高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)題型技巧》精講與精練高分突破系列(人教A 版 2019必修第二冊(cè))6 .2 .3 向量的數(shù)乘運(yùn)算

高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第二冊(cè))

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一向量數(shù)乘的定義

實(shí)數(shù))與向量。的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)塞，記作癡，其長度與方向規(guī)定如下:

⑴閑=回回.

當(dāng)拉0時(shí),與a的方向相同;

(2)相(aW0)的方向

當(dāng)義<0時(shí),與Q的方向相反.

特別地，當(dāng)2=0時(shí)，2a=0.,當(dāng)4=—I時(shí)，(-l)a=-a

考點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律

1.(1X(〃。)==〃)。.

(2)(2+〃)。=%〃+〃。.

(3<m+力=〃+勸.

特別地，(T)a=_2a=2(-a),X(g—b)=Aa—/.b.

2.向量的線性運(yùn)算

向量的加、遮、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算,對(duì)于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)2,⑷，外，恒有25口土〃26)

=2〃1a土如2b.

考點(diǎn)三向量共線定理

向量a(a20)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)小使/>=〃.

【題型歸納】

題型一：向量的線性運(yùn)算

1.（2021?山東鄒城?高一期中）已知向量Z，b，實(shí)數(shù)n（加H0,〃*0）,則下列關(guān)于向量的運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

A.mya—b^=ma—mbB.—n）a=ma—na

C.若〃?a=6，則a=6D.若）2a=〃〃，貝ljm二〃

2.（2021?全國?高一課前預(yù)習(xí)）若2=5+房化簡3G+24-2便+"）-2（￡+勾的結(jié)果為（）

A.—aB.-4hC.cD.a-b

3.（2021.四川省蒲江縣蒲江中學(xué)高一階段練習(xí)）已知團(tuán)，〃是實(shí)數(shù)，入坂是向量，則下列命題中正確的為（）

①-=ma-mB；@^m-ri）a=ma-na；

③若ma=mb,則a=B;④若ma=na,則”.

A.①④B.①②C.①③D.③④

題型二：平面向量的混合運(yùn)算

4.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）若。為AA3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足（礪-歷）.（赤+元-2函）=0,貝UAABC的形

狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

5.（2021.福建福州.高一期中）在五邊形4JCDE中麗=￡,AD=b^M,N分別為AE,8。的中點(diǎn)，則麗=（）

3121

一-

-a+-B-a+-

2233

A.

c1131

---D一

4+-〃+-

2244

6.（2020?全國?高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，P,Q分別是邊AB,BC上的點(diǎn)，且==若福=￡,

AC=b,貝”0=()

1_1c1-1r

A.-a+-brB.—ciH—b

3333

n1-1廠

D.——a——b

33

題型三：向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用

7.（2021?四川?寧南中學(xué)高一階段練習(xí)（文））如圖，“ABC中，AD.BE、CF分別是BC、C4、A8上的中線,

它們交于點(diǎn)G,則下列各等式中不正確的是（）

A

—2—

A.BG=-BEB.DG——AG；

32

1UlU9UlU1UlK

C.-DA+-FC=-BCD.CG=-2FG

332

8.(2021?四川資陽?高一期末)如圖,在AABC中，。為線段8c上一點(diǎn)，CD=2DB,E為AZ)的中點(diǎn).若

AE=AAB+/JAC,則4+〃=()

9.（2021?內(nèi)蒙古?林西縣第一中學(xué)高一期中（文））已知點(diǎn)M是AABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且反=2荏,

則向量前=（）

A.-AC+-ABB.-AC+-AB

2362

C.-AC+-ABD.-AC+-AB

2663

題型四：三角形的心的向量表示

10.（2021?陜西渭濱?高一期末）已知。為三角形A8C所在平面內(nèi)一點(diǎn),OA+OB+OC=G^則\ABC)

