專題04等式與不等式（15個(gè)考點(diǎn)梳理12題型解讀提升訓(xùn)練）

專題04等式與不等式【清單01】等式的性質(zhì)（1）等式的兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍然成立.（2）等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍然成立.【清單02】恒等式1.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立．則稱其為恒等式，也稱兩邊恒等.注意：恒等式是進(jìn)行代數(shù)式變形的依據(jù)之一.2.恒等式：（x+a)(x+b）=x2+(a+b)x+ab；（ax+b)(cx+d）=acx2+(ad+bc)x+bd【清單03】方程的解集方程的解（或根）是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，一般地，把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集.【清單04】一元二次方程的解集1.配方法解方程（1）配方（2）一元二次方程的解集：（3）一元二次方程的判別式：Δ=b24ac【清單05】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的兩根記作x1，x2則【清單06】方程組的解集1.一般地，將多個(gè)方程聯(lián)立，就能得到方程組，方程組中，由每個(gè)方程的解集得到的交集稱為這個(gè)方程組的解集2.方程組的解法：代入消元法、加減消元法.發(fā)現(xiàn)：當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集可能含有無(wú)窮多個(gè)元素.此時(shí)，如果講其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其它未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來(lái).【清單07】不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：a>b?a＋c>b＋c性質(zhì)2：a>b，c>0?ac>bc性質(zhì)3：a>b，c<0?ac<bc性質(zhì)4：a>b?b<a；a<b?b>a（不等式的傳遞性）性質(zhì)5：a>b?b<a；a<b?b>a推論1：a+b>c?a>cb（移項(xiàng)法則）推論2：a>b，c>d?a＋c>b＋d（同向可加，不等號(hào)方向不變.可推廣）推論3：a>b>0，c>d>0?ac>bd推論4：a>b>0，n∈N*?an>bn（n∈N,n>1）推論5:a>b>0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)【清單08】證明不等式的方法1.作差法：一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．2.綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法.3.反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立.4.分析法：推理形式是“要證（結(jié)論）p,只需證明q”，可以表示為p?=q5.作商法：當(dāng)明確比較內(nèi)容均為正時(shí)，可利用作商法，一般步驟：①作商；②變形；③與1比較；④結(jié)論．【清單09】不等式的重要結(jié)論1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【清單10】不等式的解集與不等式組的解集1.能夠使不等式成立的未知數(shù)的值稱為不等式的解，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.2.不等式組中各個(gè)不等式解集的交集稱為不等式組的解集.【清單11】絕對(duì)值不等式1.絕對(duì)值的概念：．2.含有絕對(duì)值的不等式稱為絕對(duì)值不等式．3.常見(jiàn)絕對(duì)值不等式的解（1）形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．（2）形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式①絕對(duì)值不等式|x|>a與|x|<a的解集②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．4.如果實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B，即A（a）,B(b)，線段AB的中點(diǎn)M（x）則(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式:AB=|ab|(2)數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式:5.拓廣：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a<b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【清單12】一元二次不等式的解法1.概念：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．2.形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3.一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.4.一元二次不等式的常見(jiàn)解法（1）因式分解法；（2）配方法；（3）解一元二次不等式的一般步驟①化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．②判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．③求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根．④寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．【清單13】分式不等式的解法1.定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式.2.常見(jiàn)類型：eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)<0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)>0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))【清單14】均值不等式1.設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為2.均值不等式：（1）當(dāng)a>0，b>0時(shí)有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．（2）基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．（3）幾何意義：①如果矩形的長(zhǎng)、寬分別為a,b，那么矩形的面積是ab,可以看成與矩形周長(zhǎng)相等的正方形的面積，均值不等式的幾何意義為：所有周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形面積最大.