應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) 第5章 -參數(shù)估計(jì)

《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章參數(shù)估計(jì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的基本概念第二節(jié)統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布第三節(jié)參數(shù)估計(jì)第四節(jié)樣本容量的確定應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)CONTENTS目錄第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的基本概念應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)全及總體和抽樣總體全及總體：研究對(duì)象的全體稱為全及總體，簡(jiǎn)稱總體，總體容量用N表示抽樣總體：從全及總體中按隨機(jī)原則抽取一部分單位所構(gòu)成的集合體，簡(jiǎn)稱子樣或樣本，樣本容量用n表示。當(dāng)n>30時(shí)，稱為大樣本，當(dāng)n<30時(shí)，稱為小樣本，n/N稱為抽樣比例。無(wú)特殊說(shuō)明，以下所說(shuō)的樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)總體指標(biāo)和樣本指標(biāo)總體指標(biāo)：根據(jù)全及總體計(jì)算的綜合指標(biāo)稱為總體指標(biāo)，主要有全及平均數(shù)全及成數(shù)、全及方差和全及標(biāo)準(zhǔn)差樣本指標(biāo)：根據(jù)抽樣總體計(jì)算的綜合指標(biāo)稱為抽樣指標(biāo)主要有樣本平均數(shù)、樣本成數(shù)、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)總體指標(biāo)和樣本指標(biāo)的關(guān)系總體指標(biāo)是唯一確定的，但往往是未知的，稱為總體參數(shù)樣本指標(biāo)不是唯一的，是隨樣本不同而變化的隨機(jī)變量，但抽取出樣本后可以計(jì)算其數(shù)值.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣：指從總體中隨機(jī)抽出一個(gè)單位記錄其特征后，再放回總體參加下一次抽選，每次抽取時(shí)總體單位數(shù)相同不重復(fù)抽樣：從總體中隨機(jī)抽出一個(gè)單位記錄其特征后，不再放回總體中，下一個(gè)樣本單位再?gòu)挠嘞碌目傮w單位中抽取，每次抽取時(shí)總體單位數(shù)不相同應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)量：設(shè)是總體的樣本，

是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，若此函數(shù)不含任何未知參數(shù)，則稱函數(shù)

為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量典型舉例：樣本均值：

樣本方差：

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布經(jīng)典分布：0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布要點(diǎn)回顧：若統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)可表示為：

則稱該統(tǒng)計(jì)量服從均值為，方差為的正態(tài)分布，記作

分布：設(shè)是相互獨(dú)立的，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，令：，則稱服從自由度為n的分布，記作

分布的特性：1.可加性：若，且相互獨(dú)立，則有： 2.分布曲線形狀隨僅隨n變化（自由度）應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)不同自由度條件下的分布圖示應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)分布：若，且和是相互獨(dú)立的，則稱：

服從自由度為n的分布，記作：

分布性質(zhì)：1.分布關(guān)于對(duì)稱 2.分布曲線的形狀隨自由度n的變化而變化應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)分布：若，且和是相互獨(dú)立的，則稱：

服從自由度為

的分布，記作：

分布性質(zhì)：1.若，則

2.分布曲線是右偏型，隨自由度變化

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且每個(gè)隨機(jī)變量都滿足均值為、方差為，則有當(dāng)充分大時(shí)，近似的服從。該定理說(shuō)明，只要充分大，不論總體是否服從正態(tài)分布，其樣本均值都近似的服從正態(tài)分布。中心極限定理應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中心極限定理證明了只要樣本容量充分大，不論全及總體的變量分布是否屬于正態(tài)分布，其抽樣平均數(shù)趨于正態(tài)分布，為抽樣推斷和估計(jì)提供了重要的理論依據(jù)。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且每個(gè)隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布，即，則有：（1）

（2）（3）

（4）抽樣分布定理應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)第三節(jié)參數(shù)估計(jì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)估計(jì)是抽樣推斷的重要內(nèi)容之一，參數(shù)估計(jì)是如何用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，如利用樣本均值去估計(jì)總體均值、利用樣本方差去估計(jì)總體方差。參數(shù)估計(jì)有兩種基本方法，一種是點(diǎn)估計(jì)，另一種是區(qū)間估計(jì)。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)基于總體的一個(gè)樣本來(lái)估計(jì)總體分布中未知參數(shù)的值的問(wèn)題稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)符號(hào)聲明：：待估計(jì)的參數(shù)