B1

A.—2-1cD.-

-75

11.（2021?山東師范大學(xué)附中高一期中）如圖，。是M/C的重心，而=心AC=b，。是邊3c上一點(diǎn)，且麗=4配,

則（）

o

D

___27____27_

A.OD=，+—bB.OD——ab

15151515

__27__27_

C.OD=——a——bD.OD=—aH—b

15151515

12.（2021.全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)。、N、P在AABC所在平面內(nèi)，且|樂|=|礪|=|南而+麗+雨=6,

PAPB=PBPC=PCPA,則點(diǎn)。、N、P依次是AABC的（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心

【雙基達(dá)標(biāo)】

一、單選題

13.（2021.全國?高一課時(shí)練習(xí)）下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（）

（T）（-3）-25=-6a；②2（0+5）-（25-6）=31；

③+25）-（26+1）=0.

A.0B.1C.2D.3

14.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知。是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)尸滿足

OP=OA+A（AB+AC）'2e（0,+oo）,則點(diǎn)P的軌跡一定通過“ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心

C.重心D.垂心

—■2—■

15.（2021.全國?高一課時(shí)練習(xí)）若48=-§BC,則下列各式中不正確的是（）.

___3_______.1_____1__

A.CB=-ABB.BA=2ACC.CA=--BCD.AC=-AB

AB

16.（2021?上海?高一課時(shí)練習(xí)）己知平面上不共線的四點(diǎn)QA8,C,若麗-4麗+3覺="則=等于（）

BC

A.1B.yC.3D.2

17.（2021.全國.高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量方=[,而若冢與窈不共線，且點(diǎn)P在線段45上，|而|：|而|=2,

則OP=（）

B

1一2一B.全+廉c]-2-c2—1一

A.-e.—e)C.uD.曠秀

3132313-

18.（2021?安徽.定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高一階段練習(xí)（文））下列敘述不正確的是（）

A.若共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)九使￡二肪.

B.石=32（￡為非零向量），則2坂共線

^m=3a+4b,n=^a+2b,則力/，

C.

D.若Z+B+"=6,則￡+石=_"

2___1——

19.（2021.福建浦城?高一階段練習(xí)）如圖,在△ABC中，AN=~9P是BN上一點(diǎn)、,若而=，血+]AC,則

).

A.一BcD

6-1-t-i

20.（2021?云南隆陽?高一期中）已知在平行四邊形A5CD中，點(diǎn)E,尸分別在邊43,AO上，連接石尸交AC于點(diǎn)

________19

M,且滿足屁=4麗，AF=3FD,赤=24而一3〃前，則54-5〃=()

A.B.1cD

-4-?

—>T

21.（2021.河南鄭州.高一期末）已知△ABC的邊8C上有一點(diǎn)。滿足BD=-2DC,則啟可表示為（）

T1f2T

A.B.AD=-AB+-AC

AD=-AB+2AC33

T2T1T

C.—>—>—>D.AD=-AB+-AC

AD=2AB-AC33

__I___一2__2__

22.（2021.江西宜春.高一期末）如圖，在AABC中，AN=-NC,戶是BN上的一點(diǎn)，若"=m+—AB+-BC,

99

則實(shí)數(shù)加的值為（）

A

N

A-1C.1D.3

【高分突破】

一：單選題

23.（2021.全國.高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)O,N在所在平面內(nèi)，且|次|=|麗R元I,麗+通+近=6,則點(diǎn)。,N

依次是△ABC的（）

A.重心外心B.重心內(nèi)心C.外心重心D.外心內(nèi)心

24.（2021?湖南?常德市第二中學(xué)高一期末）在等邊中，點(diǎn)E在中線C￡＞上，且CE=6ED,則亞=（）

A.-AC+-ABB,上前-3而C.-AC+-ABD,之配-上麗

77777777

25.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）下列算式中，正確的個(gè)數(shù)為（）

①（-7）x6a=-42a；@a-2b+^2a+2b^=3a；③a+5-（〃+B）=0.