②如圖所示的半圓中，AB為直徑，O為圓心，AC=a，BC=b,D在半圓上，DC⊥AB，計(jì)算可得OD=，CD=,a≠b時(shí)，>a=b時(shí)，=【清單15】均值不等式與最值1.已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值（簡(jiǎn)記：和定積最大）．(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值（簡(jiǎn)記：積定和最?。貏e提醒：應(yīng)用條件：一正、二定、三相等，缺乏一條都不行！2.常用推論：（1）（）（2）（，）；（3）【考點(diǎn)題型一】等式的性質(zhì)與方程的解【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知等式對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，求所有滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)的集合.【答案】.【分析】根據(jù)恒成立，將式子變形為對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，即可由且求解.【詳解】由于對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，則對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，因此且，所以，當(dāng)，當(dāng)，故滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)的集合為【變式11】（2324高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）利用十字相乘法分解因式【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】原式各項(xiàng)利用十字相乘法分解即可．【詳解】.故答案為：.【變式12】（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）方程的解集為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】方程與不等式【分析】直接解方程即可.【詳解】由.故答案為：【變式13】（2324高一·上?！ふn堂例題）設(shè)，求關(guān)于x的方程的解集.【答案】當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】根據(jù)和分類討論求解方程即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)，方程的解為，此時(shí)解集為；綜上，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.【變式14】（2324高一·上?！ふn堂例題）設(shè)a、b、c、d是實(shí)數(shù)，判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：(1)若，則；(2)若，則；(3)若，則或；(4)若，且，則.【答案】(1)假命題(2)真命題(3)真命題(4)真命題【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)與方程的解【分析】結(jié)合真假命題的定義，根據(jù)等式的性質(zhì)逐一判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）若，則，假命題；（2）由，且，所以，真命題；（3）若，則或，真命題；（4）設(shè)，則，所以，又，所以，真命題.【考點(diǎn)題型二】一元二次方程及其根與系數(shù)關(guān)系【例2】（2324高一·上海·課堂例題）已知方程的兩個(gè)根為、，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理及計(jì)算可得；（2）根據(jù)韋達(dá)定理及計(jì)算可得；（3）根據(jù)韋達(dá)定理及x1（4）根據(jù)韋達(dá)定理及計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?、是方程的兩個(gè)根，所以，，所以.（2）.（3）.（4）.【變式21】（2023高一·全國(guó)·課后作業(yè)）方程的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的表示方法求解.【詳解】方程的解為,所以方程的解集是，故選:C.【變式22】（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，是方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A． B．2C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】利用韋達(dá)定理求出，，再將通分代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€(gè)根，顯然，則，，所以.故選：D【變式23】（2324高一上·北京·階段練習(xí)）方程的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】原方程等價(jià)于，求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，解得?舍)，由，解得或，所以原方程的解集為.故選：C.【變式24】（2526高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】根據(jù)韋達(dá)定理即可求解.【詳解】為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，,，故則，，解得．符合題意．故答案為：1【考點(diǎn)題型三】方程組的解集【例3】（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列關(guān)于方程組的解的說(shuō)法中正確的是（

）．A．該方程一定有唯一解 B．該方程沒(méi)有解C．時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解 D．時(shí)，方程有唯一解【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】方程組的解【分析】分類討論的值，再分別判斷線性方程組解的情況即可.【詳解】由題意得，，即，當(dāng)時(shí)，不成立，方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，方程組有唯一解.故選：D.【變式31】（2324高一上·北京·階段練習(xí)）方程組解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解方程組，用列舉法表示解集.【詳解】方程組，解得或，所以方程組解集是.故選：C【變式32】（2324高一上·北京房山·期中）方程組的解集為．【答案】【分析】解方程組即可求解.【詳解】解方程組得，所以方程組的解集為.故答案為：.【變式33】（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）解關(guān)于x，y的方程組．【答案】答案見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】方程與不等式、方程組的解【分析】分類討論，后運(yùn)用二元一次方程組的解法解題即可.