專題62圖形的相似（全章分層練習）（基礎(chǔ)練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（蘇科版）

專題6.2圖形的相似（全章分層練習）（基礎(chǔ)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2021上·陜西榆林·九年級校考期中）長度為3和12的線段的比例中項長度為（

）A．4 B．6 C．9 D．362．（2019上·廣東佛山·九年級西樵中學?？茧A段練習）下列各組圖形一定相似的是（

）A．各有一角是70°的兩個等腰三角形 B．任意兩個等邊三角形C．任意兩個矩形 D．任意兩個菱形3．（2022上·吉林長春·九年級?？茧A段練習）能判定與相似的條件是（

）A． B．，且C．且 D．，且4．（2019下·九年級單元測試）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上一點（不與A，B兩點重合），下列條件：①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD?AB；④，能使△ABC∽△ACD的條件的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022上·陜西西安·九年級?？计谥校┮阎?，如圖，平行四邊形中，，且，那么_____．A．9 B．12 C．15 D．206．（2023下·黑龍江綏化·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，位似中心為原點O，位似比為1：2，若點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．7．（2022上·福建福州·九年級?？计谀⑷切渭埰慈鐖D所示的方式折疊，使點落在邊上，記為點，折痕為．已知，，若，那么的長度是（

）A． B．4 C． D．28．（2020上·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是邊BC、AC、AB上一點，連接BE交FD于點G，若四邊形AFDE是平行四邊形，則下列說法錯誤的是（

）．A． B． C． D．9．（2023下·河南駐馬店·九年級?？茧A段練習）如圖，已知在矩形中，，，作對角線，按以下步驟作圖：①以點為圓心、適當長為半徑作弧，分別交邊，于點，；②分別以點，為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧交于點；③作射線交于點，交于點，交的延長線于點．則（

）

A． B． C． D．10．（2023下·安徽·九年級專題練習）如圖，在中，，，，點E為邊上一動點，連接并延長至點F，使得，以，為鄰邊構(gòu)造，連接交于點O．當?shù)拈L最小時，的長為（

）

A． B．1 C．2 D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023下·黑龍江綏化·九年級?？茧A段練習）與相似，且與的相似比是，已知的面積是5，則的面積是．12．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）點B是線段的黃金分割點，且．若，則的長為．13．（2023上·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）已知：如下圖，，，，，則．14．（2020上·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在與中，，點在上，若只添加一個條件便能判定，則添加的條件是．15．（2018上·九年級單元測試）如圖，已知，，，，要使，只要．16．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）如圖，E為的中點，，，，則的長為．

