圖象經過矩形對角線的交點E，若點A1,0，【答案】5【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，反比例函數圖象上點的坐標特征，線段中點坐標公式等知識，求出E點坐標是解題的關鍵．根據平行于x軸的直線上任意兩點縱坐標相同，可設B(x,2)．利用矩形的性質得出E為BD中點，∠DAB=90°．根據線段中點坐標公式得出E12x,2．由勾股定理得出AD2+AB2=B【詳解】解：∵BD∥x軸，D(0,2)，∴B、D兩點縱坐標相同，都為2，∴可設B(x,2)．∵矩形ABCD的對角線的交點為E，∴E為BD中點，∠DAB=90°．∴E1∵∠DAB=90°，∴AD∵A(1,0)，D(0,2)，B(x,4)，∴1解得x=5，∴E5∵反比例函數y=kx(k>0,x>0)∴k=5故答案為：5．【變式8-3】（23-24八年級·浙江金華·期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是菱形，BC∥x軸．AD與y軸交于點E，反比例函數y＝kx（x＞0）的圖象經過頂點C、D．已知點C的橫坐標為5，BE＝2DE，則k的值為【答案】403/【分析】由已知可得菱形邊長為5，設出點D坐標，即可用勾股定理構造方程，進而求出k值．【詳解】解：過點D作DF⊥BC于F，由已知，BC＝5，∵四邊形ABCD是菱形，∴DC＝5，∵BE＝2DE，∴設DE＝x，則BE＝2x，∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（2x）2+（5﹣x）2＝52，解得x1＝2，x2＝0（舍去），∴DE＝2，FD＝4，設OB＝a，則點D坐標為（2，a+4），點C坐標為（5，a），∵點D、C在雙曲線上，∴k＝2×（a+4）＝5a，∴a＝83∴k＝5×83＝40故答案為：403【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，菱形的性質，勾股定理，求出DE的長度是本題的關鍵．【題型9反比例函數圖象中的規(guī)律探究】【例9】（23-24·河北張家口·二模）如圖，平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OAP1B的頂點A、B分別在x軸、y軸上，點P1在反比例函數y=kx(x>0)的圖象上，過P1A的中點B1作矩形B1AA1P

A．(218,1218) B．【答案】A【分析】先根據題意得出P1點的坐標，進而可得出反比例函數的解析式，再依次求出點P2，P3的坐標，找出規(guī)律即可得出結論．【詳解】解：∵正方形OAP1B的邊長為1，點P1在反比例函數y=kx∴P1（1，1），∴k=1，∴在反比例函數的解析式為：y=1x∵B1是P1A的中點，∴P2A1=AB1=12∴OA1=2，∴P2（2，12同理，P3（22，12…∴Pn（2n-1，12當n=19時，則有P19的坐標為：（218，故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，矩形的性質，找出規(guī)律是解題的關鍵．【變式9-1】（23-24·湖北武漢·模擬預測）某杠桿裝置如圖，桿的一端吊起一桶水，阻力臂保持不變，在使杠桿平衡的情況下，小康通過改變動力臂L，測量出相應的動力F數據如下表：(動力×動力臂=阻力×阻力臂)動力臂(L/…0.51.01.52.02.5…動力(F/…600302200a120…請根據表中數據規(guī)律探求，當動力臂L長度為2.0m時，所需動力最接近的是(

A．300N B．180N C．150N D．120N【答案】C【分析】本題考查了反比例函數的應用，由表格可知動力臂與動力成反比的關系，設L=KF，將0.5,600代入L=KF得出【詳解】解：由表格可知動力臂與動力成反比的關系，設L=K將0.5,600代入L=KF得：解得：K=300，∴L=300把L=2代入得：2=300解得：F=150，故選：C．【變式9-2】（23-24·遼寧·一模）如圖，點B11,33在直線l2:y=33x上，過點B1作A1B1⊥l1交直線l:y=3x于點A1，以A1B1為邊在△OA1B1外側作等邊三角形A1B1C1，過

【答案】233【詳解】解：直線l2直線l1∴l(xiāng)1與l∵A1∴∠OB∵等邊三角形A1∴B1∵B1∴OB∴B1∴C∴k1∴OB∴A∴B2的橫坐標B2的縱坐標3∴C2∴k2以此得到OBn=(Cn的縱坐標(∴kn