【詳解】當(dāng)時(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，兩式相減，解得,綜上所得，當(dāng)時(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解集為【變式34】（2324高一·上?！ふn堂例題）設(shè)，求關(guān)于與的二元一次方程組的解集．【答案】答案見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】方程組的解【分析】?jī)墒阶鞑畹玫?，再?duì)和分兩種情況討論。即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑑墒较鄿p，得到，當(dāng)時(shí)，，代入方程組中的第一式，得到，此時(shí)，原方程組的解集為，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，從而原方程組無(wú)解，其解集為空集.【考點(diǎn)題型四】不等式性質(zhì)及其應(yīng)用【例4】（多選）（2324高一上·福建福州·期中）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用不等式的性質(zhì)一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，可知，不等式兩側(cè)同乘以，有，故B正確；對(duì)于C，利用作差法知，由，，知，即，故C正確；對(duì)于D，由，知，由不等式同向可加性的性質(zhì)知D正確.故選：BCD【變式41】（2324高一下·安徽蕪湖·開(kāi)學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)m，n，p滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)題意,將所給等式變形,得到,推導(dǎo)出,然后利用作差法比較大小,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)證出,從而得出正確結(jié)論.【詳解】因?yàn)?移項(xiàng)得,所以,可得,由,得,可得,可得.綜上所述,不等式成立,故選:B.【變式42】（多選）（云南省州20242025學(xué)年高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷）下列命題是真命題的為（

）A．若，則B．若，則C．若且，則D．若且，則【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】由已知條件結(jié)合不等式的性質(zhì)，判斷結(jié)論是否正確.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，取，，，，則，，所以，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，有，則，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則，又因?yàn)?，由不等式的性質(zhì)可得，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若且，則，所以，，D選項(xiàng)正確．故選：BCD．【變式43】（多選）（2324高一上·安徽·期末）已知，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．若．則C．若，則 D．【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】對(duì)于A,用作差法比較大小即可；對(duì)于B,舉特殊情況即可判斷；對(duì)于C,用作差法比較即可；對(duì)于D,用作差法比較即可.【詳解】對(duì)于,因?yàn)?所以,即,，即故，故正確;對(duì)于,若則,故錯(cuò)誤;對(duì)于,即,故正確;對(duì)于,,故錯(cuò)誤.故選:.【變式44】（2425高三上·福建寧德·開(kāi)學(xué)考試）已知，則的取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍【分析】先設(shè)出，求出，再結(jié)合不等式的性質(zhì)解出即可；【詳解】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，又所以上述兩不等式相加可得，即，所以的取值范圍是，故答案為：.【考點(diǎn)題型五】簡(jiǎn)單不等式的解法【例5】（2425高一上·上?！ふn堂例題）解不等式：．【答案】．【知識(shí)點(diǎn)】分類討論解絕對(duì)值不等式【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義分類討論求解．【詳解】考慮臨界點(diǎn)和1把數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間：，，．①當(dāng)時(shí)，原不等式變形為，化簡(jiǎn)得，解得；②當(dāng)時(shí)，原不等式變形為，無(wú)解；③當(dāng)時(shí)，原不等式變形為，解得．綜上，原不等式的解集為．【變式51】（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）關(guān)于的不等式：的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解.【詳解】由得，其解集等價(jià)于，解得.故選：B【變式52】（2425高一上·上海·課堂例題）解不等式：．【答案】．【知識(shí)點(diǎn)】分類討論解絕對(duì)值不等式【分析】分類討論去掉絕對(duì)值解出來(lái)即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原不等式可以化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可以化為即．恒成立；當(dāng)時(shí)，原不等式可以化為．解得．綜上，原不等式的解集為．【變式53】（2324高一·上?！ふn堂例題）設(shè)、，解關(guān)于x的不等式．【答案】答案見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍、解含參數(shù)的一元一次不等式【分析】分類討論的取值求解不等式即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，無(wú)解，；當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故．【變式54】（2425高一上·上?！ふn堂例題）解下列不等式：(1)；(2)．【答案】(1)或．(2)．【知識(shí)點(diǎn)】公式法解絕對(duì)值不等式【分析】直接運(yùn)用結(jié)論公式可解【詳解】（1）因?yàn)榛?，解得或，所以原不等式的解集是或?）由于，即，解得，所以原不等式的解集是．【考點(diǎn)題型六】一元二次不等式的解法【例6】（2425高一上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）（1）已知一元二次不等式的解集為-3,2，求實(shí)數(shù)、的值及不等式的解集．（2）已知，解不等式：．【答案】（1），；（2）答案見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）利用一元二次不等式的解與相應(yīng)一元二次方程的根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求得后再解相應(yīng)的不等式即可；（2）比較和，分、、三種情況解不等式即可.