17．（2023下·江蘇淮安·九年級校考階段練習）如圖，在正方形中，為中點，、分別是、邊上的點，若，，則的長為．

18．（2023下·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，E、F分別是的中點，，動點P在射線上，交于D，的平分線交于Q，當時，則的值為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2019上·浙江杭州·九年級期末）如圖，已知AB∥DC，點E、F在線段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．（1）求證：△ABE∽△CDF．（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的長．20．（8分）（2019上·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖：，分別交、、于點、、，已知，，，，求、的長．21．（10分）（2020上·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校校考期中）小麗想利用所學知識測量旗桿AB的高度，如圖，小麗在自家窗邊看見旗桿和住宅樓之間有一棵大樹DE，小麗通過調(diào)整自己的位置，發(fā)現(xiàn)半蹲于窗邊，眼睛位于C處時，恰好看到旗桿頂端A、大樹頂端D在一條直線上，小麗用測距儀測得眼睛到大樹和旗桿的水平距離CH、CG分別為7米、28米，眼睛到地面的距離CF為3.5米，已知大樹DE的高度為7米，CG∥BF交AB于點G，AB⊥BF于點B，DE⊥BF于點E，交CG于點H，CF⊥BF于點F，求旗桿AB的高度．（10分）（2022上·陜西西安·九年級?？计谥校┯^察與發(fā)現(xiàn)：如圖：小明將一個邊長為的正方形紙片折疊，使得點D落在邊上的點E處（不與A，B重合），折痕交于點F，交于點H，點C落在Q處，與交于點G，小明認為，你同意嗎？請說明理由．（2）實踐與探究：在上圖中，當時，請你計算的周長．23．（10分）（2022上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，，射線，且，，點是線段（不與點、重合）上的動點，過點作交射線于點，連結(jié)．（1）如圖1，若，求的長．（2）如圖2，若平分，試猜測和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）若是等腰三角形，作點關(guān)于的對稱點，連結(jié)，則．（請直接寫出答案）24．（12分）（2022下·吉林長春·八年級吉林省第二實驗學校?？计谥校└兄喝鐖D①，在四邊形ABCD中，ABCD，∠B=90°，點P在BC邊上，當∠APD=90°時，△ABP與△PCD是否相似？（填“是”或“否”）．探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當∠B=∠C=∠APD時，求證：△ABP∽△PCD．拓展：如圖③，在△ABC中，點P是邊BC的中點，點D、E分別在邊AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=，CE=9，則DE的長為．參考答案：1．B【分析】根據(jù)比例中項的定義，列出方程，即可求解．解：設(shè)長度為3和12的線段的比例中項長度為x，則x2=3×12，解得：x=6，（負數(shù)舍去），故選B．【點撥】本題主要考查線段的比例中項，掌握a：b=b：c，則b是a，c的比例中項，是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】根據(jù)相似圖形的概念進行判斷即可．解：A、各有一角是70°的兩個等腰三角形對應(yīng)角不一定相等，故不一定相似；B、兩個等邊三角形相似對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，一定相似；C、兩個矩形對應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似；D、任意兩個菱形對應(yīng)角不一定相等，故不一定相似；故選：B．【點撥】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】相似三角形的判定方法：有兩對角分別相等的兩個三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似．解：Ａ．，Ｂ．，且，Ｄ．，且，均不能判斷與相似，故錯誤；Ｃ．且，能判定與相似，本選項正確故選：C．【點撥】本題是相似三角形的判定的基礎(chǔ)應(yīng)用題，在中考中比較常見，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度一般．4．C【分析】由∠A是公共角，根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似與兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，判定△ABC與△ACD相似，即可得出結(jié)果．解：∵∠A是公共角，∴當∠ACD＝∠B時，△ADC∽△ACB（有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）；當∠ADC＝∠ACB時，△ADC∽△ACB（有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）；當AC2＝AD?AB時，即，△ADC∽△ACB（兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）．當時，∠A不是夾角，則不能判定△ADC與△ACB相似；∴能夠判定△ABC與△ACD相似的條件是：①②③．故選：C．【點撥】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定.5．D【分析】在平行四邊形中，有，，根據(jù)，可得，即有，根據(jù)，可得，即有，根據(jù)，可得，根據(jù)，可得，即有，問題隨之得解．解：在平行四邊形中，有，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵行四邊形中，，∴，故選：D．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明，得到是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)解答即可．解：∵點，與C關(guān)于原點對稱，且位似比為，∴的坐標為即故選：A．【點撥】本題考查了位似圖形，熟練掌握位似圖形的有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】設(shè)，根據(jù)折疊的性質(zhì)用x表示出和，最后根據(jù)兩三角形相似對應(yīng)邊成比例即可求解．解：設(shè)，則由折疊的性質(zhì)可知：，，當時，有，即：，解得：；故選：B．【點撥】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，掌握“相似三角形對應(yīng)邊成比例”是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)四邊形AFDE是平行四邊形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，由平行線分線段成比例逐一分析之．解：∵四邊形AFDE是平行四邊形，∴DF∥AC，∴，故A正確；∵DE∥AF∴，故B正確；∵DF∥AC，∴又四邊形AFDE是平行四邊形∴AF=DE∴，故D正確；∵DF∥AC，∴，故C錯誤；故選:C．【點撥】本題考查了平分線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例定理和平行四邊形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．解：解∶∵四邊形是矩形，∴，，，由作圖可知，平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴故選：B．【點撥】本題考查作圖基本作圖，角平分線的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．10．B【分析】利用證明，根據(jù)已知條件求出與的線段比例關(guān)系，從而得出的長最小時，的長最小，即可求出．根據(jù)和推出四邊形的形狀，進而證明，即可求出的長度．解：過點A作交于M，