A.0B.1C.2D.3

26.（2021?江蘇省梅村高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）在△ABC中，E為A8邊的中點(diǎn)，。為4c邊上的點(diǎn)，BD,CE交于

點(diǎn)E若AF='A3+,4C,則含的值為（）

A.2B.3C.4D.5

27.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)九B都是非零向量.下列四個(gè)條件中，使￡=2成立的條件是（）

|。|\b\

A.a=-hB.allb

c.a=2bD.?！η也凡稺

28.（2020?全國?高一）點(diǎn)M,N,P在所在平面內(nèi)，滿足就+砒+碇=0,|隔|=|啊=/|,且

PAPB=PBPC=PCPA,則M、N、尸依次是“BC的（）

A.重心，外心，內(nèi)心B.重心，外心，垂心

C.外心，重心，內(nèi)心D.外心，重心，垂心

二、多選題

29.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知4通-3而=/，則下列結(jié)論正確的是（）

A.4,B,C,力四點(diǎn)共線B.C,B,。三點(diǎn)共線

C.\AC\=\DB\D.\BC\=-3\DB\

30.（2021?浙江?嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.^a!lb,bl!c,則￡//）

B.若2西+礪+3反=0，S,AOC，S,.分別表示△AOC,△ABC的面積，則:=1：6

C.兩個(gè)非零向量2B,若|。-4=忖+忖，則萬與在共線且反向

D.若向量@聲6，則1與R一定不是共線向量

31.（2021?河北承德第一中學(xué)高一階段練習(xí)）對(duì)于非零向量:，下列說法正確的是（）

A.2；的長度是；的長度的2倍，且2：與：方向相同

B._且的長度是：的長度的:，且_@與二方向相反

333

C.若2=0,則力:等于零

D.若一日，則入：是與「同向的單位向量

32.（2021?湖南?高一期末）已知AMC的重心為G,過G點(diǎn)的直線與邊AB,AC的交點(diǎn)分別為M,N,若祝=義而巨，

9

且與"8C的面積之比為），則2的可能取值為（）

A.-B.-C.-D.3

323

33.（2021?福建三明?高一期中）八卦是中國文化中的基本哲學(xué)概念，如圖①是八卦模型圖，其平面圖形記為圖②中

的正八邊形ABCDE尸G”,其中。4=1,則下列結(jié)論中正確的是（）

①②

uuwuuuB.OAOD=-^-

A.ADIIBC

2

C.OB>OD=0D.府卜a-0

三、填空題

34.（2021?全國,高一課時(shí)練習(xí)）已知。，E,F分別為AABC的邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，BC=a,CA=b.給出下列

五個(gè)命題：①髭二+力；②*=￡+/；③行=二-y+y；④標(biāo)=-：￡-/；⑤通+詼+存其中正

確的命題是.（填序號(hào)）

35.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）在平行四邊形ABCZ）中，DE=^EC,BF=FC,若撫=2建+”而，其中九蚱H,

貝！］%+〃=.

36.（2021?上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知AABC中，點(diǎn)。在邊AB上，且=設(shè)荏=￡,

BC=b，那么而等于（結(jié)果用￡、B表示）

_____,.、E,、L-.E、,一，一，.UU1UUU1.—一_111U

37.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)平面L內(nèi)四邊形ABC。及任一點(diǎn)O,OA=a,OB=b.OC=c,OD=d.若a+c=b+d

且|-司=|￡-21.則四邊形ABCD的形狀是

四、解答題

38.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形ABCD中，已知通=￡+2心BC=-4a-h,CD=-5a-3h,其中九坂是

不共線的向量，試判斷四邊形A8C。的形狀.

39.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算:

(1)3便-35)-2伍萬+5)；

(2)4(a-3^+5c)-2(-3?-6^+8c).

40.（2021?全國?高—一課時(shí)練習(xí)）（1）已知：=3；+2］，1=2；-，，求+

(2)已知向量q,匕，且5x+2y=a，3x-y=b,求x，y-

—,9__

41.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在AABC中，D,尸分別是BC,AC的中點(diǎn)，AE=-AD,麗=￡,AC=b.