【詳解】（1）由的解集為-3,2，知的兩根為，2，所以，解得所求不等式為，變形為，即，所以不等式的解集為．（2）原不等式為．①若時(shí)，即時(shí)，則原不等式的解集為；②若時(shí)，即時(shí)，則原不等式的解集為；③若時(shí)，即時(shí)，則原不等式的解集為．綜上可得，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，則原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，則原不等式的解集為．【變式61】（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式.(1)；(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用十字相乘法因式分解，然后可得解集；（2）將二次系數(shù)化為正數(shù)，再由十字相乘法因式分解，然后可得解集.【詳解】（1）不等式，即，解得，所以不等式的解集為；（2）不等式，即，解得或，所以不等式的解集為或..【變式62】（2324高一上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）解下列一元二次不等式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】（1）由，得，即，所以，所以不等式得解集為；（2）由，得，無(wú)解，所以不等式的解集為.【變式63】（2324高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式：.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】首先將不等式左側(cè)因式分解，再分、、三種情況討論，分別求出不等式的解集.【詳解】不等式，即，當(dāng)時(shí)，原不等式即，解得，即不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，解得或，即不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，解得或，即不等式的解集為或；綜上可得：當(dāng)時(shí)不等式的解集為，當(dāng)時(shí)不等式的解集為或，當(dāng)時(shí)不等式的解集為或.【變式64】（2324高一上·廣西桂林·階段練習(xí)）（1）解關(guān)于x的不等式；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）解一元二次不等式即可得解.（2）分類討論求解一元二次不等式.【詳解】（1）不等式化為：，解得或，所以原不等式的解集為.（2）不等式化為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，解得或，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為【考點(diǎn)題型七】由不等式（組）的解（集）求參數(shù)（范圍）【例7】（2324高一下·江西上饒·開(kāi)學(xué)考試）已知不等式.(1)若不等式的解集是或，求的值；(2)若不等式的解集是，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由一元二次不等式的性質(zhì)可知方程的兩根為，再由韋達(dá)定理可解.（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于的不等式組，解出即可.【詳解】（1）由題意可知方程的兩個(gè)根分別為，由韋達(dá)定理可知，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè).（2）若不等式的解集是，即恒成立，則滿足，解得.【變式71】（2324高一上·重慶·期中）不等式組的解集為，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元一次不等式【分析】先化簡(jiǎn)不等式組，然后根據(jù)不等式組的解集可求得結(jié)果.【詳解】由，得，因?yàn)椴坏仁浇M的解集為，所以，即的取值范圍是，故選：C【變式72】（多選）（2425高三上·福建寧德·開(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集是，其中，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、一元二次方程根的分布問(wèn)題【分析】由一元二次不等式的性質(zhì)可得，且，即可得A、D，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得B、C.【詳解】由題意可得，，即，即有，即，，故A正確、D錯(cuò)誤；令，其根為，，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即，故B正確、C錯(cuò)誤.故選：AB.【變式73】（2425高一上·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）已知不等式的解集為，則=，=【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集列方程來(lái)求得.【詳解】依題意，不等式的解集為，所以，解得.故答案為：；【變式74】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）解關(guān)于的不等式：．(1)當(dāng)解集為空集時(shí)，________；(2)當(dāng)解集為非空集時(shí)，解不等式．【答案】(1)1(2)答案見(jiàn)解析.【知識(shí)點(diǎn)】方程與不等式【分析】（1）根據(jù)一元一次不等式的解集為空集求參數(shù)的值.（2）分情況討論，解一元一次不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解，故答案填1．（2）原不等式整理為．①當(dāng)時(shí)，，即解集為；②當(dāng)時(shí)，，即解集為．【考點(diǎn)題型八】應(yīng)用均值不等式判斷、證明不等式成立【例8】（2324高一上·陜西西安·期中）設(shè)，均為正實(shí)數(shù)．(1)求證：(2)若，證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）依題意只需證明，再利用作差法證明即可；（2）由（1）得，則，即可得解.【詳解】（1），，，．要證，即證．，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．（2）因?yàn)?，，且，所以，且，則，，由（1）得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．【變式81】（多選）（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列不等式恒成立的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】對(duì)于ACD，利用基本不等式分析判斷，對(duì)于B，舉例判斷.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確.對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以C正確.對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以D正確.