蘇科版八年級上冊第二章軸對稱圖形-線段和最值問題(有答案)

蘇科版八年級上冊第二章軸對稱圖形線段和最值問題（有答案）一、選擇題如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4,面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC,AB邊于E,F點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（

）

A.6 B.8 C.10 D.12如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，若△CDM周長的最小值為8，則△ABC的面積為

A.12 B.16 C.24 D.32如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面積是14，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）

A.7 B.72 C.9 D.如圖，∠MON=90°，OB=2，點A是直線OM上的一個動點，連結(jié)AB，作∠MAB與∠ABN的角平分線AF與BF，兩角平分線所在的直線交于點F，求點A在運動過程中線段BF的最小值為（）A.2

B.4

C.2

D.3

二、填空題如圖，等腰△ABC的底邊BC長為4，面積是14，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為____．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為______．

如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為______．

如圖，等腰三角形ABC底邊BC的長為4cm，面積是12cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點F，若D為BC邊上的中點，M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為_________cm

如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則的周長的最小值為______．

如圖，四邊形ABCD為菱形，∠C=120°，AB=4，H為邊BC上的動點，連接AH，作AH的垂直平分線GF交CD于F點，則線段GF的最小值為

．

如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為______．

如圖，在銳角△ABC中，AB=43,∠BAC=60°,∠BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值為

如圖，在銳角△ABC中，AB=32,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是______．

如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分線，AC＝6，若點P是AD上一動點，且作PN⊥AC于點N，則PN＋PC的最小值是__________．

三、解答題如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為______．

如圖，BD是ΔABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB,BD,BC于點E,F,G，連接ED,DG.(1)請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=210，點H是BD上的一個動點，求HG+HC的最小值.

如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．

（1）若∠ABC=70°，則∠NMA的度數(shù)是______度．

（2）若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．

①求BC的長度；

②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△PBC周長的最小值．

如圖已知EF∥GH，AC⊥EF于點C，BD⊥EF于點D交HG于點K．AC=3，DK=2，BK=4．

（1）若CD=6，點M是CD上一點，當點M到點A和點B的距離相等時，求CM的長；

（2）若CD=132，點P是HG上一點，點Q是EF上一點，連接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，以及考查了軸對稱中最短路線問題．熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接AD，

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=12BC×AD=12×4×AD=16，解得AD=8∵EF是線段AC的垂直平分線，

∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，

∴AD的長為CM+MD的最小值，

∴△CDM的周長最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10故選C．

2.【答案】A

【解析】【分析】

此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，以及考查了軸對稱中最短路線問題．熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．連接AD，根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，從而得到AD長，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD為BC邊上的高，最后由三角形面積公式求得答案.

【解答】

解：連接AD，

∵EF是線段AC的垂直平分線，

∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，

△CDM的周長為CM+DM+CD，

∴AD的長為CM+MD的最小值，

∵CD=2，

∴AD=6，

∵AB=AC，D為BC中點，

∴AD⊥BC，

∴△ABC的面積為4×6÷2=12.

故選A.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【解答】

解：連接AD，

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=12BC?AD=12×4×AD=14，解得AD=7，

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，

∴AD的長為CM+MD的最小值，

∴△CDM的周長最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=7+12×4=7+2=9.

故選C.

4.【解析】【分析】作FC⊥OB于C，F(xiàn)D⊥OA于D，F(xiàn)E⊥AB于E，由角平分線的性質(zhì)得出FD=FC，證出點F在∠MON的平分線上，∠BOF=45°，在點A在運動過程中，當OF⊥AB時，BF最小，△OBF為等腰直角三角形，即可得出BF=22OB=2【解答】解：作FC⊥OB于C，F(xiàn)D⊥OA于D，F(xiàn)E⊥AB于E，如圖所示：∵∠MAB與∠ABN的角平分線AF與BF交于點F，

∴FD=FE，F(xiàn)E=FC，

∴FD=FC，

∴點F在∠MON的平分線上，∠BOF=45°，

在點A在運動過程中，當OF⊥AB時，F(xiàn)為垂足，BF最小，

此時，△OBF為等腰直角三角形，BF=22OB=2故選C．

5.【答案】9

【解析】【分析】

?本題考查垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，得出AD的長為CM+MD的最小值是解題的關(guān)鍵，先做C點關(guān)于EF的對稱點A，連接AD交EF于M，此時CM+MD的值最小，求出周長即可.