故答案為2【點睛】本題考查一次函數與反比例函數圖象及性質，平面內點的坐標特點；能夠通過直角三角形中30°的特點，求出邊的關系是解題的關鍵．【變式9-3】（23-24八年級·湖南·階段練習）如圖，在反比例函數y=4x的圖象上有A2,m、B兩點，連接AB，過這兩點分別作x軸的垂線交x軸于點C、D，已知BD=12AC，點F1是CD的中點，連接AF1、BF1，得到△AF1B【答案】2【分析】本題主要考查了反比例函數與幾何綜合，圖形類的規(guī)律探索，先求出A2,2，得到AC=2，OC=2，BD=1，進而求出B4，1，得到OD=4，則CD=2，根據梯形面積公式求出S四邊形ACDB=3，再分別求出S△ACF1=1【詳解】解：∵A2,m在反比例函數y=∴m=4∴A2,2∵AC⊥x軸，∴AC=2，OC=2∴BD=1∵BD⊥x軸，∴點B的縱坐標為1，在y=4x中，當y=4∴B4∴OD=4，∴CD=2，∴S四邊形∵點F1是CD∴CF∴S△AC∵點F2是D∴DF∴CF∴S△AC∵F3為C∴DF∴CF∴S△AC……，以此類推可知，S△ACFn∴S△A故答案為：2n【題型10反比例函數圖象中的存在性問題】【例10】（23-24八年級·河南周口·期末）如圖，四邊形OABC是面積為4的正方形，函數y=kx(x>0)(1)k的值為______．(2)將正方形OABC分別沿直線AB，BC翻折，得到正方形MABC′，正方形NA′BC．設線段MC′，NA′分別與函數y=kx①求△OEF的面積；②在x軸上是否存在點P，使△PEF為直角三角形，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)4(2)①S△OEF=152；②存在，點P【分析】（1）根據坐標與圖形、正方形的性質得到點B坐標，然后代入y=k（2）①根據軸對稱性質和反比例函數圖象上點的坐標特征求得點E、F的坐標，再根據反比例函數比例系數k的幾何意義得到S△FOH=S②設Px,0，分三種情況：若∠PEF=90°、若∠EPF=90°、若∠PFE=90°【詳解】（1）解：∵四邊形OABC是面積為4的正方形，∴OA=AB=4，則B2,2將B2,2代入y=kx（2）解：①根據翻折性質，得ON=OM=4，∴點E的橫坐標為4，點F的縱坐標為4，∵點E、F在函數y=k∴當x=4時，y=1，當y=4，x=1，∴E4,1，F過F作FH⊥x軸于H，則S△FOH∴S△OEF②存在．設Px,0∴PEPFEF∵△PEF為直角三角形，∴分三種情況：若∠PEF=90°，則PE∴x2?8x+17+18=x∴P3,0若∠EPF=90°，則PE∴x2?8x+17+x∵x?5∴該方程無解，即P不存在；若∠PFE=90°，則EF∴18+x2?2x+17=∴P?3,0綜上，滿足條件的點P的坐標為(3,0)或(?3,0)．【點睛】本題考查反比例函數與幾何的綜合，涉及待定系數法求函數解析式、反比例函數比例系數k的幾何意義、坐標與圖形、正方形的性質、軸對稱的性質、勾股定理、解方程等知識，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．【變式10-1】（23-24八年級·浙江·專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，BA=3，BC=5，有一反比例函數圖象剛好過點B．(1)分別求出過點B的反比例函數和過A，C兩點的一次函數的表達式．(2)動點P在射線CA（不包括C點）上，過點P作直線l⊥x軸，交反比例函數圖象于點D．是否存在這樣的點Q，使得以點B，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=15x(2)5,?274或(5,?【分析】本題主要考查反比例函數的綜合題，熟練掌握待定系數法求解析式，一次函數的性質，反比例函數的性質，菱形的性質等知識是解題的關鍵．（1）根據題意分別求出A點，B點和C點的坐標，然后用待定系數法求出函數解析式即可；（2）根據函數解析式設出P點和D點的坐標，若以點B，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形則點Q在直線BA上，且PD=DB=BQ，據此等量關系列方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，A(5,0)，B(5,3)，C(0,3)，設過點B的反比例函數解析式為y=k代入B點坐標得，3=k解得k=15，∴過點B的反比例函數的解析式為y=15設直線AC的解析式為y=kx+b，代入A點和C點坐標得，5k+b=0b=3解得k=?3∴過A，C兩點的一次函數的表達式為y=?3（2）存在，設Pm,?35①若以點B，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形，則點Q在直線BA上，且PD=DB=BQ，∴15m整理得1625解得m=54或當m=54時，∴此時Q5,3?即Q5,?當m=3