空間幾何體知識(shí)點(diǎn)歸納

柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：或用對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓；②母線(xiàn)與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線(xiàn)交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線(xiàn)交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑?？臻g幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖：正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫(huà)三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等3直觀圖：斜二測(cè)畫(huà)法4斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：（1）.在已知圖形中取相互垂直的軸和軸，兩軸相交于。畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點(diǎn)，且使，它們確定的平面表示水平面。（2）.已知圖形中平行于軸或軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于軸或軸的線(xiàn)段；（3）.已知圖形中平行于軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。5用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫(huà)軸（2）畫(huà)底面（3）畫(huà)側(cè)棱（4）成圖1.3空間幾何體的表面積與體積（一）空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和2圓柱的表面積3圓錐的表面積4圓臺(tái)的表面積5球的表面積（二）空間幾何體的體積1柱體的體積2錐體的體積3臺(tái)體的體積4球體的體積基礎(chǔ)練習(xí)1選擇題1．如圖的組合體的結(jié)構(gòu)特征是()A．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱 B．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱C．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐 D．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)[答案]C2．有下列命題：①圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線(xiàn)是圓錐的母線(xiàn)；②在圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓臺(tái)的母線(xiàn)；③圓柱的任意兩條母線(xiàn)所在的直線(xiàn)是平行的．其中正確的有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)[答案]B3．(2013～2014·南京模擬)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)可以得到圖1中幾何體的是圖2中的()[答案]A4．圖中最左邊的幾何體由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得．現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)[答案]D5．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個(gè)圓錐的全面積是()A．3πB．3eq\r(3)πC．6πD．9π解析：設(shè)圓錐底面半徑為R，∴eq\f(1,2)·2R·eq\r(3)R＝eq\r(3)，∴R＝1，母線(xiàn)l長(zhǎng)為2，∴S全＝πR2＋πRl＝π＋2π＝3π.答案：A6．長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2,6和9，則長(zhǎng)方體的體積是()A．6eq\r(3)B．3eq\r(6)C．11D．12解析：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，不妨設(shè)ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6eq\r(3).答案：A7．(2013·湖北卷)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體，則有()A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4答案：C8．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1∶3，這截面把圓錐母線(xiàn)分成的兩段的比是()A．1∶3B．1∶(eq\r(3)－1)C．1∶9D.eq\r(3)∶2解析：由題意可知，截面面積與底面面積之比為1∶3，∴截面半徑與底面半徑之比為1∶eq\r(3)，∴這兩段母線(xiàn)長(zhǎng)之比為1∶eq\r(3)－1.答案：B二、填空題1．如圖是一個(gè)幾何體的表面展成的平面圖形，則這個(gè)幾何體是________．[答案]圓柱2．已知一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過(guò)球心作一截面，則下圖中，截面不可能是________(填序號(hào))．[答案]④3．如圖，已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1，過(guò)BC和AD分別作一個(gè)平面交底面A1B1C1D1于EF、PQ，則長(zhǎng)方體被分成的三個(gè)幾何體中，棱柱的個(gè)數(shù)是________．解析：三個(gè)幾何體都是棱柱．答案：34．若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于________．解析：通過(guò)三視圖還原三棱柱直觀圖如圖所示，通過(guò)正視圖可以得出該三棱柱底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為1，三個(gè)側(cè)面為矩形，上下底面為正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×22))＝6＋2eq\r(3).答案：6＋2eq\r(3)5．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為eq\f(2,π)cm，高為2cm，AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線(xiàn)，若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)度是________cm(結(jié)果保留根式)．答案：2eq\r(2)6．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)的圓心角是180°，圓臺(tái)的表面積是（）分析：由題目可獲取以下主要信息：①求圓臺(tái)的表面積應(yīng)考慮上、下底面及側(cè)面積；②上、下底面面積易得，主要求側(cè)面積．解答本題可先把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，即在展開(kāi)圖內(nèi)求母線(xiàn)的長(zhǎng)，再進(jìn)一步代入側(cè)面積公式求出側(cè)面積，進(jìn)而求出表面積．解析：如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為C，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，故C＝π·SA＝2π×10，∴SA＝20，同理可得SB＝40，∴AB＝SB－SA＝20，∴S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.7.如右圖所示，在底半徑為2，母線(xiàn)長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為eq\r(3)的圓柱，圓柱的表面積為（）解析：圓錐高h(yuǎn)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，畫(huà)軸截面積圖(如右圖)，則eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(2－x,2).