（1）用2，B表示而，AE,AF-BE<BF;

（2）求證：B,E,F三點(diǎn)共線.

42.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在A43C中，D是BC邊上一點(diǎn)、,G是線段AZ）上一點(diǎn)，且gg=芻2=2,

（1）用向量而，而表示4萬.

AQ0AC

（2）試問笠+筆是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

AEAF

【答案詳解】

1.D

【分析】

根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算判斷AB選項(xiàng)的正確性，通過加的特殊情況判斷C選項(xiàng)的正確性，根據(jù)向量運(yùn)算判斷D選項(xiàng)的正

確性.

【詳解】

由題意，向量￡,b＞實(shí)數(shù)加，?（〃片0）,

由向量的運(yùn)算律可得，m（a-b^ma-mb,故選項(xiàng)A正確；

由向量的運(yùn)算律可得，（m-n）a=ma-na,故選項(xiàng)B正確；

若機(jī)2=6，因?yàn)?7*0,則￡=6，故選項(xiàng)C正確：

當(dāng)a=6時(shí)，ma=na＞此時(shí)機(jī)和"不一定相等,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：D.

2.A

【分析】

根據(jù)已知條件結(jié)合￡=利用向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】

3（a+2b）-2（3b+c）-2（a+b）

—3a+6b—6b—2c—2a—2b

=a-2b-2c=b+c-2b-2c=-

故選：A.

3.B

【分析】

①②結(jié)合平面向量的數(shù)乘運(yùn)算即可判斷，③④舉出反例即可說明.

【詳解】

對(duì)于①：根據(jù)數(shù)乘向量的法則可得：，=加萬④，故①正確；

對(duì)于②：根據(jù)數(shù)乘向量的法則可得：（m-〃）&=楨-欣，故②正確：

對(duì)于③：由=,高可得加①-5）=6,當(dāng)，"=0時(shí)也成立，所以不能推出萬=6,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④：由，汨=〃1可得（"?-〃）萬=0,當(dāng)a=6，命題也成立，所以不能推出，”=〃.故④錯(cuò)誤;

故選：B

4.A

【分析】

利用向量運(yùn)算化簡已知條件，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

依題意（而-麗）?（而+麗-2麗=0,

CB\OB-bA+bC-OA]=G,

^AB-AC^AB+AC^=AB2-AC'=0,

所以卜@=|才@nc=b,所以三角形ABC是等腰三角形.

故選：A

5.C

【分析】

由向量的加法運(yùn)算得到麗=宓+而+而，進(jìn)而利用中點(diǎn)的條件，轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系，化簡整理即得.

【詳解】

MN=MA+AB+BN=-EA+AB+-BD

22

=；（麗+碼+；（而+到

1—.1——11

=—EB+-AD=-a+-b,

2222

故選：C

6.A

【分析】

由已知得到4戶=§福,8。=§配.利用方=而_麗，得至IJ麗=§而，利用用=方+兩及元=前-福和平面

向量的線性運(yùn)算法則運(yùn)算即得.

【詳解】

--1—.—?1—.

由已知可得AP=§AB,BQ=-BC.

c

________i__2__

PB=AB-AP=AB——AB=-AB,

33

PQ=PB+BQ=-AB+-BC=-AB+-(AC-AB}=-AB+-AC=-a+-b.

3333、>3333

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，是基礎(chǔ)題，只要熟練掌握平面向量的加減數(shù)乘運(yùn)算法則,并注意將有關(guān)向量轉(zhuǎn)化為基

底向量表示，即可得解.

7.B

【分析】

利用向量運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

依題意AABC中，AD.BE、CF分別是BC、C4、A3上的中線，

所以G是三角形A8C的重心.

—,2—?

所以=A選項(xiàng)正確.

___1-.

DG=--AGfB選項(xiàng)錯(cuò)誤.

1__7_________1___

-DA+-FC=DG+GC=DC=-BC,C選項(xiàng)正確.

