專題01雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型（教師卷）

專題01雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型線段與角度是初中幾何的入門知識，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出發(fā)，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點（角平分線）來解決。但是，對于有公共部分的線段雙中點模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。模型1.

線段的雙中點模型圖1圖21）雙中點模型（兩線段無公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結(jié)論：.2）雙中點模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結(jié)論：.例1．（2023·廣東七年級期中）如圖，是的中點，是的中點，若，，則下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是的中點，是的中點，分別求得，，，再根據(jù)線段的和與差，計算即可判斷．【詳解】解：∵是的中點，是的中點，且，，∴，，，∴，故選項A不符合題意；，故選項B符合題意；，故選項C不符合題意；，故選項D不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了兩點間的距離以及中點的定義，利用中點性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系，在不同情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解決問題．例2．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？计谀┤鐖D，線段，長度為2的線段在線段上運動，分別取線段、的中點、，則．【答案】7【分析】先求解，再證明，，再利用線段的和差可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵線段、的中點為、，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是線段中點的含義，線段的和差運算，理解線段的和差運算是解本題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點是的中點，點是的中點，現(xiàn)給出下列等式：①，②，③，④．其中正確的等式序號是．【答案】①②③【分析】根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得，再根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：①點是的中點，，，故①正確；②點是的中點，，又點是的中點，．故②正確；③點是的中點，．，故③正確；④，故④錯誤．故正確的有①②③．故答案為：①②③．【點睛】此題考查的是兩點間的距離的計算，掌握線段中點的概念和性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．例4．（2022秋·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）線段，是的中點，是的中點，是的中點，是的中點，依此類推……，線段的長為．【答案】【分析】先分別求出、、的值，根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：因為線段，是的中點，所以；因為是的中點，所以；因為是的中點，所以；，所以，所以，答案為：．【點睛】本題考查了線段中點的有關(guān)計算、求兩點之間的距離、數(shù)字類規(guī)律探究，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．例5．（2022秋·山東青島·七年級?？计谀┲本€l上有三點A、B、C，其中，，M、N分別是、的中點則的長是．【答案】或【分析】本題沒有給出圖形，在畫圖時，應(yīng)考慮到A、B、C三點之間的位置關(guān)系的多種可能，再根據(jù)正確畫出的圖形解題．【詳解】解：第一種情況：B在線段上，如圖，則；第二種情況：B在身線上，在線段外，如圖，則．答：線段MN的長是或．故答案為：1或7【點睛】本題考查線段的和差，由于B的位置有兩種情況，所以本題的值就有兩種情況，做這類題時學(xué)生一定要思維細(xì)密．例6．（2023·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在線段上，點M是的中點，點N是的中點．(1)若，求的長；(2)若，，求的長；(3)若，求的長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義可得，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)線段中點的定義可得，，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)線段中點的定義可得，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵點M是的中點，點N是的中點，，，，，又，，．（2）解：∵點M是的中點，點N是的中點，，，，，，，．（3）解：∵點M是的中點，點N是的中點，，，，，又，，．【點睛】本題考查了線段中點的定義和求兩點間的距離，熟練掌握計算兩點間距離的方法是解題的關(guān)鍵．例7．（2022秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點在線段上，，，點、分別是、的中點．(1)求線段的長；(2)若點在線段的延長線上，且滿足，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)(2)，詳見解析【分析】（1）利用線段的和差，線段的中點的性質(zhì)計算；（2）先畫出圖形，再利用線段的和差，線段的中點的性質(zhì)計算．【詳解】（1）解：點在線段上，，，點、分別是、的中點，，，；（2）解：如圖所示，點在線段的延長線上，且滿足，又點、分別是、的中點，，，，的長度．【點睛】本題考查了兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握線段的和差，線段中點的性質(zhì)．例8．（2022春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點在線段上，且時，我們稱為點在線段上的點值，記作．如點是的中點時，則，記作；反過來，當(dāng)時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點、分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，運動速度均為，當(dāng)點到達(dá)點時，點、同時停止運動，設(shè)運動時間為，請用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運用：(3)已知線段，點、分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，若點、的運動速度分別為和，點到達(dá)點后立即以原速返回，點到達(dá)點時，點、同時停止運動，設(shè)運動時間為．則當(dāng)為何值時，等式成立．【答案】(1)，(2)，，(3)存在和使等式成立【分析】（1）根據(jù)定義直接得出結(jié)果即可求解；（2）根據(jù)題意，得出，，相加即可求解；（3）分在點到達(dá)點之前，在點到達(dá)點返回之后，兩種情況分類討論即可求解．