2025屆江蘇南京江浦高級中學高一數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題含解析

2025屆江蘇南京江浦高級中學高一數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．與-2022°終邊相同的最小正角是（）A.138° B.132°C.58° D.42°2．給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直其中，為真命題的是A①和② B.②和③C.③和④ D.②和④3．化簡：A.1 B.C. D.24．總體由編號為01，02，…，49，50的50個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第7行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第4個個體的編號為（）附：第6行至第8行的隨機數(shù)表274861987164414870862888851916207477011116302404297979919624512532114919730649167677873399746732263579003370A.11 B.24C.25 D.205．函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.6．在正方體中，異面直線與所成的角為（）A.30° B.45°C.60° D.90°7．已知是第三象限角，，則A. B.C. D.8．在中，若，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不含角的等腰三角形9．已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，若對于時，都有，且當時，，則等于（）A.1 B.-1C. D.10．祖暅原理也稱祖氏原理，一個涉及幾何求積的著名命題．內(nèi)容為：“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．意思是兩個等高的幾何體，如在等高處的截面積相等，體積相等．設A，B為兩個等高的幾何體，p：A、B的體積相等，q：A、B在同一高處的截面積相等．根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設，，則的取值范圍是______.12．計算___________.13．已知函數(shù)的圖象如圖，則________14．邊長為3的正方形的四個頂點都在球上，與對角線的夾角為45°，則球的體積為______.15．如圖，矩形的三個頂點分別在函數(shù)，，的圖像上，且矩形的邊分別平行于兩坐標軸.若點的縱坐標為2，則點的坐標為______.16．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖1所示，在中，分別為的中點，點為線段上的一點，將沿折起到的位置，使如圖2所示.（1）求證：//平面；（2）求證：；（3）線段上是否存在點，使平面？請說明理由.18．如圖，已知直角梯形中，且，又分別為的中點，將△沿折疊，使得.（Ⅰ）求證：AE⊥平面CDE；（Ⅱ）求證：FG∥平面BCD；（Ⅲ）在線段AE上找一點R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由19．已知平面向量，，，且，.（1）求和：（2）若，，求向量與向量夾角的大小.20．已知為的三個內(nèi)角，向量與向量共線，且角為銳角.(1）求角的大小；（2）求函數(shù)的值域.21．（1）已知，化簡：；（2）已知，證明：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據(jù)任意角的周期性，將-2022°化為，即可確定最小正角.【詳解】由-2022°，所以與-2022°終邊相同的最小正角是138°.故選：A2、D【解析】利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進行選擇【詳解】當兩個平面相交時，一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選D【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題3、C【解析】根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式進行化簡即可.【詳解】原式.故選C.【點睛】這個題目考查了二倍角公式的應用，涉及兩角差的余弦公式以及特殊角的三角函數(shù)值的應用屬于基礎題.4、C【解析】根據(jù)題意，直接從所給隨機數(shù)表中讀取，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，編號為的才是需要的個體；由隨機數(shù)表依次可得：，故第四個個體編號為25.故選：C【點睛】本題考查了隨機數(shù)表的讀法，注意重復數(shù)據(jù)只取一次，屬于基礎題.5、B【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.6、C【解析】首先由可得是異面直線和所成角，再由為正三角形即可求解.【詳解】連接因為為正方體，所以，則是異面直線和所成角．又,可得為等邊三角形，則，所以異面直線與所成角為，故選：C【點睛】本題考查異面直線所成的角，利用平行構(gòu)造三角形或平行四邊形是關(guān)鍵，考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.7、D【解析】利用條件以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，求得sinα的值【詳解】∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，得sinα，故選D【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎題8、B【解析】利用三角形的內(nèi)角和，結(jié)合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出結(jié)論【詳解】解：由題意可得sin（A﹣B）＝1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A﹣B）＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB＝1，∴sin（A+B）＝1，∴A+B＝90°，∴△ABC是直角三角形故選：B【點睛】本題考查差角的余弦公式，和角的正弦公式，考查學生的計算能力，屬于基礎題9、A【解析】由已知確定函數(shù)的遞推式，利用遞推式與奇偶性計算即可【詳解】當時，，則，所以當時，，所以又是偶函數(shù)，，所以故選：A10、C【解析】根據(jù)與的推出關(guān)系判斷【詳解】已知A，B為兩個等高的幾何體，由祖暅原理知，而不能推出，可舉反例，兩個相同的圓錐，一個正置，一個倒置，此時兩個幾何體等高且體積相等，但在同一高處的截面積不相等，則是的必要不充分條件故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由已知求得，然后應用誘導公式把求值式化為一個角的一個三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得范圍【詳解】，，所以，所以，，，，故答案為：12、2【解析】利用指數(shù)、對數(shù)運算法則即可計算作答.【詳解】.故答案：213、8【解析】由圖像可得：過點和，代入解得a、b【詳解】由圖像可得：過點和，則有：，解得∴故答案為：８14、【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)求出球O的半徑，再利用球的體積公式計算作答.【詳解】因邊長為3的正方形的四個頂點都在球上，則正方形的外接圓是球O的截面小圓，其半徑為，令正方形的外接圓圓心為，由球面的截面小圓性質(zhì)知是直角三角形，且有，而與對角線的夾角為45°，即是等腰直角三角形，球O半徑，所以球體積為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及求球的表面積、體積問題，利用球的截面小圓性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.15、【解析】先利用已知求出的值，再求點D的坐標.【詳解】由圖像可知，點在函數(shù)的圖像上，所以，即.因為點在函數(shù)的圖像上，所以，.因為點在函數(shù)的圖像上，所以.又因為，，所以點的坐標為.故答案為【點睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)和冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、##【解析】由，可得函數(shù)是以為一個周期的周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性將所求轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間即可得解.【詳解】解：因為，所以函數(shù)是以為一個周期的周期函數(shù)，所以，又因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】（1）∵DE∥BC，由線面平行的判定定理得出（2）可以先證，得出，∵∴∴(3)Q為的中點，由上問，易知,取中點P，連接DP和QP，不難證出，∴∴,又∵∴18、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）利用判定定理證明線面平行時，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條與已知直線平行的直線，解題時可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過平行線分線段成比例等．證明直線和平面垂直的常用方法：（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推論．（3）利用面面平行的性質(zhì)．（4）利用面面垂直的性質(zhì).（Ⅲ）判定面面垂直的方法（1）面面垂直的定義，即證兩平面所成的二面角為直角；（2）面面垂直的判定定理試題解析：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE、EC?平面DCE.∴AE⊥平面CDE.（2）取AB中點H，連接GH、FH，∴GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，又GH∩FH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∴GF∥平面BCD.（3）取線段AE的中點R，則平面BDR⊥平面DCB取線段DC的中點M,取線段DB中點H,連接MH,RH,BR,DR在△DEC中，∵M為線段DC,H為線段DB中點，R為線段AE中點又,∴RH⊥DC10分∴RH⊥面DCB∵RH?平面DRB平面DRB⊥平面DCB即取AE中點R時，有平面DBR⊥平面DCB12分（其它正確答案請酌情給分）考點：立體幾何綜合應用19、（1），；（2）.【解析】（1）本題首先可根據(jù)、得出，然后通過計算即可得出結(jié)果；（2）本題首先可根據(jù)題意得出以及，然后求出、以及的值，最后根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，，，且，，所以，解得，故，.（2）因為，，所以，因為，，所以，，，，設與的夾角為，則，因為，所以，向量與向量的夾角為.【點睛】本題考查向量平行、向量垂直以及向量的數(shù)量積的相關(guān)性質(zhì)，若、且，則，考查通過向量的數(shù)量積公式求向量的夾角，考查計算能力，是中檔題.20、(1)；（2）.【解析】（1）根據(jù)平行向量的坐標關(guān)系即可得到（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA+cosA）（sinA﹣cosA）＝0，這樣即可解出tan2A，結(jié)合A為銳角，即可求出A；（2）由B+C便得C，從而得到，利用二倍角的余弦公式及兩角差的正余弦公式即可化簡原函數(shù)y＝1+sin（B），由前面知0，從而可得到B的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可得到的范圍，即可得出原函數(shù)的值域【詳解】（1）由m∥n，得（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA+cosA）（sinA﹣cosA）＝0，得到2（1-sin2A）-sin2A+cos2A=0，所以2cos2A-sin2A+cos2A=0，即3cos2A-si