CG=-2FG>D選項(xiàng)正確.

故選：B

8.C

【分析】

根據(jù)平面圖形的性質(zhì)以及平面向量的基本定理和線性運(yùn)算，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可求出入〃的值，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】

1X01

IL1I21UU

因?yàn)?。為線段3c上一點(diǎn)，CD=2DB,所以=+且E為的中點(diǎn)，所以

=+=+,又因?yàn)橥?+因止匕4//=—,所以2+〃=，，

22133736362

故選：C.

9.B

【分析】

根據(jù)向量的加法運(yùn)算可得EM=或+兩和減法運(yùn)算可得而=麗-恁，結(jié)合條件，可得答案.

【詳解】

一—.2—?

由EC=2AE，則EC=—AC

3

則由'=配+兩=-AC+-CB=-AC+-（AB-AC）=-AB+-AC

323226

10.B

【分析】

題目考察三角形四心的問題，易得：。為三角形的重心，位于中線的三等分點(diǎn)處，從而求出三角形面積的比例關(guān)系

【詳解】

如圖所示，由函+礪+反=6得：。為三角形ABC的重心，是中線的交點(diǎn),

21

且A。=—AD,所以，\oBC:aABC=~?底邊為BC,

所以，SqOBC:SjBC=hoBC:h.ABC=]

故選：B

11.A

【分析】

由。是AABC的重心，可知麗=-g（麗+肥），又麗=麗+麗，麗=［型，前=就一通，化簡即可.

【詳解】

由O是AABC的重心，可知08=-+8C）,

______4—―.____

y.OD=OB+BD,BD=-BC,BC=AC-AB,

故而=礪+而=_g（而+冊(cè)）+：於=_；麗+（比

西-而）=_［而+1尼=-孑+浜,

=-AB

3

故選：A.

12.C

【分析】

由I西|=|麗H反I知。是AABC的外心；利用共起點(diǎn)向量加法將麗+血+標(biāo)=6變形為共線的兩向量關(guān)系，得到

N點(diǎn)在中線上的位置，從而判斷為重心；由麗?麗=麗.無移項(xiàng)利用向量減法變形為麗.西=0,得出P8為CA

邊上的高，同理得PC為AB邊上的高，故為垂心.

【詳解】

■.\OA^OB\=\OC\>則點(diǎn)。到AABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，

二。是AABC的外心.

■.■NA+NB+NC=6>：.NA+NB=-NC，

設(shè)線段4B的中點(diǎn)為M,則2麗=-而，由此可知N為AB邊上中線的三等分點(diǎn)（靠近中點(diǎn)M）,所以N是的

重心.

:PA.PB=PBPC<PB-（PA-PC'）=PBCA=0.

即廂同理由方?方=定?⑸，可得定，福.

所以P是AABC的垂心.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)于AABC四心的向量關(guān)系式：

。是“ABC的外心=|況1=1而1=1反Io函2=礪2=無2；

。是A/WC的重心=況+赤+元=0；

。是A/WC的垂心O西?麗=麗?瓦=覺?西；

。是A/WC的內(nèi)心04況+%而+C反=祝（其中a、b、c為“ABC的三邊）

13.C

【分析】

利用平面向量的加法，減法，數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律判斷.

【詳解】

①（-3>2。=-6那由數(shù)乘運(yùn)算知正確；

@2（a+b）-（2b-a）=3a,由向量的運(yùn)算律知正確；

③伍+24-（25+耳=6,向量的加法，減法和數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果是向量，故錯(cuò)誤.

故選：C

14.C

【分析】

取8C的中點(diǎn)3,由已知條件可知?jiǎng)狱c(diǎn)P滿足協(xié)=&+2（/內(nèi)+n），Ae（0,4oo）,易得&>=2/1&>，則點(diǎn)A。，尸三

點(diǎn)共線，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡一定通過AABC的重心.