【詳解】（1）根據(jù)定義可得：∵，則；∵，∴,則；故答案為：．，；（2）∵∴∵∴∴∴（3）①在點到達(dá)點之前∵∴∵∴∴∵∴∴②在點到達(dá)點返回之后∵∴∵∴∴∵∴∴∴存在和使等式成立．【點睛】本題考查了幾何新定義，線段的和差，理解新定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．例9．（2022·貴州銅仁·七年級期末）如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度．（2）根據(jù)第（1）題的計算過程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當(dāng)一個點到達(dá)終點，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點中，有一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點時，直接寫出時間t．【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求時間t為4或或．【分析】（1）（2）根據(jù)線段中點的定義、線段的和差，可得答案；（3）當(dāng)C、P、Q三點中，有一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點時，可分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤5時，C是線段PQ的中點；②當(dāng)5＜t≤時，P為線段CQ的中點；③當(dāng)＜t≤6時，Q為線段PC的中點；④當(dāng)6＜t≤8時，C為線段PQ的中點．根據(jù)線段中點的定義，可得方程，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）∵線段AC=10厘米，BC=6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米；（2）∵AC=a，BC=b，點M，N分別是AC，BC的中點，∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b；（3）①當(dāng)點P在線段AC上，即0＜t≤5時，C是線段PQ的中點，得102t=6t，解得t=4；②當(dāng)點P在線段BC上，即5＜t≤時，P為線段CQ的中點，2t10=163t，解得t=；③當(dāng)點Q在線段BC上，即＜t≤6時，Q為線段PC的中點，6t=3t16，解得t=；④當(dāng)點Q在線段AC上，即6＜t≤8時，C為線段PQ的中點，2t10=t6，解得t=4（舍），綜上所述：所求時間t為4或或．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點間的距離，利用線段中點的定義得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．模型2.

雙角平分線模型圖1圖2圖31）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結(jié)論：.例3．（2022秋·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，是內(nèi)部的一條射線，、分別是、的角平分線．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)、分別是、的角平分線，可得，，根據(jù)，可得，再結(jié)合，可得，問題隨之得解．【詳解】∵、分別是、的角平分線，∴，，∵，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，明確題意，厘清圖中各角度之間的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知射線在內(nèi)部，平分平分平分，以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（填序號）．

【答案】①②④【分析】①根據(jù)平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結(jié)論；②根據(jù)角度之間的關(guān)系得出，得出，即可得出結(jié)論；③無法證明；④根據(jù)，得出，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵平分，平分，平分，∴，，，，，即，故①正確；②∵，，∴，故②正確；③與不一定相等，故③錯誤；④根據(jù)解析②可知，，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點睛】本題考查角平分線的有關(guān)計算，根據(jù)角度之間的關(guān)系得出是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·河南·七年級校聯(lián)考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】由角平分線性質(zhì)推理得，，，據(jù)此規(guī)律可解答．【詳解】解：，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，…，由此規(guī)律得：．故答案為：．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、圖形規(guī)律等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．例6．（2022秋·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請從A，B兩題中任選一題作答．A．當(dāng)∠BOC＝30°時，∠EOD的度數(shù)為．B．當(dāng)∠BOC＝α°時，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】110°或130°或【分析】A、根據(jù)角的和差得到∠AOB=90°30°=60°，根據(jù)OE是∠AOB的一條三等分線，分類討論，當(dāng)∠AOE=∠AOB=20°，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=20°，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；B、根據(jù)角的和差得到∠AOB，根據(jù)OE是∠AOB的一條三等分線，分類討論，當(dāng)∠AOE=∠AOB，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、如圖，∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°30°=60°，∵OE是∠AOB的一條三等分線，∴①當(dāng)∠AOE=∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，綜上所述，∠EOD的度數(shù)為130°或110°，故答案為：130°或110°；B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°α°，∵OE是∠AOB的一條三等分線，∴①當(dāng)∠AOE=∠AOB=30°α°，∴∠BOE=90°α（30α）°=60°α°，∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°α°，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=30°α°，∴∠DOE′=90°+30°α°=120°α°，綜上所述，∠EOD的度數(shù)為150°α°或120°α°，故答案為：150°α°或120°α°；【點睛】本題考查了余角和補角的定義，角的倍分，熟練掌握余角和補角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例7．