故選：ACD【變式82】（多選）（2324高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用基本不等式判斷各選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)成立，故D正確．故選：BCD.【變式83】（2324高一上·浙江寧波·開(kāi)學(xué)考試）下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】由已知結(jié)合基本不等式及等號(hào)成立的條件檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以或，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)B，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以或，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)C，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)D正確；故選：CD.【變式84】（2324高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用基本不等式，求得，進(jìn)而證得.（2）化簡(jiǎn)，然后利用不等式的性質(zhì)以及（1）的結(jié)論證得.【詳解】（1），因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以；（2），由（1）有，有，，有，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．【考點(diǎn)題型九】“配湊法”求最值【例9】（2425高三上·福建莆田·開(kāi)學(xué)考試）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】利用基本不等式可求得，通過(guò)配湊即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，可得；而，所以，解得；當(dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)，上式右邊等號(hào)成立；此時(shí)的最大值為.故答案為：.【變式91】（2324高二下·河北石家莊·期末）已知，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解，注意基本不等式的成立的條件.【詳解】因?yàn)?，則，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為4.故選：A.【變式92】（2024高一上·浙江寧波·專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案.【詳解】正實(shí)數(shù)且得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.的最小值為.故答案為：【變式93】（2324高一上·浙江寧波·開(kāi)學(xué)考試）（1）已知x>2，求的最小值；（2）已知，求的最小值.【答案】（1）6；（2）8.【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）將式子進(jìn)行配湊，然后用基本不等式求解即可；（2）利用常數(shù)代換的方法，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閤>2，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為6.（2）因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.【變式94】（2425高一上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）（1）求函數(shù)的最大值；（2）求函數(shù)的最小值；（3）若，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）9；（3）9【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）對(duì)函數(shù)解析式變形，利用基本不等式求解最值；（2）對(duì)函數(shù)解析式變形，利用基本不等式求解最值；（3）先常數(shù)代換變形，再利用基本不等式求解最值；【詳解】（1）由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以原函數(shù)的最大值為.（2）由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以原函數(shù)的最小值為9.（3）因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，所以的最小值為.【考點(diǎn)題型十】“1”的代換求最值【例10】（多選）（2324高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，，則（

）A．的最大值為B．的最小值C．的最小值為D．的最小值為【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】運(yùn)用可判斷A項(xiàng)；由結(jié)合基本不等式可判斷B項(xiàng)；令，代入原式，結(jié)合“1”的代換及基本不等式可判斷C項(xiàng)；由，結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值可判斷D.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“=”，所以的最小值為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故D錯(cuò)誤；故選：AB.【變式101】（2223高一上·河北保定·期末）已知為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)條件對(duì)變形，利用均值不等式求解即得.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：D.【變式102】（2324高一上·重慶沙坪壩·期中）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【詳解】因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，且，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C【變式103】（多選）（2425高三上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知為正實(shí)數(shù)，，則（

