專題274相似三角形的判定與性質（二）（舉一反三）（人教版）

專題27.4相似三角形的判定與性質（二）【九大題型】【人教版】TOC\o"13"\h\u【題型1尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運用】 1【題型2三角板與相似三角形綜合運用】 5【題型3裁剪與相似三角形綜合運用】 13【題型4折疊與相似三角形綜合運用】 21【題型5判斷與相似有關結論的正誤】 29【題型6用相似三角形的判定與性質證明】 37【題型7用相似三角形的判定與性質求線段比值】 44【題型8利用相似三角形的判定與性質求最值】 52【題型9利用相似三角形的判定與性質解決幾何動點問題】 59【題型1尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運用】【例1】（2023春·福建福州·九年級?？茧A段練習）已知菱形ABCD中，E是BC邊上一點．(1)在BC的右側求作△AEF，使得EF∥BD(2)在（1）的條件下，若∠EAF=1【答案】(1)見解析；(2)見解析.【分析】（1）連接AC交BD于O，在BC右側作∠CEF=∠CBD，再在射線EF截取EF=OB，連接AE、AF，即可得△AEF；（2）延長EF交AD延長線于點G，先證明四邊形BEGD是平行四邊形，可得EG=BD=2EF，∠G=∠CBD，【詳解】（1）解：如圖，連接AC交BD于O，在BC右側作∠CEF=∠CBD，再在射線EF截取EF=OB，連接AE、AF，則△AEF即為所要求作的三角形，再證△EAF~△EGA最后證得結果；（2）證明：延長EF交AD延長線于點G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD//BC，又∵EF//BD，EF=12BD∴四邊形BEGD是平行四邊形，∴EG=BD=2EF，∠G=∠CBD，又∵在菱形ABCD中，∠CBD=12∠ABC∴∠EAF∴∠EAF又∵∠AEF∴△EAF∴EF∴A∴AE【點睛】本題考查作圖復雜作圖、相似三角形的性質與判定、菱形的性質、平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式11】（2023·陜西·九年級?？茧A段練習）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，請你利用尺規(guī)在BC邊上求一點P，使△PAB∽△ABC（不寫畫法，保留作圖痕跡）【答案】詳見解析【分析】直接作出AB的垂直平分線，進而得出P點位置，利用相似三角形的判定方法得出即可.【詳解】解：如圖所示：點P即為所求，∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，∵EP是AB的垂直平分線，∴PA=PB，∴∠B＝∠PAB＝36°，∴△PAB∽△ABC．【點睛】此題主要考查了尺規(guī)作圖和相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．【變式12】（2023·陜西西安·西安行知中學?？寄M預測）如圖，在△ABC中，AM∥BC．請用尺規(guī)作圖法，在射線AM上求作一點D

【答案】見詳解【分析】作∠ACD=∠B，交AM于點D【詳解】如圖所示，作∠ACD=∠B，交AM于點D

∵AM∥∴∠DAC∵∠ACD∴△DCA【點睛】本題考查了相似三角形的判定，作一個角等于已知角，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式13】（2023春·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點D，使△A．