（2023秋·江蘇無錫·七年級校考期末）解答題：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；(2)若，是平面內(nèi)兩個角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)所以當(dāng)射線在的內(nèi)部時，；當(dāng)射線在的外部時，．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，即可得出答案；（2）由于無法確定射線的位置，所以需要分類討論：若射線在的內(nèi)部時，根據(jù)角平分線定義得出，，求出；若射線在的外部時，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．【詳解】（1）∵，平分，∴∵分別平分，．∴∴．（2）若射線在的內(nèi)部，如圖2∵，，、分別平分、．∴∴．所以當(dāng)射線在的內(nèi)部時，．若射線在外部時，如圖3∵，，、分別平分、．∴∴．所以當(dāng)射線在的外部時，．【點睛】本題考查的是角平分線的定義和角的有關(guān)計算，利用角平分線的定義求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．例8．（2022秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，在的內(nèi)部畫射線，射線把分成兩個角，分別為和，若這兩個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線為的“3等分線”．(1)若，射線為的“3等分線”，則的度數(shù)為__________．(2)如圖2，已知，過點O在外部作射線．若三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求的度數(shù)（）．【答案】(1)或(2)或或或【分析】（1）根據(jù)“3等分線”的定義分和兩種情況求解即可；（2）分為的“3等分線”和為的“3等分線”兩種情況求解即可．【詳解】（1）根據(jù)“3等分線”的定義可得，或∵∴或故答案為：或（2）①當(dāng)OA在的內(nèi)部時，如圖，根據(jù)“3等分線”的定義可得，或②當(dāng)OB在的內(nèi)部時，如圖，根據(jù)“3等分線”的定義可得，或此時，或綜上，的度數(shù)為或或或．【點睛】本題主要考查了角的和差倍分，熟練掌握“3等分線”的定義是解答本題的關(guān)鍵．例9．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點是直線上一點，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】（1）20°；（2）；（3），理由見解析【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠BPE的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；（2）解法與（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；（3）把∠APC的度數(shù)作為已知量，求得∠BPC的度數(shù)，然后根據(jù)角的平分線的定義求得∠BPE的度數(shù)，再根據(jù)即可解決．【詳解】（1）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（2）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（3）結(jié)論：．理由如下：設(shè)，則，∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了角度的計算，正確理解角平分線的定義，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）在直線上任取一點A，截取，再截取，則的中點與的中點之間的距離為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分兩種情況B，在點A同側(cè)時，B，在點A兩側(cè)時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：①B，在點A同側(cè)時，如圖所示：是的中點，是的中點，，，．②B，在點A兩側(cè)時，如圖，是的中點，是的中點，，，．綜上：與之間距離為或，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了線段中點的計算，解題的關(guān)鍵是分類討論，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合．2．（2023秋·海南·七年級統(tǒng)考期末）已知線段，點是直線上一點，，若是的中點，是的中點，則線段的長度是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】分點在點右側(cè)與點在點左側(cè)兩種情況畫出圖形求解．【詳解】解：當(dāng)點在點右側(cè)時，如圖所示．，，．是中點，是的中點，，，；當(dāng)點在點左側(cè)時，如圖所示．，，．是中點，是的中點，，，．綜上所述：線段MN的長度為5cm．故選：B．【點睛】本題考查了線段和差，線段的中點等知識，分點在點右側(cè)與點在點左側(cè)兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段上兩點，M、N分別是線段的中點，下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)線段中點的定義與線段的和差結(jié)合圖形逐一進(jìn)行分析即可．【詳解】解：如圖，∵M(jìn)、N分別是線段的中點，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，故①符合題意；∵，∴，∴，∴，故②符合題意；∵，∴，故③符合題意；∵，，∴，∵，，∴，故④不符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了線段的和差運算，能夠利用中點的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系求解一些線段之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇徐州·七年級?？计谀┤鐖D，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分別為的中點，求出的長度，再由的長度求出的長度，找到的規(guī)律即可求出的值．【詳解】解：∵，分別為的中點，∴，∵分別為的中點，∴，∵分別為的中點，∴，……由此可得：，∴，故選C．【點睛】本題考查線段中點的有關(guān)計算，有理數(shù)的簡便運算，相對較難，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點，點A表示的數(shù)是4，線段（點B在點C的左側(cè)）在直線上運動，且．