一元二次不等式及其解法

開(kāi)始

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一般地，解一元二次不等式，應(yīng)先整理成ax2+bx+c>0（或<0）的形式，并使a>0，然后通過(guò)判別式Δ判斷相應(yīng)方程ax2+bx+c=0的根的情況，求出方程的根，最后可在草稿紙上畫(huà)出示意圖，寫(xiě)出解集.返回目錄

1.一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系是怎樣的？

當(dāng)a>0時(shí)，一元二次不等式、一元二次方程及二次函數(shù)的關(guān)系如下表：判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1,2=(x1<x2)有兩相等實(shí)根

x1=x2=沒(méi)有實(shí)根一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0)Rax2+bx+c<0(a>0){x|x1<x<x2}{x|x<x1或x>x2}{

x∈R|x≠

}返回目錄返回目錄解下列不等式：（1）x2+28≥11x;

（2）x2+x>-

;（3）-x2+2x-3>0;

（4）x2<x+56.解：（1）由于4和7是x2-11x+28=0的兩根，

∴x2-11x+28≥0的解集為{x|x≥7或x≤4}.

（2）原不等式化為x2+x+

>0.

∵Δ=0,∴原不等式的解集為

.

（3）原不等式化為x2-2x+3<0,

∵Δ<0,∴原不等式的解集為φ.

（4）原不等式化為x2-x-56<0，而-7和8是x2-x-56=0的兩根，∴原不等式的解集為{x|-7<x<8}.返回目錄學(xué)點(diǎn)二含參數(shù)的不等式的解法解關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a>0.

【分析】由于涉及參數(shù)字母，要分類(lèi)討論.

【解析】原不等式整理得(x-a)(x-1)>0.

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∴當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為{x|x>a或x<1};

當(dāng)a<1時(shí)，原不等式的解集為{x|x>1或x<a};

當(dāng)a=1時(shí)，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠1}.由于a與1的大小不確定，為了使問(wèn)題能夠順利解下去，應(yīng)對(duì)a與1的大小關(guān)系進(jìn)行討論，討論時(shí)，不要忽略“a=1”這種情況.已知不等式

（a∈R）.（1）解這個(gè)關(guān)于x的不等式；（2）若x=-a時(shí)不等式成立，求a的取值范圍.解:返回目錄返回目錄返回目錄學(xué)點(diǎn)三一元二次不等式解集的逆向思維已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是或,求不等式ax2-bx+c>0的解集.

【分析】由于不等式的解集已知，那么-2,-

就應(yīng)是方程ax2+bx+c=0的兩根.

【解析】

：由題意，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開(kāi)口向下，且此圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-2,-

,故有a<0,返回目錄返回目錄學(xué)點(diǎn)四根的分布問(wèn)題關(guān)于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩根都大于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.圖3-2-1

【解析】返回目錄

【評(píng)析】二次方程根的分布問(wèn)題多借助根的判別式、韋達(dá)定理或者用數(shù)形結(jié)合法由二次函數(shù)圖象求解.返回目錄圖3-2-2

3.如何研究根的分布問(wèn)題？

實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，含參數(shù)m的二次方程ax2+bx+c=0

（1）有實(shí)根、無(wú)實(shí)根、有兩個(gè)相等實(shí)根.

（2）有兩正根、兩負(fù)根，一正一負(fù)根.

（3）有零根.

（4）有兩個(gè)大于k的根，有兩個(gè)小于k的根，一根大于k另一根小于k…的一般討論方法通?？紤]以下幾個(gè)方面:①求根公式.②判別式.③對(duì)稱(chēng)軸.④開(kāi)口方向.⑤區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值.

方法有三類(lèi)：（一）判別式、韋達(dá)定理法；（二）判別式、對(duì)稱(chēng)軸、構(gòu)造函數(shù)法；（三）求根公式法.以下幾類(lèi)是常見(jiàn)問(wèn)題：（在a≠0條件下）（1）方程ax2+bx+c=0有實(shí)根，有兩不等實(shí)根，無(wú)實(shí)根.主要考慮判別式Δ和二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào).返回目錄

(2)方程ax2+bx+c=0

有兩正根方程ax2+bx+c=0有兩負(fù)根方程ax2+bx+c=0有一正一負(fù)兩實(shí)根返回目錄返回目錄

(3)方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)大于n的根（解法類(lèi)似于有兩正根）

方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)小于k的根（解法類(lèi)似于有兩負(fù)根情形）方程ax2+bx+c=0一根大于k.另一根小于k(解法類(lèi)似于一正一負(fù)根的情形）

(4)方程ax2+bx+c=0兩根都在（m,n）內(nèi)返回目錄返回目錄

(5)方程ax2+bx+c=0一根在（m,n)內(nèi)，另一根在（p,q)（其中p≥m)內(nèi)返回目錄學(xué)點(diǎn)五恒成立問(wèn)題

【分析】本題考查恒成立問(wèn)題，一定要注意m2+4m-5=0的情況.已知函數(shù)y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3對(duì)任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)值恒大于零，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】①當(dāng)m2+4m-5=0時(shí)m=-5或m=1.

