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江蘇省揚(yáng)州市江大橋中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.空間直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)t點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B.C. D.2.若直線的一個(gè)方向向量為,直線的一個(gè)方向向量為,則直線與所成的角為()A30° B.45°C.60° D.90°3.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出S的值是()A.18 B.78C.6 D.504.已知雙曲線,過(guò)點(diǎn)作直線l,若l與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線條數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.45.已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,則()A.2 B.3C.4 D.56.若動(dòng)點(diǎn)滿足方程,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A. B.C. D.7.已知長(zhǎng)方體的底面ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形,長(zhǎng)方體的高為,則與對(duì)角面夾角的正弦值等于()A. B.C. D.8.等差數(shù)列中,,,則()A.1 B.2C.3 D.49.函數(shù)在定義域上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.10.下列直線中,與直線垂直的是()A. B.C. D.11.已知直線與平行,則a的值為()A.1 B.﹣2C. D.1或﹣212.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且圓心是兩直線與的交點(diǎn)的圓的方程為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)與是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù),若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則稱與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.若與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.14.兩條平行直線與的距離是__________15.已知直線與之間的距離為,則__________16.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,若,則______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知在四棱錐中,平面,四邊形為直角梯形,,,.(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值?若存在,指出點(diǎn)的位置;若不存在,說(shuō)明理由.18.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,,(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)若點(diǎn)在棱上,且平面,求線段的長(zhǎng)19.(12分)已知,,分別是銳角內(nèi)角,,對(duì)邊,,.(1)求的值;(2)若的面積為,求的值.20.(12分)已知向量,.(1)計(jì)算和;(2)求.21.(12分)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6,離心率是.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),判斷是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知,S2=-3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性可得答案.【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性可得關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,故選:D.2、C【解析】直接由公式,計(jì)算兩直線的方向向量的夾角,進(jìn)而得出直線與所成角的大小【詳解】因?yàn)?,,所以,所以,所以直線與所成角的大小為故選:C3、A【解析】根據(jù)框圖逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】第一次循環(huán)前,;第二次循環(huán)前,;第三次循環(huán)前,;第四次循環(huán)前,;第五次循環(huán)前,此時(shí)滿足條件,循環(huán)結(jié)束,輸出S的值是18故選:A4、D【解析】先確定雙曲線的右頂點(diǎn),再分垂直軸、與軸不垂直兩種情況討論,當(dāng)與軸不垂直時(shí),可設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元整理,再分、兩種情況討論,即可得解【詳解】解:根據(jù)雙曲線方程可知右頂點(diǎn)為,使與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)情況為:①當(dāng)垂直軸時(shí),此時(shí)過(guò)點(diǎn)的直線方程為,與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),②當(dāng)與軸不垂直時(shí),可設(shè)直線方程為聯(lián)立方程可得當(dāng)即時(shí),方程只有一個(gè)根,此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),當(dāng)時(shí),,整理可得即故選:D5、C【解析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組,得到關(guān)于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關(guān)系式,即可求得的值.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,令,不妨設(shè)則,解之得代入,可得整理得,即,也就是故選:C6、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程,從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得:到與的距離之和為8,且8>4,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程,故,,所以,,所以橢圓方程為.故選:A7、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長(zhǎng)為8的正方形,,∴,,,因?yàn)?