B．

C．

D．【答案】C【分析】根據△ACD∽△ABC，可得∠CDA=∠【詳解】解：當CD是AB的垂線時，△ACD∵CD∴∠CDA∵∠CAD∴△ACD根據作圖痕跡可知，A選項中，CD是∠ACBB選項中，∠CADC選項中，CD是AB的垂線，符合題意；D選項中，CD不與AB垂直，∠ADC故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．【題型2三角板與相似三角形綜合運用】【例2】（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角板繞P點旋轉．(1)如圖1，當P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，FE、PB的延長線交于點G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．【答案】(1)等邊三角形(2)3(3)4【分析】（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再證得PE＝PF即可，可通過證三角形PBE和PFC全等來得出結論，再證明全等過程中，可通過證明FP⊥BC和BE＝PC來實現；（2）由（1）不難得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度數，可以根據CF的長求出GC的長，從而求出GB的長，下面的關鍵就是求GB邊上的高，過E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的長，有∠ABC的度數，可以求出BE、EP的長，再根據三角形面積的不同表示方法求出EH的長，這樣有了底和高就能求出△GBE的面積；（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設BP＝x，則CP＝6﹣x，由相似三角形的對應邊成比例可求出x的值，再根據勾股定理求出PE的值即可．【詳解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE=∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，在△BEP和△CPF中，∠B∴△BEP≌△CPF，∴EP＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等邊三角形．（2）過E作EH⊥BC于H，由（1）可知：FP⊥BC，FC=在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，∵∠PFE＝60°，∴∠GFC＝90°，直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，∴GC＝2CF＝8，∴GB＝GC﹣BC＝2，直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，∴PE＝23，BE＝2，∴EH＝BE?PE÷BP＝3，∴S△GBE＝=1（3）∵在BPE中，∠B＝60°，∴∠BEP+∠BPE＝120°，∵∠EPF＝60°，∴∠BPE+∠FPC＝120°，∴∠BEP＝∠FPC，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP，∴BPCF設BP＝x，則CP＝6﹣x．∴x2＝4解得：x＝2或4．當x＝2時，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，過E作EH⊥BC于H，則EH＝23，BH＝2，∴PH＝0，即P與H重合，與CF≠BP矛盾，故x＝2不合題意，舍去；當x＝4時，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，則△BEP是等邊三角形，∴PE＝4．故PE＝4．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質以及相似三角形的判定與性質，注意對全等三角形和等邊三角形的應用．【變式21】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=23，AD=10，直角三角板的直角頂點P在AD上滑動，(點P與A，D不重合)，一直角邊經過點C，另一直角邊與射線AB(1)求證：△AEP∽△(2)當∠CPD=30°時，求(3)是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出【答案】(1)詳見解析(2)8(3)5-【分析】（1）根據矩形的性質，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性質，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE（2）根據含30°角的直角三角形的性質和勾股定理可得結論；（3）假設存在滿足條件的點P，設AP=x，則DP=10-x，由△CDP∽△【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D∴∠PCD又∵∠C∴∠EPA∴∠PCD∴△AEP∽△（2）解：在Rt△PCD中，∠DPC∴CP∴PD∵AD∴AP∵∠CPE∴∠APERt△APE中，∴PE（3）解：假設存在滿足條件的點P，設AP=x，則∵△CDP∽△根據△CDP的周長等于△PAE周長的2倍，得到兩三角形的相似比為∴CDAP=解得x=∴AE∴BE【點睛】此題是相似三角形的綜合題，考查了矩形的性質，含30°角的直角三角形的性質，相似三角形的性質和判定等知識，根據△CDP的周長等于△PAE周長的2倍，得到兩三角形的相似比為【變式22】（2023春·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點放在正方形ABCD上，使直角頂點與D重合，三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．則DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長為．【答案】（1）＝；（2）①1，②2【分析】（1）先證明△ADP≌△CDQ，即可求解；（2）①先證明△ADP∽△CDQ，可得APCQ＝ADCD＝24＝12，設AP＝x，則CQ再由勾股定理，即可求解；②過點B作BE⊥DP交DP延長線于點E，BF⊥DQ于點F，根據△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24＝12，從而得到∠BPE=∠Q，再由角平分線的性質定理可得BE=BF，進而證得△BEP≌△BFQ，得到BP=【詳解】解∶（1）在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，∵∠PDQ=90°，∴∠PDQ=∠ADC=90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP=∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ；故答案為∶=（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．又∵∠A＝∠DCQ＝90°．∴△ADP∽△CDQ，∴APCQ＝ADCD＝24＝設AP＝x，則CQ＝2x，∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x．由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2，代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52，解得x＝1，即AP＝1．∴AP的長為1．②如圖，過點B作BE⊥DP交DP延長線于點E，BF⊥DQ于點F，由①得：△ADP∽△CDQ，∴∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24＝∴CQ=2AP，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠Q，∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ，∴BE=BF，∵∠E=∠BFQ=90°，∴△BEP≌△BFQ，∴BP=BQ，設AP=m，則BQ=BP=4m，CQ=2m，∴2+2m=4m，解得：m=即AP=∴DP【點睛】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形和全等三角形的判定和性質，角平分線的性質定理，勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．【變式23】（2023春·廣東廣州·九年級校考階段練習）一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，D為AB中點，E、F分別是一個三角板與另一個三角板直角邊AC、BC的交點，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點，且滿足∠CME=2∠ADE，EM=．【答案】29【分析】由CE=5，AE=2，得AC=7，利用勾股定理，得到AD的長度，過E作EN⊥AD于N，求出EN和DN的長度，由于∠CME=2∠ADE，延長MB至P，是MP=ME，可以證明△DNE～△PCE，MP=x【詳解】解：如圖，過E作EN⊥AD于N，∴∠∴∠∴NE=NA，∵∴同理，AD∴DN延長MB至P，使MP=ME，連接PE，∴可設∠∴∠∵∠∴∠又∠∴△∴∴設MP=ME在Rt△MCE∴∴∴【點睛】本題考查了勾股定理，二倍角的輔助線的構造，方程思想求線段，熟練掌握二倍角輔助線是解決問題的關鍵．【題型3裁剪與相似三角形綜合運用】【例3】（2023春·全國·九年級期中）如圖1所示，一個木板余料由一個邊長為6的正方形和一個邊長為2的正方形組成，甲、乙兩人打算采用剪拼的辦法，把余料拼成一個與它等積的正方形木板．甲：如圖2，沿虛線剪開可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2．乙：如圖3，沿虛線剪開可以拼接成所需正方形，并求得AM＝3下列說法正確的是（）A．甲的分割方式不正確B．甲的分割方式正確，AM的值求解不正確C．乙的分割方式與所求AM的值都正確D．乙的分割方式正確，AM的值求解不正確【答案】D【分析】根據題意畫出相應的圖形，再逐個驗證拼圖是否符合題意，再利用全等三角形的性質，正方形的性質以及相似三角形的判定與性質求解即可．【詳解】解：如圖所示，將△FAM平移至△NDC，將△MBC平移至△FEN，由此可得AM＝DC＝2，FA＝ND＝6，NE＝BC＝2，∴DE＝ND－NE＝4（符合題意），∴甲的分割方式正確，AM的值求解也正確，故選項A、選項B的說法都是錯誤的，不符合題意；如下圖所示，將△FEG平移至△NBH，連接GH，交AB于點M，將△GAM平移至△EDP，將△PCB平移至△MNH，由此可得GA＝ED＝6－2＝4，AM＝DP，MN＝PC，NB＝EF，∵DP＋PC＋EF＝2＋6＝8＝AB，∴當FG＝NH＝BC＝2時，GA＝ED＝4（符合題意），∵∠A＝∠HNM＝90°，∠AMG＝∠NMH，∴△AMG∽△NMH，∴AMMN∴AM2-解得：AM=∴乙的分割方式正確，AM的值求解不正確，故選項C的說法是錯誤的，不符合題意，選項D的說法是正確的，符合題意，故選：D．【點睛】本題主要考查了平移的性質，全等三角形的性質，正方形的性質以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決本題的關鍵．【變式31】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖為三角形紙片ABC，其中D點和E點將AB三等分，F點為DE中點．若小慕從AB上的一點P，沿著與直線BC平行的方向將紙片剪開后，剪下的小三角形紙片面積為△ABC的13，則下列關于P點位置的敘述正確的是（

