數(shù)學(xué)奧數(shù)模型解題技巧

數(shù)學(xué)奧數(shù)模型解題技巧數(shù)學(xué)是一門非?；A(chǔ)的學(xué)科，它是其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)奧數(shù)則更是數(shù)學(xué)學(xué)科中一門高級(jí)的學(xué)科。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奧數(shù)時(shí)，我們需要面對(duì)各種各樣的數(shù)學(xué)問題，并且需要通過建立合適的數(shù)學(xué)模型，來解決這些問題。因此，本文將分享一些關(guān)于數(shù)學(xué)奧數(shù)模型解題的技巧和方法，幫助廣大同學(xué)提高解題的效率。一、簡單線性模型簡單線性模型指的是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，其公式為y=kx+b。其中，k代表斜率，b代表截距，x和y分別代表自變量和因變量。在解決奧數(shù)問題時(shí)，我們可以通過應(yīng)用簡單線性模型來解決問題，例如：1、設(shè)某一地區(qū)的人均可支配收入y與該地區(qū)商品房均價(jià)x的函數(shù)關(guān)系為y=kx+b。已知當(dāng)x=15000元/平方米時(shí)，y=10000元/年，當(dāng)x=30000元/平方米時(shí)，y=20000元/年，求該函數(shù)的解析式。解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，可得：y1=kx1+by2=kx2+b將上式等號(hào)兩邊相減，可得：(y1-y2)=k(x1-x2)帶入數(shù)據(jù)可得：(10000-20000)=k(15000-30000)解得：k=1000元/平方米將k帶入y1=kx1+b中，可得：10000=15000k+b解得：b=25000元/年因此，該函數(shù)的解析式為y=1000x+25000。2、一位商人在某個(gè)地區(qū)購買了7只雞，共花了67元。如果購買的全部是鵝，應(yīng)該花費(fèi)多少元？解：假設(shè)鵝的單價(jià)是x元/只，那么雞的單價(jià)就是(67-7x)/7元/只。根據(jù)已知數(shù)據(jù)，則可以得到以下方程式：7x+(67-7x)=7y化簡可得：y=9.57因此，購買全部是鵝，共需要花費(fèi)9.57×7=66.99元。二、復(fù)合函數(shù)模型復(fù)合函數(shù)模型是在簡單線性模型的基礎(chǔ)上建立的模型，它可以更加豐富的描述數(shù)學(xué)問題，例如：1、一條半徑為R的導(dǎo)軌垂直地面掛在井口，從井口拋出一物并沿導(dǎo)軌高度為h時(shí)停下，求彈體的初速度v?。解：可以建立以下模型：其中，r代表彈體到導(dǎo)軌臨邊的距離。將r用h表示，有：將Vo用g和h表示，有：綜上所述，初速度v?為：v?=√gh2、圓柱形沙錘的質(zhì)量是12kg，長1m，半徑為0.05m，連接兩個(gè)彈簧的自然長度分別為0.96m和0.94m，并分別具有7N和12N的彈性系數(shù)。沙錘懸掛在水平線上，現(xiàn)在原地松放它，它每秒鐘上升0.5m，求沙錘受到的阻力。解：將沙錘視為質(zhì)點(diǎn)，建立以下模型：其中，m為沙錘的質(zhì)量，g為重力加速度，v為沙錘的上升速度，L1和L2分別為兩個(gè)彈簧的自然長度。根據(jù)建立的模型，沙錘受到的合力F為：將F用v表示，有：又因?yàn)長1和L2非常接近，可以近似認(rèn)為它們相等，因此有：將v用h表示，有：將已知數(shù)據(jù)帶入上式，可得：因此，沙錘受到的阻力為13.08N。三、統(tǒng)計(jì)模型統(tǒng)計(jì)模型是通過對(duì)某些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出數(shù)據(jù)規(guī)律，再應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)的模型。在奧數(shù)問題中，我們可以基于某些數(shù)據(jù)，建立統(tǒng)計(jì)模型，例如：1、某品牌眼鏡的銷售情況如下表所示：年份銷售數(shù)量(萬只)2014302015332016362017？請估算2017年該品牌眼鏡的銷售數(shù)量。解：通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以得出該品牌眼鏡銷售數(shù)量的增長規(guī)律，建立一元一次函數(shù)模型：其中，x為年份，y為銷售數(shù)量。將已知數(shù)據(jù)帶入上式，可得：因此，2017年該品牌眼鏡的銷售數(shù)量為39萬只。2、在一項(xiàng)調(diào)查中，有30%的受訪者說他們喜歡閱讀奇幻小說，40%的受訪者說他們喜歡閱讀推理小說，而50%的受訪者喜歡以上兩種類型的小說，請問有多少受訪者不喜歡以上兩種類型的小說？解：根據(jù)數(shù)據(jù)，可以得出以下方程：因此，有20%的受訪者不喜歡以上兩種類型的小說。四、微積分模型微積分模型是建立在復(fù)合函數(shù)模型的基礎(chǔ)之上，通過應(yīng)用微積分知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行更精確的分析和解決，例如：1、一輛汽車行駛在直線公路上，起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B。已知初始速度為v?，加速度為a，與起點(diǎn)的距離為s。求到達(dá)終點(diǎn)所需的最短時(shí)間。解：汽車在x方向上的運(yùn)動(dòng)滿足以下方程：在該方程式中，v和s分別代表汽車的速度和行駛的距離，t為時(shí)間。將v用a表示，有：沿用復(fù)合函數(shù)模型中的計(jì)算方法，可以得到以下公式：將v用s表示，有：由于終點(diǎn)為B，因此有：將s用v、a和t表示，有：將上式帶入s=AB，可得：將上式帶入T的方程式，有：將v的方程式帶入上式，有：將上式改寫，可得：求導(dǎo)可得：因此，到達(dá)終點(diǎn)所需的最短時(shí)間為。2、將x軸上區(qū)間[0,1]上的一個(gè)單位質(zhì)量從狀態(tài)0松開，一個(gè)時(shí)刻它的速度和下降的距離分別為v、s。求v和s的平方的期望值。解：根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v2=2as，在s=1時(shí)，有：將此代入運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v2=2gs，有：因此，v2的期望值為。同理可得，s2的期望值為。因此，v2和s2的平均值之和為3/4。五、集合模型集合模型是建立在概率論的基礎(chǔ)之上，通過對(duì)集合的運(yùn)算進(jìn)行分析，得出概率問題的解決方案。例如：1、在一個(gè)班級(jí)的學(xué)生中，有50%的男生喜歡打籃球，60%的女生喜歡打籃球，班級(jí)中有五個(gè)男生和八個(gè)女生不喜歡打籃球，求一個(gè)學(xué)生隨機(jī)被抽中喜歡打籃球的概率。解：假設(shè)班級(jí)中男生和女生的總?cè)藬?shù)分別為x和y，那么班級(jí)中喜歡打籃球的學(xué)生總數(shù)為0.5x+0.6y，不喜歡打籃球的學(xué)生總數(shù)為(50%-100%/5)x+(60%-100%/8)y，由此得到以下方程式：因此，被抽中喜歡打籃球的概率為。2、某次國考考試中，參加口譯考試的人中一部分人了解英語口音，而另外一部分人沒有這一特長。其中會(huì)英語口音的人口占了全體考生的50%，而其中60%的人通過了口譯考試，不會(huì)英語口音的人口占了全部考生的50%，而其中只有40%的人通過了口譯考試。如果50%的人通過了口譯考試，那么這次考試中沒有了解英語口音的考生口中有多少人通過了口