且,所以平面,∴,平面的法向量,∴與對(duì)角面所成角的正弦值為故選:A.8、B【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】在等差數(shù)列中,因,,而,于是得,解得,所以.故選:B9、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求出【詳解】依題可知,在上恒成立,即在上恒成立,所以故選:A10、C【解析】,,若,則,項(xiàng),符合條件,故選11、A【解析】根據(jù)題意可得,解之即可得解.【詳解】解:因?yàn)橹本€與平行,所以,解得.故選:A.12、B【解析】求出圓心坐標(biāo)和半徑后,直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由得,即所求圓的圓心坐標(biāo)為.由該圓過(guò)點(diǎn),得其半徑為1,故圓的方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】令得,設(shè)函數(shù),則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令得,設(shè)函數(shù),則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),,令,可得,列表如下:極小值,,如圖所示:由圖可知,當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.14、5【解析】根據(jù)兩平行直線,可求得a值,根據(jù)兩平行線間距離公式,即可得答案.【詳解】因?yàn)閮善叫兄本€與,所以,解得,所以兩平行線的距離.故答案為:515、或##或【解析】利用平行直線間距離公式構(gòu)造方程求解即可.【詳解】方程可化為:,由平行直線間距離公式得:,解得:或.故答案為:或.16、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求得結(jié)果.【詳解】,,又,,.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)存在,為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】(1)分別以所在的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出的坐標(biāo)以及平面的一個(gè)法向量,計(jì)算即可求解;(2)假設(shè)線段上存在點(diǎn)符合題意,設(shè)可得,求出平面的法向量和平面的法向量,利用即可求出的值,即可求解.【詳解】(1)分別以所在的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則,,,.不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量,則有,即,取.設(shè)直線與平面所成的角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為;(2)假設(shè)線段上存在點(diǎn),使得二面角的余弦值.設(shè),則,從而,,.設(shè)平面的法向量,則有,即,取.設(shè)平面的法向量,則有,即,取.,解得:或(舍),故存在點(diǎn)滿足條件,為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【點(diǎn)睛】求空間角的常用方法:(1)定義法,由異面直線所成角、線面角、二面角的定義,結(jié)合圖形,作出所求空間角,再結(jié)合題中條件,解對(duì)應(yīng)三角形,即可求出結(jié)果;(2)向量法:建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,通過(guò)計(jì)算向量夾角(直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量,平面法向量與平面法向量)余弦值,即可求出結(jié)果.18、(Ⅰ)見解析.(Ⅱ).(Ⅲ).【解析】第一問(wèn)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直的結(jié)論,注意在書寫的時(shí)候條件不要丟就行;第二問(wèn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量所成角的余弦值來(lái)求得二面角的余弦值;第三問(wèn)利用向量共線的關(guān)系,得出向量的坐標(biāo),根據(jù)線面平行得出向量垂直,利用其數(shù)量積等于零,求得結(jié)果.(Ⅰ)證明:因?yàn)槠矫妗推矫?,且平面平面,因?yàn)椤停移矫嫠浴推矫嬉驗(yàn)槠矫?,所以?(Ⅱ)解:在△中,因?yàn)?,,,所以,所以?所以,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示所以,,,,,,.易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,令,則.設(shè)二面角的平面角為,可知為銳角,則,即二面角的余弦值為(Ⅲ)解:因?yàn)辄c(diǎn)在棱,所以,因?yàn)?,所以?又因?yàn)槠矫?,為平面的一個(gè)法向量,所以,即,所以所以,所以.19、(1);(2)4.【解析】(1)由正弦定理即可得答案.(2)根據(jù)題意得到,再由關(guān)于角的余弦定理和整理化簡(jiǎn)得,再由的面積,即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】由及正弦定理可得.小問(wèn)2詳解】由銳角中得,根據(jù)余弦定理可得,代入得,整理得,即,解得,,解得.20、(1),;(2).【解析】(1)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的坐標(biāo),利用向量的模長(zhǎng)公式可求得的值;(2)計(jì)算出,結(jié)合的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】(1),;(2),,因此,.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,同時(shí)也考查了利用空間向量的數(shù)量積計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2)存在,.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)即可代入計(jì)算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)出直線l的方程,與橢圓E的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理、向量數(shù)量積運(yùn)算,推理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意,,半焦距為c,則離心率,即,有,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為,由消去y并整理得:,設(shè),則,,,,,,要使為定值,必有,解得,此時(shí),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由對(duì)稱性不妨令,,,當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)的任意直線l與橢圓E交于
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