∵，∴．∵為平行四邊形，∴，，∴，，∴．∴，∴，∴的長最小時，的長最小，∴，∵在中，，，∴，∵，∴．∵，，∴，∵在中，，∴四邊形為平行四邊形．∵，，∴，∴．故選：B．【點撥】本題考查了平行四邊形的綜合運用，涉及到的知識點有三角形相似，30°所對應(yīng)的直角邊是斜邊的一半等，綜合性較強．解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)線段之間比例關(guān)系推出，從而求出長度，解題的重點在于能否想到作輔助線．11．20【分析】根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答即可．解：∵與相似，且與的相似比是，∴與的面積比是，∵的面積是5，∴的面積是4×5=20，故答案為：20．【點撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解答的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，用的長度乘以黃金分割比即可．解：∵點B是線段的黃金分割點，且，∴．故答案為∶．【點撥】本題主要考查了黃金分割的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為．13．8【分析】根據(jù)平行線分線段成比例求出，減去可得結(jié)果．解：∵，∴，即，∴，∴，故答案為：8．【點撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是能根據(jù)平行線得出正確的比例式．14．（答案不唯一）．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理求解即可．解：依據(jù)兩角相等，兩三角形相似，可添加條件故答案為：（答案不唯一）．【點撥】本題考查了三角形相似的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定定理．15．【分析】根據(jù)對應(yīng)邊成比例的兩個三角形互為相似三角形可以求解.解：解:∠ACB=,AC=4,BC=3,,要使,有,,,故答案為:【點撥】本題考查相似三角形的判定定理,關(guān)鍵是知道對應(yīng)邊成比例兩個三角形互為相似三角形.16．1【分析】先求解，再證明，可得，再建立方程求解，從而可得答案．解：∵，E為的中點，∴，∵，，∴，∴，而，∴，解得：，∴，故答案為：1【點撥】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．17．5【分析】首先證明，從而推出對應(yīng)邊成比例：，因為，可得，再根據(jù)進行化簡可得，進而得到答案．解：四邊形是正方形，，，，，，，．，，又，，，的長為5．故答案為：5．

【點撥】此題考查相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確利用勾股定理．易錯點：如果學生沒有發(fā)現(xiàn)相似三角形就無從入手解題了，或相似三角形對應(yīng)邊的比找不對．18．【分析】延長，交的延長線于點M，由三角形的中位線定理可得，繼而可證明，由等角對等邊可得，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．解：延長，交的延長線于點M，

∵的平分線交于Q，∴，∵E、F分別是的中點，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形中位線定理，熟練掌握知識點，并添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．（1）見分析；（2）EF＝2．【分析】（1）根據(jù)AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可證得；（2）根據(jù)BE＝2DF，可得，即可求解．解：（1）證明：∵AB∥DC，∴∠B＝∠D，∵AB＝2DC，BE＝2DF，∴AB：DC＝BE：DF＝2，∴△ABE∽△CDF；（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，∴,∵BD＝8，∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．20．，【分析】在△ABC中，根據(jù)平行線分線段成比例求出EG，在△BAD中，根據(jù)平行線分線段成比例求出EF，再根據(jù)FG=EGEF即可求解．解：∵在中，，∴．∵，，，∴．∴．∵在中，，∴．∵，，，∴．∴．∴．【點撥】本題考查平行線分線段成比例，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．21．旗桿的高度為米【分析】根據(jù)題意先求得的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得的長，進而即可求得的高度．解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，，CG∥BF∴四邊形，是矩形（米）（米）即解得（米）（米）答：旗桿的高度為米．【點撥】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22．（1）同意，理由見分析；（2）的周長為．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)角之間的關(guān)系通過等量代換可得；結(jié)合，利用相似三角形的判定定理即可解答；（2）設(shè)，則，由勾股定理求出的長；接下來利用相似三角形的性質(zhì)求出和的長度，然后利用周長的計算公式計算即可．（1）解：同意．理由如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得．∵，∴．∵，∴；（2）解：設(shè)，則，∴，∴，即，．∵，∴，即，∴，∴的周長為．【點撥】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．23．（1）；（2），見分析；（3）【分析】（1）根據(jù)，，，則；根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，則，；則，根據(jù)，，，得，則，即可求出的長；（2延長線段，交于點，根據(jù)全等三角形的判定，得，，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可；（3）連接，；延長交于點，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得，，根據(jù)，則是等腰直角三角形，；根據(jù)作點關(guān)于的對稱點，；根據(jù)正方形的判定，得四邊形是正方形；根據(jù)矩形的判定，勾股定理，即可求出．解：（1）∵，，，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴．（2）理由如下：延長線段，交于點∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．（3）連接，；延長交于點，∵是等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵點與點關(guān)于對稱，∴，∴，，∵，∴四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴在中，，∴．故答