【解答】

解：連接AD，

?

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=12BC?AD=12×4×AD=14，解得AD=7，

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，

∴AD的長為CM+MD的最小值，

?∴△CDM的周長最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=7+12×4=8+2=9．

故答案為9．

6.【解析】【分析】

?連接AD交EF與點M′，連結(jié)AM，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AM=MB，則BM+DM=AM+DM，故此當A、M、D在一條直線上時，MB+DM有最小值，然后依據(jù)要三角形三線合一的性質(zhì)可證明AD為△ABC底邊上的高線，依據(jù)三角形的面積為12可求得AD的長．

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．

【解答】

解：連接AD交EF與點M′，連結(jié)AM．

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

∴AD⊥BC，

∴S?ABC=12BC·AD=12×4×AD=12，解得AD=6，

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴AM=BM．

∴BM+MD=MD+AM．

∴當點M位于點M′處時，MB+MD有最小值，最小值6．

∴△BDM的周長的最小值為DB+AD=2+6=8．

?【解析】【分析】

?連接AD交EF與點M′，連結(jié)AM，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AM=MB，則BM+DM=AM+DM，故此當A、M、D在一條直線上時，MB+DM有最小值，然后依據(jù)要三角形三線合一的性質(zhì)可證明AD為△ABC底邊上的高線，依據(jù)三角形的面積為12可求得AD的長．

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．

【解答】

解：連接AD交EF與點M′，連結(jié)AM．

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

∴AD⊥BC，

∴S?ABC=12BC·AD=12×4×AD=12，解得AD=6，

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴AM=BM．

∴BM+MD=MD+AM．

∴當點M位于點M′處時，MB+MD有最小值，最小值6．

∴△BDM的周長的最小值為DB+AD【解析】【分析】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接AD，

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=12BC?AD=12×4×AD=12，解得AD=6cm，

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，

∴AD的長為BM+MD∴△BDM的周長最短=（BM+MD）+BD=AD+12BC=6+12×4=6+2=8cm．

故答案為

9.【答案】8

【解析】【分析】

連接AD交EF與點M′，連結(jié)AM，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AM=MB，則BM+DM=AM+DM，故此當A、M、D在一條直線上時，MB+DM有最小值，然后依據(jù)要三角形三線合一的性質(zhì)可證明AD為△ABC底邊上的高線，依據(jù)三角形的面積為12可求得AD的長．

【解答】

解：連接AD交EF與點M′，連結(jié)AM

.

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=12BC?AD=12×4×AD=12，解得AD=6，

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴AM=BM.∴BM+MD=MD+AM.

∴當點M位于點M′處時，MB+MD有最小值，最小值6.

?∴△BDM的周長的最小值為DB+AD=2+6=8.

?故答案為8.

10.【答案】3【解析】【分析】

這是一道考查菱形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)的題目，解題關(guān)鍵在于知道當AH⊥BC時，GF最短，即可求出答案.

【解答】

解：連接AF、HF，

則當AH最短時，GF最小，

此時AH⊥BC，AH⊥AB，

∵GF為AH的垂直平分線，

∴G為AH中點，F(xiàn)為CD中點，

∴GF=12AD+HC=3.

?故答案為3.

11.【解析】解：連接AD交EF與點M′，連結(jié)AM．

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=12BC?AD=12×4×AD=12，解得AD=6，

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴AM=BM．

∴BM+MD=MD+AM．

∴當點M位于點M′處時，MB+MD有最小值，最小值6．

∴△BDM的周長的最小值為DB+AD=2+6=8．

連接AD交EF與點M′，連結(jié)AM，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AM=MB，則BM+DM=AM+DM，故此當A、M、D在一條直線上時，MB+DM有最小值，然后依據(jù)要三角形三線合一的性質(zhì)可證明AD為△ABC底邊上的高線，依據(jù)三角形的面積為12可求得AD的長．