下列說法正確的是（）甲：當(dāng)點B與點O重合時，；乙：當(dāng)點C與點A重合時，若P是線段延長線上的點，則；丙：在線段運動過程中，若M，N為線段的中點，則線段的長度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：畫出圖形，利用線段的和差可判斷甲的說法；乙：畫出圖形，設(shè)點P表示的數(shù)為x，則，可判斷乙的說法；丙：設(shè)點B表示的數(shù)是m，則點C表示的數(shù)是，利用中點公式表示出M、N表示的數(shù)即可求解．【詳解】甲：如圖1，當(dāng)點B與點O重合時，，故甲的說法錯誤；乙：如圖2，當(dāng)點C與點A重合時，設(shè)點P表示的數(shù)為x，則，∴，故乙的說法正確；丙：點B表示的數(shù)是m，則點C表示的數(shù)是，∵O是原點，點A表示的數(shù)是4，M，N為線段的中點，∴點M表示的數(shù)是，點N表示的數(shù)是，∴，故丙的說法正確．故選D．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，線段中點的計算，整式的加減等知識，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023秋·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，以點為頂點作直角，以點為端點作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點落在點處，所在的直線為折痕，若，則（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用角平分線的定義求出即可解決問題．【詳解】解：平分，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查角的和差定義，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．7．（2023秋·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意得出或，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵，射線為的三等分線．∴或，∴，∴的度數(shù)為或．故選：C．【點睛】本題考查了角度的計算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵．8．（2023秋·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)的一條射線，平分，平分，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平分，平分，可得，，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．故選：B【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．9．（2023吉林七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，射線OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列說法正確的是（

）A．圖中只有兩個120°的角 B．圖中只有∠DOE是直角C．圖中∠AOC的補角有3個 D．圖中∠AOE的余角有2個【答案】C【詳解】解：∵射線OC、OD把平角∠AOB三等分，∴，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴，∴，故A選項不符合題意；，故B選項不符合題意；∠AOC與∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互為補角，故C選項符合題意；∠AOE與∠AOC、∠COD、∠BOD都是互為余角，故D選項不符合題意；故選：C【點睛】此題考查了角平分線的定義，余角與補角的定義，正確掌握角平分線的定義求出各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結(jié)論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；②在旋轉(zhuǎn)過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；④的角度恒為．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】結(jié)合圖形根據(jù)題意正確進(jìn)行角的和差計算即可判斷．【詳解】①如圖可得，所以平分，①正確；②當(dāng)時，設(shè)，∵平分，∴，∴，，∴，當(dāng)時，設(shè)，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，故②正確；③時，時，時故③正確；④當(dāng)時，當(dāng)時，故④錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論為①②③；故選：C．【點睛】本題主要考查了角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵根據(jù)題意正確進(jìn)行角的和差計算．11．（2022秋·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點、、表示的數(shù)分別是，，1，且點為線段的中點，點為原點，點在數(shù)軸上，點為線段的中點．、為數(shù)軸上兩個動點，點從點向左運動，速度為每秒1個單位長度，點從點向左運動，速度為每秒3個單位長度，、同時運動，運動時間為．有下列結(jié)論：①若點表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，點是線段的中點；其中正確的有．（填序號）【答案】①③/③①【分析】①根據(jù)線段的中點的定義以及點、可確定點、表示的數(shù)，進(jìn)而得到的長度；②由，分兩種情況討論：點在點的右側(cè)時以及點在點的左側(cè)時，可得到點表示的數(shù)，由點為線段的中點可得點表示的數(shù)，進(jìn)而得到的長度；③當(dāng)時，可得到、的長，從而確定點、，即可得到的長；④當(dāng)時，可得到、的長，從而確定點、，進(jìn)而判斷．【詳解】①若點表示的數(shù)是3，∵點為線段的中點，表示的數(shù)是1，∴，，即表示的數(shù)是2，∴，故①正確；②若，當(dāng)點在點的右側(cè)時，則點表示的數(shù)是4，∵點為線段的中點，∴，即表示的數(shù)是，∴，當(dāng)點在點的左側(cè)時，則點表示的數(shù)是，∵點為線段的中點，∴，即表示的數(shù)是，∴，綜上，，故②不正確；③當(dāng)時，，，∵、表示的數(shù)分別是，1，∴、表示的數(shù)分別是，，∴，故③正確；④當(dāng)時，，，∴、表示的數(shù)分別是，，∵點在、的左側(cè)，不可能是線段的中點故④不正確；故答案為：①③【點睛】本題考查了數(shù)軸以及兩點間的距離、線段的中點，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．12．（2023秋·安徽六安·七年級?？计谀┤鐖D，已知、是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數(shù)為度；②若，，則的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．【答案】120【分析】①利用角平分線的定義可得，，易得，利用，可得結(jié)果；②由角的加減可得，可得，再利用可得結(jié)果【詳解】解：①，，，，平分，平分，，，，，故答案為120；②，，，，，故答案為：【點睛】本題考查的是角平分線的定義有關(guān)知識，利用角平