A．在FE上，但不與F點也不與E點重合 B．在DF上，但不與D點也不與F點重合C．與E點重合 D．與D點重合【答案】A【分析】根據題意確定出剪下來的三角形與三角形ABC相似，面積比為13，得到相似比3【詳解】解：由題意得，剪下來的三角形與三角形ABC相似，面積比為13故相似比為13即APAB選項A：12AB<選項B：13AB<選項C：23AB=選項D：13AB=故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形性質的實際應用，對于操作類題目，要對每個選項逐一分析，解題的關鍵是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方．【變式32】（2023·福建泉州·中考真題）（1）如圖1是某個多面體的表面展開圖．①請你寫出這個多面體的名稱，并指出圖中哪三個字母表示多面體的同一點；②如果沿BC、GH將展開圖剪成三塊，恰好拼成一個矩形，那么△BMC應滿足什么條件？（不必說理）（2）如果將一個三棱柱的表面展開圖剪成四塊，恰好拼成一個三角形，如圖2，那么該三棱柱的側面積與表面積的比值是多少？為什么？（注：以上剪拼中所有接縫均忽略不計）【答案】（1）①直三棱柱，點A、M、D三個字母表示多面體的同一點．②△BMC應滿足的條件是：a、∠BMC=90°，且BM=DH，或CM=DH；b、∠MBC=90°，且BM=DH，或BC=DH；c、∠BCM=90°，且BC=DH，或CM=DH；（2）1【分析】（1）①根據多面體的側面展開圖可以判斷，且A、M、D是一點；②要使最后的圖形為矩形，必須使△BMC是直角三角形，且△BMC≌△HGN；（2）連接AB、BC、CA，可知矩形ACKL、BIJC、AGHB為棱柱的三個側面，且四邊形DGAL、EIBH、FKCJ須拼成與底面△ABC全等的另一個底面的三角形，然后根據三角形相似的判定和相似比可確定結果．【詳解】解：（1）①根據這個多面體的表面展開圖，可得這個多面體是直三棱柱，點A、M、D三個字母表示多面體的同一點．②△BMC應滿足的條件是：a、∠BMC=90°，且BM=DH，或CM=DH；b、∠MBC=90°，且BM=DH，或BC=DH；c、∠BCM=90°，且BC=DH，或CM=DH；（2）如圖2，連接AB、BC、CA，，∵△DEF是由一個三棱柱表面展開圖剪拼而成，∴矩形ACKL、BIJC、AGHB為棱柱的三個側面，且四邊形DGAL、EIBH、FKCJ須拼成與底面△ABC全等的另一個底面的三角形，∴AC=LK，且AC=DL+FK，∴ACDF同理，可得ABDE∴△ABC∽△DEF，∴S△即S△∴S側面積即該三棱柱的側面積與表面積的比值是12【點睛】此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數形結合方法的應用，要熟練掌握．此題還考查了相似三角形的判定和性質的應用，要熟練掌握．同時此題還考查了直三棱柱的表面展開圖的特征和應用，要熟練掌握．【變式33】（2023·吉林長春·一模）綜合與實踐折紙是同學們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數學知識．折一折：把邊長為2的正方形紙片ABCD對折，使邊AB與CD重合，展開后得到折痕EF.如圖①；點M為CF上一點，將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊，使點C落在EF上的點N處，展開后連接DN，MN，AN，如圖②(1)圖②中，∠CMD=______；線段NF(2)圖②中，試判斷△AND剪一剪、折一折：將圖②中的△AND剪下來，將其沿直線GH折疊，使點A落在點A'處，分別得到圖③、圖(3)圖③中，陰影部分的周長為______．(4)圖③中，若∠A'GN=80°(5)圖③中，相似三角形(包括全等三角形)共有______對．(6)如圖④，點A'落在邊ND上，若A'N=2【答案】(1)75°，2-3(2)ΔAND是等邊三角形，理由見解析；(3)6；(4)40；(5)4對；(6)5【分析】（1）由折疊知DE=AE=12AD，則（2）由折疊知EF是AD的垂直平分線，得AN=DN，由（1）得（3）由折疊知A'G=AG，A'H=（4）由折疊知∠AGH=50°，則（5）根據兩組角相等可說明ΔNMG～ΔA（6）設A'N=2x，A'D=x，說明ΔA'GN～ΔHA'D，則【詳解】（1）解：由折疊的性質得，四邊形CDEF是矩形，∴EF=CD，∠∵將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊，使點C落在EF上的點N處，∴DN=CD∴∠EDN∴∠CDM=∠NDM∴∠CMD=75°，故答案為：75°；2-3（2）解：ΔADN是等邊三角形，理由如下：由第一次折疊知，EF是AD的垂直平分線，∴AN∵∠EDN∴ΔADN（3）解：∵將圖②中的ΔAND剪下來，將其沿直線GH折疊，使點A落在點A'∴A'G∴圖③中陰影部分的周長=ΔADN的周長=3×2=6故答案為：6；（4）解：將圖②中的ΔAND剪下來，將其沿直線GH折疊，使點A落在點A'∴∠AGH=∠A'∵∠A∴∠AGH∴∠AHG∴∠A故答案為：40；（5）解：如圖③，∵∠NMG=∠A∴ΔNMG由折疊知，ΔAGH?∴圖③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4對，故答案為：4對；（6）解：∵A'N=2A∵ND∴2=2x∴x∵∠N∴∠N∴∠A∴Δ∴A'設A'G=∴GN=2-m∴m解得：m=∴AG故答案為：54【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，利用相似三角形的周長比等于相似比是解決問題的關鍵．【題型4折疊與相似三角形綜合運用】【例4】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上一點，連接DE，將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC'E，C'E與AD交于F，點N為DE中點，射線AN交CD邊于點G，連接AE，若∠FAE【答案】6【分析】過點E作EH⊥AD，延長AG交BC延長線于T，由垂直證明四邊形ABEH為矩形，設BE=AH=x，由角相等推出EA=EF，因為EH⊥AF，AH=HF=x，即可表示出DF=6-2x，用HL證明△ABE≌△D【詳解】解：過點E作EH⊥AD，延長AG交BC延長線于∵∠B∴四邊形ABEH為矩形，∴BE設BE=∵AD∴∠FEC∵∠FAE∴∠AFE∴EA∵EH∴AH∴AF∴DF∵AD∴∠ADE由折疊可知：∠FED∴∠ADE∴EF∴EA∵AB∵∠ABE∴△ABE∴F在Rt△FD6-2x解得：x=1或x∴BE∵N為DE∴DN∵AD∴∠DAN又∵∠ADE∴△DAN≌△∴AD∵AD∴BE∵AD∴∠ADG∵∠DAG∴△DAG∴AD解得：DG=故答案為：615【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的知識，相似三角形判定和性質，正確做出輔助線是解答本題的關鍵．【變式41】2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，點E在邊AB上，