【詳解】

解：設(shè)。為BC的中點(diǎn)，則濟(jì)&+/）=&+2/1八，

則協(xié)_&=24啟，即/=24八，

A2P三點(diǎn)共線，

又因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，所以AO是邊8c的中線，

所以點(diǎn)P的軌跡一定通過AABC的重心.

故選：C.

15.D

【分析】

根據(jù)向量的數(shù)乘的定義判斷.

【詳解】

如圖，由而=-（而知C在54延長線上，且|4:|=]|4回，

因此由向量數(shù)乘定義知ABC三個(gè)選項(xiàng)均正確，D錯(cuò)誤.

CAB

故選：D.

16.C

【分析】

由已知可得麗-麗=3（麗-反），即一荏=一3阮，從而可得答案.

【詳解】

解：由麗-4萬+3反=6,得況-麗=3（麗一說），即一通=-3及，

所以網(wǎng)=3|配即（|=3,

故選：C.

17.C

【分析】

根據(jù)向量線性關(guān)系的幾何意義得到而，礪，礪的線性關(guān)系，即可知正確選項(xiàng).

【詳解】

由麗=麗+而，麗=3麗麗=麗-麗，

______2______o1_2—.

/.OP=0A+{OB-OA）=e]+3（4.

故選：C

18.A

【分析】

選項(xiàng)A：要注意B=6時(shí)不成立；

選項(xiàng)B：由5=32得到￡石方向相同，從而得到共線；

選項(xiàng)C：由條件得到m=2n從而mlIn；

選項(xiàng)D：通過移項(xiàng)可知選項(xiàng)D顯然正確.

【詳解】

選項(xiàng)A：當(dāng)5=6時(shí)，滿足Z5共線，但不滿足存在唯一的實(shí)數(shù)九使3二后成立，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)九使￡二肪成立,

所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：若石=32,則￡出方向相同，所以％坂共線，所以選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C：因?yàn)閚t=3a+4B=2ga+25）=2〃，所以所以選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D：若￡+各+"=6，則2+5=-"，選項(xiàng)D正確.

故選：A.

19.A

【分析】

由向量的線性運(yùn)算可得而=，通+之麗，再由平面向量共線定理的推論即可得解.

【詳解】

因?yàn)榍?]前，所以麗=不沅，

1——.15—-―-5—?

所以而=z通+—AC=/AB+—x—AN=l43+-AN,

3326

又P是BN上一點(diǎn)，所以小3=1,解得"二

60

故選：A.

20.D

【分析】

因?yàn)镋,F,M三點(diǎn)共線，故可考慮將麗7用荏,/表示，再結(jié)合三點(diǎn)共線滿足的性質(zhì)計(jì)算即可

【詳解】

因?yàn)槎?而+而，

所以麗=2AAB-3/JAC=2AAB-3JU{AB+AD')=(2Z-3ju)AB-3/zAD.

—.4—?

因?yàn)槲?4麗，AF=3FD，故AB=5AE,AO=§AF,

所以赤=5(22-3〃)通-4//AF.

因?yàn)镋,F,M三點(diǎn)共線，所以5(22-3必)-4〃=1,102-19^=1,所以19=j1

故選：D

21.A

【分析】

由已知得出向量8c與向量8。的關(guān)系，再利用平面向量基本定理即可求解.

【詳解】

因?yàn)閊ABC的邊BC上有一點(diǎn)Z)滿足BD=-2DC,

->-?—>1-?

所以應(yīng)>=2員>，貝IJ8C=BD+OC=嚴(yán)，

用「以AD=A8+BD=AB+2BC=AB+2(AC—AB)=-AB+2AC，

故選：A

22.A

【分析】

利用向量的線性運(yùn)算將條件而=(*)而+|前化為通=加通+河，再根據(jù)B、P、N三點(diǎn)共線，得出Y=1,

解得〃2=)

【詳解】

由題意可知，麗=；祝，所以前=4麗，

X—tnAB+-AC,BPAP=mAB+-AN.