：稱為的估計(jì)量

：稱為的估計(jì)值

估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，估計(jì)值是一個(gè)數(shù)值一、點(diǎn)估計(jì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)二、區(qū)間估計(jì)設(shè)總體的分布函數(shù)為，其中為未知參數(shù)，是來(lái)自總體

的樣本，對(duì)于給定值，確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量以及

，其中，若滿足：則稱區(qū)間是總體參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間（區(qū)間估計(jì)），其中和分別稱為置信下限和置信上限，稱為置信水平應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)區(qū)間估計(jì)的類型（1）總體服從從正態(tài)分布，當(dāng)已知時(shí)，求的置信區(qū)間（2）總體服從從正態(tài)分布，當(dāng)未知時(shí)，求的置信區(qū)間（3）非正態(tài)總體或總體分布未知時(shí)，求的置信區(qū)間（4）大樣本容量下的總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)（5）正態(tài)分布總體條件下的總體方差區(qū)間估計(jì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)設(shè)是來(lái)自總體的樣本，且總體，其中已知，則對(duì)于給定的置信度，的置信區(qū)間為：

簡(jiǎn)記為：總體服從從正態(tài)分布，當(dāng)已知時(shí)，求的置信區(qū)間應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)設(shè)是來(lái)自總體的樣本，且總體，其中未知，則對(duì)于給定的置信度，的置信區(qū)間為：

簡(jiǎn)記為：總體服從從正態(tài)分布，當(dāng)未知時(shí)，求的置信區(qū)間應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)為了估計(jì)一分鐘一次廣告的平均費(fèi)用，抽出了35家電視媒體的隨機(jī)樣本。樣本均值為20000元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為3000元。假定電視臺(tái)一分鐘一次的廣告費(fèi)近似服從正態(tài)分布，試計(jì)算總體均值的置信度為95%的置信區(qū)間。課堂練習(xí)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)解：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)當(dāng)總體分布未知，僅知道總體方差時(shí)，根據(jù)中心極限定理，當(dāng)充分大時(shí)，樣本均值近似服從正態(tài)分布，此時(shí)，對(duì)于給定的置信度，總體均值的置信區(qū)間為：非正態(tài)總體或總體分布未知時(shí)，求的置信區(qū)間應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)實(shí)際工作中，需要估計(jì)某種特征的單位數(shù)占總體全部單位數(shù)的比例，被成為總體成數(shù)，記為P。例：一批電子元件的合格率，中央電視臺(tái)某電視欄目的收視率，某城鎮(zhèn)全部家庭中夫妻不和家庭數(shù)所占的比例等等。把樣本中某種特征的單位數(shù)占樣本全部單位數(shù)的比例稱為樣本成數(shù)，記為p.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)1. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z3.總體比例

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布總體條件下的總體方差區(qū)間估計(jì)設(shè)總體服從或近似服從正態(tài)分布，是來(lái)自總體的樣本，則可知統(tǒng)計(jì)量，對(duì)于給定的置信度，總體方差的置信區(qū)間為：簡(jiǎn)化可得：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)第四節(jié)樣本容量的確定應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)當(dāng)利用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)時(shí)，第一步需要確定的就是樣本容量，正確的確定樣本容量，不但能節(jié)約抽樣調(diào)查消耗，而且能有效地控制抽樣誤差應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)影響樣本容量的因素1.被研究總體的標(biāo)志值變動(dòng)程度：體現(xiàn)為總體的方差較大，則需要進(jìn)行較大樣本容量的抽樣2.允許的誤差范圍：若要求推斷的精度較高，則需要較大樣本容量的抽樣3.抽樣推斷的可信程度：可以理解為置信度應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)測(cè)定均值的樣本單位數(shù)在重復(fù)抽樣時(shí)，當(dāng)，已知時(shí)，或非正態(tài)總體、總體分布未知時(shí)的大樣本情形，總體均值的置信區(qū)間可表示為：

或此時(shí)允許誤差的公式可表示為：進(jìn)而可推出測(cè)定均值的樣本單位數(shù)應(yīng)為：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)測(cè)定成數(shù)的樣本單位數(shù)在重復(fù)抽樣時(shí)，大樣本條件下，總體成數(shù)π的置信區(qū)間可表示為：

此時(shí)允許誤差的公式可表示為：進(jìn)而可推出測(cè)定均值的樣本單位數(shù)應(yīng)為：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)現(xiàn)實(shí)中總體成數(shù)π往往是未知的，可采用以下替代方法：（1）

用類似的同類資料或歷史資料作為近似值，