故圓錐內(nèi)接圓柱的底半徑x＝1.則圓柱的表面積S＝2π×12＋2π×1×eq\r(3)＝(2＋2eq\r(3))π.答案：(2＋2eq\r(3))π強(qiáng)化提升一選擇題1．在棱柱中()A．只有兩個(gè)面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四邊形D．兩底面平行，且各側(cè)棱也互相平行[答案]D2．下列命題中，正確的是()A．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形[答案]D3．(2012－2013·嘉興高一檢測(cè))如下圖都是正方體的表面展開(kāi)圖，還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一樣的是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案]B[解析]在圖(2)、(3)中，⑤不動(dòng)，把圖形折起，則②⑤為對(duì)面，①④為對(duì)面，③⑥為對(duì)面，故圖(2)、(3)完全一樣，而(1)、(4)則不同[解題提示]讓其中一個(gè)正方形不動(dòng)，其余各面沿這個(gè)正方形的各邊折起，進(jìn)行想象后判斷．4．下列說(shuō)法不正確的是()A．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形B．圓錐過(guò)軸的截面是一個(gè)等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺(tái)平行于底面的截面是圓面[答案]C5．如右圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為()A．一個(gè)球體B．一個(gè)球體中間挖出一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長(zhǎng)方體[答案]B[解析]圓旋轉(zhuǎn)一周形成球，圓中的矩形旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓柱，所以選B.6．已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體為()A．圓臺(tái) B．四棱錐C．四棱柱 D．四棱臺(tái)[答案]D7．下列幾何體中，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都相同的幾何體的序號(hào)是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案]D8．(2012－2013·安徽淮南高三模擬)下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案]D[解析]①正方體，三視圖均相同；②圓錐，正視圖和側(cè)視圖相同；③三棱臺(tái)，三視圖各不相同；④圓臺(tái)，正視圖和側(cè)視圖相同．[點(diǎn)評(píng)]熟悉常見(jiàn)幾何體的三視圖特征，對(duì)于畫(huà)幾何體的直觀圖是基本的要求．下圖是最基本的常見(jiàn)幾何體的三視圖.幾何體直觀圖形正視圖側(cè)視圖俯視圖正方體長(zhǎng)方體圓柱圓錐圓臺(tái)球9．給出以下關(guān)于斜二測(cè)直觀圖的結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是()①角的水平放置的直觀圖一定是角．②相等的角在直觀圖中仍相等．③相等的線(xiàn)段在直觀圖中仍然相等．④若兩條線(xiàn)段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線(xiàn)段仍然平行．A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則可知，直觀圖保持線(xiàn)段的平行性，∴④對(duì)，①對(duì)；而線(xiàn)段的長(zhǎng)度，角的大小在直觀圖中都會(huì)發(fā)生改變，∴②③錯(cuò)．10．利用斜二測(cè)畫(huà)法得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形．以上說(shuō)法正確的是()A．① B．①②C．③④ D．①②③④[答案]B[解析]根據(jù)畫(huà)法規(guī)則，平行性保持不變，與y軸平行的線(xiàn)段長(zhǎng)度減半．二填空題1．如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1容器中灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC置于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，以下命題：①水的形狀成棱柱形；②水面EFGH的面積不變；③水面EFGH始終為矩形．其中正確的命題序號(hào)是________．[答案]①③2．下列圖形：①三角形；②直線(xiàn)；③平行四邊形；④四面體；⑤球．其中投影不可能是線(xiàn)段的是________．[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是線(xiàn)段成三角形；直線(xiàn)的投影是點(diǎn)或直線(xiàn)；平行四邊形的投影是線(xiàn)段或平行四邊形；四面體的投影是三角形或四邊形；球的投影是圓．3．由若干個(gè)小正方體組成的幾何體的三視圖如下圖，則組成這個(gè)組合體的小正方體的個(gè)數(shù)是________．[答案]5[解析]由三視圖可作出直觀圖，由直觀圖易知共有5個(gè)小正方體．4．(2012～2013·煙臺(tái)高一檢測(cè))已知某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，則下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的圖形有________．[答案]①②③④5．(2012－2013·湖南高三“十二校聯(lián)考”)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為4的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則用________個(gè)這樣的幾何體可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體．[答案]3[解析]該幾何體是四棱錐，其底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，高等于4，如圖(1)所示的四棱錐A－A1B1C1D1，如圖(2)所示，三個(gè)相同的四棱錐A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A－DD1C1C可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體．6．斜二測(cè)畫(huà)法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀圖中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是M′，則點(diǎn)M′的坐標(biāo)為_(kāi)_______，點(diǎn)M′的找法是________．[答案]M′(4,2)在坐標(biāo)系x′O′y′中，過(guò)點(diǎn)(4,0)和y′軸平行的直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)(0,2)和x′軸平行的直線(xiàn)的交點(diǎn)即是點(diǎn)M′.[解析]在x′軸的正方向上取點(diǎn)M1，使O1M1＝4，在y′軸上取點(diǎn)M2，使O′M2＝2，過(guò)M1和M2分別作平行于y′軸和x′軸的直線(xiàn)，則交點(diǎn)就是M′.7．如右圖，水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖是圖中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實(shí)際長(zhǎng)度是________．[答案]10[解析]由斜二測(cè)畫(huà)法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，則AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.8．如圖，是△AOB用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖，則△AOB的面積是________．[答案]16[解析]由圖易知△AOB中，底邊OB＝4，又∵底邊OB的高為8，∴