99

O1

因?yàn)?、尸、N三點(diǎn)共線，所以，〃+§=l,解得，〃=§.

故選：A.

23.C

【分析】

由外心。到三角形頂點(diǎn)距離相等、重心N的性質(zhì)：而+前=2而且麗=2和，結(jié)合題設(shè)即可判斷0，N是△ABC

的哪種心.

【詳解】

：|兩=|函=屈|,

。到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故。是△ABC的外心，

如下圖，若N是aABC三條中線的交點(diǎn)，AO是3c上的中線，

ANB+NC=2ND,又俞=2雨，

.,.NA+NB+NC=0,故題設(shè)中的N是△ABC的重心.

故選：C

24.A

【分析】

利用向量的加、減以及數(shù)乘運(yùn)算即可求解.

【詳解】

因?yàn)?月=其6+醞=4乙+205=*+9（而_/），AD=-AB,

772

―.1—3—

所以AE=—AC+—A8.

77

故選：A

25.C

【分析】

由平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算可判斷①②③的正誤.

【詳解】

對(duì)于①，（―7）x62=T2￡,①正確；

對(duì)于②，a-2b+[2a+2b^-3a,②正確；

對(duì)于③，a+b-（^+b）=O,③錯(cuò)誤.

故選：C.

26.C

【分析】

設(shè)而=彳而，可得衣=]血+]/lAEi,由B,F,。三點(diǎn)在同一條直線上，可求得力的值，即可得解.

【詳解】

T&AC=AAD，

因?yàn)?=之通+」就，

77

-.3—1__

所以AF=-A8+—2AD,

77

因?yàn)?,F,。三點(diǎn)在同一條直線上，

31

所以三十三丸=1，所以4=4,

77

所以A黑C=4.

AD

故選：C

27.C

【分析】

ab

根據(jù)同、同的含義，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】

ab

同、M分別表示與人石同方向的單位向量，

11Clb

對(duì)于A：當(dāng)4=時(shí)，HI=-F|,故A錯(cuò)誤；

H\b\

對(duì)于B：當(dāng)二〃力時(shí)，若￡出反向平行，則單位向量方向也相反，故B錯(cuò)誤；

￡2bb

對(duì)于C：當(dāng)4=2?時(shí)，同=網(wǎng)=何，故C正確；

對(duì)于D：當(dāng)?！?且同咽時(shí)，若?！?jié)M足題意，此時(shí)百=-j，故D錯(cuò)誤.

故選：C

28.B

【分析】

由三角形五心的性質(zhì)即可判斷出答案.

【詳解】

解：MA+MB+MC=O<--MA+MB=-MC,

設(shè)A3的中點(diǎn)。，^\MA+MB=2MD，

：.C,M,。三點(diǎn)共線，即M為AABC的中線8上的點(diǎn)，且MC=2MD.

為AABC的重心.

T網(wǎng)=|而|=|宿,

L=|NB|=|NC|,

.?.N為AA3c的外心；

,-'PA.PB=PB.PC,

PB.(PA-PC)=O,

即方.和=0,..PB1AC,

同理可得：PA1BC,PC1AB,

..P為AABC的垂心；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形五心的性質(zhì)，平面向量的線性運(yùn)算的幾何意義，屬于中檔題.

29.BD

【分析】

由4荏-3而=/可得3麗=1，從而可對(duì)ABD進(jìn)行判斷，再對(duì)，4荏-3而=/變形化簡可對(duì)C進(jìn)行判斷

【詳解】

因?yàn)?麗-3而=而，所以3通-3亞=前-麗，

所以3而=元，

因?yàn)槎?，詼有公共端點(diǎn)5,所以C,B,。三點(diǎn)共線，且|而|=3|而所以BD正確，A錯(cuò)誤，

由4荏-3瓶=/，^AC=3AB-3AD+AB=3DB+AB，所以國。月所以C錯(cuò)誤，

故選：BD

30.AD

【分析】

A向量平行傳遞性的前提是都為非零向量；B若2E分別是ACBC的中點(diǎn)，結(jié)合已知得詼=一2而，再過E,O,3

作AC上的高，由線段比例確定高的比例關(guān)系即可；C由向量反向共線的性質(zhì)即可判斷；D根據(jù)共線向量的定義即

可判斷.