）A．的最小值為4 B．的最小值為C．的最小值為8 D．的最小值為2【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】把轉(zhuǎn)化為，利用，可求的最小值；把轉(zhuǎn)化為，利用“1”的妙用求的最小值；利用求的最小值；利用可求的最小值.【詳解】對(duì)A：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，且，所以，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤.對(duì)B：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，且，所以（）.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”），故B正確；對(duì)C：因?yàn)椋ǘ际钱?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），故C正確；對(duì)D：因?yàn)?，故，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），故D正確.故選：BCD【變式104】（多選）（2425高三上·廣東肇慶·階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則（）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】運(yùn)用基本不等式逐一運(yùn)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m，n滿足m＋n＝1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以≤，即最大值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取最大值，C不正確；對(duì)于D，由，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，D正確．故選：AD【考點(diǎn)題型十一】均值不等式的實(shí)際應(yīng)用【例11】（2324高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價(jià)為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現(xiàn)有兩種購(gòu)買方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購(gòu)買數(shù)量為a個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購(gòu)買數(shù)量為b個(gè)，花費(fèi)記為;方案二：薄脆百香果蛋糕購(gòu)買數(shù)量為b個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購(gòu)買數(shù)量為a個(gè)，花費(fèi)記為．（其中）(1)試問(wèn)哪種購(gòu)買方案花費(fèi)更少？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若a，b，x，y同時(shí)滿足關(guān)系，求這兩種購(gòu)買方案花費(fèi)的差值S最小值（注：差值花費(fèi)較大值花費(fèi)較小值）．【答案】(1)采用方案二；理由見(jiàn)解析(2)24【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）列出兩種方案的總費(fèi)用的表達(dá)式，作差比較，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，利用換元法和基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：方案一的總費(fèi)用為（元）；方案二的總費(fèi)用為（元），由，因?yàn)?，可得，所以，即，所以，所以采用方案二，花費(fèi)更少.（2）解：由（1）可知，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以差的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以兩種方案花費(fèi)的差值最小為24元.【變式111】（2425高二上·湖南郴州·開(kāi)學(xué)考試）由于豬肉的價(jià)格有升也有降，小張想到兩種買肉方案.第一種方案：每次買3斤豬肉；第二種方案：每次買50元豬肉.下列說(shuō)法正確的是（

）A．采用第一種方案劃算 B．采用第二種方案劃算C．兩種方案一樣 D．采用哪種方案無(wú)法確定【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】設(shè)兩次購(gòu)買豬肉的價(jià)格分別為，，表達(dá)出兩種方案購(gòu)買的均價(jià)，結(jié)合基本不等式比較出大小，得到答案.【詳解】不妨設(shè)兩次購(gòu)買豬肉的價(jià)格分別為，，第一種方案，均價(jià)為，第二種方案，均價(jià)為，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以采用第二種方案劃算.故選：B【變式112】（2324高一下·北京石景山·期中）為提高生產(chǎn)效率，某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成本，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)s（單位：萬(wàn)元）與生產(chǎn)線運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t（單位：年，）滿足二次函數(shù)關(guān)系：，現(xiàn)在要使年平均利潤(rùn)最大，則每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時(shí)間t為年．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】求出年平均利潤(rùn)函數(shù)，利用均值不等式求解即可.【詳解】依題意，年平均利潤(rùn)為,由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以當(dāng)每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時(shí)間時(shí)，年平均利潤(rùn)最大.故答案為：7.【變式113】（2324高一上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？【答案】當(dāng)這個(gè)矩形菜園的邊長(zhǎng)為時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長(zhǎng)度為.【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為、，籬笆的長(zhǎng)度為，由已知結(jié)合基本不等式可求出矩形周長(zhǎng)的最小值，由等號(hào)成立的條件可得出矩形的邊長(zhǎng)，從而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為、，籬笆的長(zhǎng)度為，依題意，，于是，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長(zhǎng)度為.【變式114】（2324高一上·安徽黃山·階段練習(xí)）“綠水青山就是金山銀山”，為了貫徹落實(shí)習(xí)近平生態(tài)文明思想，探索促進(jìn)“綠水青山”向“金山銀山”轉(zhuǎn)變的重大實(shí)踐，某地林業(yè)局準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形場(chǎng)地，建立綠化生態(tài)系統(tǒng)研究片區(qū)，觀察某種綠化植物．如圖所示，兩塊完全相同的矩形種植綠草坪，草坪周圍(陰影部分)均種植寬度相同的花，已知