若m=-5,則函數(shù)化為y=24x+3.對(duì)任意實(shí)數(shù)x不可能恒大于0.

若m=1,則y=3>0恒成立.②當(dāng)m2+4m-5≠0時(shí)，據(jù)題意應(yīng)有m2+4m-5>0，16(1-m)2-12(m2+4m-5)<0.返回目錄∴∴1<m<19.

綜上1≤m<19.m<-5或m>1，1<m<19，

【評(píng)析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的條件為

a>0,

Δ<0.

（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件為

a<0,

Δ<0.返回目錄不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)對(duì)任意x∈R恒成立，求a與m之間的關(guān)系.解：返回目錄已知f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x∈［-1,+∞)時(shí)f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍.解：解法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=a,①當(dāng)a∈(-∞,-1)時(shí)，結(jié)合圖象知，f(x)在［-1,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(-1)=2a+3.

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,

即2a+3≥a，解得-3≤a<-1;②當(dāng)a∈［-1,+∞）時(shí)，f(x)min=f(a)=2-a2,

由2-a2≥a,解得-2≤a≤1.

綜上所述，所求a的取值范圍為-3≤a≤1.解法二：由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1,+∞)上恒成立，即Δ=4a2-4(2-a)≤0Δ>0,

或a<-1,解得-3≤a≤1. f(-1)≥0,返回目錄返回目錄設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對(duì)于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.解：以m為主元構(gòu)造函數(shù)f(m)=(x2-1)m-(2x-1),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(m)在［-2,2］內(nèi)恒為負(fù)值.

故有

f(-2)<0

-2x2-2x+3<0

f(2)<0

2x2-2x-1<0

故x的取值范圍為

.小結(jié)：法一利用參變量分離法，化成a>f(x)(a<f(x))型恒成立問(wèn)題，再利用a>fmax(x)(a<fmin(x))求出參數(shù)范圍。

法二化歸為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與定義域的位置關(guān)系、單調(diào)性等相關(guān)知識(shí)，求出參數(shù)范圍。

法三特值驗(yàn)證法，此法抓住本題是選擇題的特征，顯得較為簡(jiǎn)便。

法四化成f(x)≥g(x)型問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的關(guān)系再處理。

2.如何解含參數(shù)的不等式？對(duì)于含有參數(shù)的不等式，由于參數(shù)的取值范圍不同，其結(jié)果就不同，因此必須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，即要產(chǎn)生一個(gè)劃分參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn).一般地，對(duì)于一元一次不等式，劃分的標(biāo)準(zhǔn)是一次項(xiàng)系數(shù)大于0、等于0、小于0.對(duì)于形如ax2+bx+c>0的不等式劃分標(biāo)準(zhǔn)有幾種類(lèi)型：（1）a>0,a=0,a<0；（2）Δ>0,Δ=0,Δ<0;

（3）若x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，則x1>x2,x1=x2,x1<x2.

以上三種都有可能作為解含參數(shù)的二次不等式分類(lèi)討論劃分的標(biāo)準(zhǔn).而對(duì)于含參數(shù)的絕對(duì)值不等式,討論符號(hào)可以作為劃分的標(biāo)準(zhǔn).掌握劃分標(biāo)準(zhǔn)后,就可以對(duì)不同范圍的參數(shù)分別解不等式,但每一類(lèi)參數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式的解都是原不等式的解的一種可能,它們之間是獨(dú)立的,因而不能把不同參數(shù)下的解集求并集.這些一定要注意.返回目錄一樣的軟件不一樣的感覺(jué)一樣的教室不一樣的心情一樣的知識(shí)不一樣的收獲

1.一bx+c的函數(shù)值為零時(shí)對(duì)應(yīng)的x值;一元二次不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集就是使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于零或小于零的x的取值范圍;一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是一元二次不等式ax2+bx+c<0,

ax2+bx+c>0的解集端點(diǎn).

2.解一元二次不等式時(shí)，必須注意二次項(xiàng)的系數(shù)的符號(hào)，當(dāng)a<0時(shí)，可以利用不等式的性質(zhì)化為正數(shù)，然后再求解.