【詳解】

A：如果1忑都是非零向量，而日=0,顯然滿足已知條件，但是結(jié)論不一定成立，錯(cuò)誤；

B：若RE分別是AC,BC的中點(diǎn)，由題設(shè)有2（歷（+3）+（而+/）=0,即4而+2胡=6，OE=-2OD，所以

,」九1九1h.1

0,。,￡：三點(diǎn)共線且0￡=2。。，過EOI作AC上的高々，生f—f，易知片=不管=彳，則丁=2,所以

匕342%6

S4AOC：S"BC=1：6,正確；

c：兩個(gè)非零向量1五，若|。-4=忖+忖，則「與在共線且反向，正確；

D：若向量。則1與5可能是共線向量，如相反向量，錯(cuò)誤.

故選：AD

31.ABD

【分析】

對(duì)于選項(xiàng)ABD可以直接利用向量和數(shù)乘向量的定義判斷，對(duì)于選項(xiàng)C,42等于零向量，不是零，故C錯(cuò)誤.

【詳解】

解：對(duì)于A：2：的長度是；的長度的2倍，且2：與；方向相同，故A正確;

f41

對(duì)于B：_巴的長度是「的長度的9,且_烏與「方向相反，故B正確；

333

對(duì)于C：若2=0,則等于零向量，不是零，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若一口，則彳；是與；同向的單位向量，故D正確.

故選：ABD

32.BD

【分析】

設(shè)/=￡麗，利用重心的性質(zhì)，把而用赤、而表示，再由M,G,N三點(diǎn)共線得關(guān)于2,/的方程，再由三

角形面積比得關(guān)于2,f的另一方程，聯(lián)立即可求得實(shí)數(shù)幾的值.

【詳解】

解：如圖，?.?旃7=4麗=〃而-而），，而=上二而，即麗=?■而，設(shè)/=/麗，則

1+22

衣=［（通+記=^^而+［存，

3323

vG、N三點(diǎn)共線，=2——,

3A3A,

所以46=（2-；卜獷，:.AAMN與的面積之比為玲，.?。阿砌的4=梟?網(wǎng)邳inA,即

（2-：（/化簡得2笳-92+9=0,解得4=1■或3.

故選：BD

33.ABC

【分析】

jr

結(jié)合正八邊形的特點(diǎn)，分為8個(gè)全等的三角形，將圓周角分為8份，每個(gè)圓心角為f.

結(jié)合向量的計(jì)算法則，即可得出結(jié)果.

【詳解】

UUU1LILIU

A.正八邊形ABC0EFGH中，AD//BC,那么AO//8C，故A對(duì)；

B.C>X-OD=|OA|-|dD|cos^=-^,故B對(duì)；

______UUQ1冗,___

C.而與0。夾角為,，故麗.而=0，故C對(duì);

D.IAf|=|()F-OA|=yl(OF-OA)2=ylOF2+OA-2OFOA=5/2+V2,故D錯(cuò);

故選：ABC

34.②③④⑤

【分析】

根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得;

【詳解】

uunuuuiuuruiruimrr

解：因?yàn)榉?￡,CA=b,所以48=AC+C8=—CA+=-a-b

1一1

BE=BC+CE=BC+-CA=a+-b,CF=CA+AF=CA+-AB=b+-(-a-b\=-—a+—br,

22222

衣=；麗」(一￡一立=一

Ab+B巨+cF=

=^[AB+AC+BA+BC+CA+CB:)4(AB4-AC-AB4-BC-AC-BC)=6,即而+爐+前=6，即正確的有:

②③④⑤

故答案為：②③④⑤

35??

【分析】

4+

利用向量的加減法及數(shù)乘化簡可得前=