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．

12.【答案】6【解析】【分析】本題考查了軸對稱的應用．易錯易混點：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過構(gòu)造全等三角形，把BM+MN進行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒有辦法把兩個線段的和的最小值轉(zhuǎn)化為點到直線的距離而導致錯誤．從已知條件結(jié)合圖形認真思考，通過構(gòu)造全等三角形，利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值．【解答】解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE，

∵∠BAC的平分線交BC于點D，

∴∠EAM=∠NAM，

在△AME與△AMN中，AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，

∴△AME≌△AMN（SAS），

∴ME=MN．

∴BM+MN=BM+ME≥BE．

∵BM+MN有最小值．

當BE是點B到直線AC的距離時，BE⊥AC，

又AB=43，∠BAC=60°此時，在Rt△ABE中，得出BE=6，

即BE取最小值為6，

∴BM+MN的最小值是6．

故答案為6.

13.【答案】3

【解析】解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE．

∵∠BAC的平分線交BC于點D，

∴∠EAM=∠NAM，

在△AME與△AMN中，AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，

∴△AME≌△AMN（SAS），

∴ME=MN．

∴BM+MN=BM+ME≥BE．

∵BM+MN有最小值．

當BE是點B到直線AC的距離時，BE⊥AC，

又AB=32，∠BAC=45°，此時，△ABE為等腰直角三角形，

∴BE=3，

即BE取最小值為3，

∴BM+MN的最小值是3．

故答案為3．

從已知條件結(jié)合圖形認真思考，通過構(gòu)造全等三角形，利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值．

本題考查了軸對稱的應用．易錯易混點：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過構(gòu)造全等三角形，把BM+MN

14.【答案】32【解析】【分析】本題考查了垂線段最短的性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)，勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂線段最短得出CE的長是PN+PC的最小值．作CE⊥AB于點E，則CE的長就是PN+PC的最小值，在Rt△ACE中利用勾股定理求解即可．【解答】解：作CE⊥AB于點E，交AD于P點，∵AD是∠BAC的平分線，PN⊥AC，CE⊥AB，∴PN=PE，∴PN＋PC=PE+PC=CE，∴根據(jù)“垂線段最短”可知CE的長就是PN+PC的最小值．在Rt△ACE中，∠BAC＝60°，AC＝6，∴AE=1由勾股定理得：CE=3故答案是32

15.【答案】8

【解析】【分析】

本題主要考查三角形周長的知識，關(guān)鍵是知道線段垂直平分線的性質(zhì)，知道等腰三角形的性質(zhì).

【解答】

解：連接AD交EF與點M′，連結(jié)AM．

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=12BC?AD=12×4×AD=12，解得AD=6，

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴AM=BM．

∴BM+MD=MD+AM．

∴當點M位于點M′處時，MB+MD有最小值，最小值6．

∴△BDM的周長的最小值為DB+AD=2+6=8．

故答案為8.

16.【答案】解：（1）四邊形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

∠EDF=∠GBF∠EFD=∠GFBDF=BF，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四邊形EBGD是菱形．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG

在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=210，

∴EM=12BE=10，

∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，

∴EM∥DN，EM=DN=10，MN=DE=210，

在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，

∴∠NDC=∠NCD=45°，

∴DN=NC=10，

∴MC=310，

在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=10．MC=310，

∴EC=EM2+MC2=(10)2+(310)2=10．

∵HG+HC=EH+

【解析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用對稱找到點H的位置，屬于中考常考題型.（1）結(jié)論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可；

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解決問題.

17.【答案】（1）50

（2）①6

②?14

【解析】解：（1）∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC=70°，

∴∠A=40°，

∵AB的垂直平分線交AB于點N，

∴∠ANM=90°，

∴∠NMA=50°，

故答案為：50；

（2）①∵MN是AB的垂直平分線，

∴AM=BM，

∴△MBC的周長=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，

∵AB=8，△MBC的周長是14，

∴BC=14-8=6；

②當點P與M重合時，△PBC周長的值最小，

理由：∵PB+PB=PA+PC，PA+PC≥AC，

∴P與M重合時，PA+PC=AC，此時PB+PC最小，

∴△PBC周長的最小值=AC+BC=8+6=14．

【分析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性