陜西省育才中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

陜西省育才中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，已知三棱錐，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.2．若向量則（）A. B.3C. D.3．已知空間向量，，，下列命題中正確的個數(shù)是（）①若與共線，與共線，則與共線；②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；⑧若，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得；④若，不共線，向量，則可以構(gòu)成空間的一個基底.A.0 B.1C.2 D.34．設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線C上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線（）A.經(jīng)過點(diǎn) B.經(jīng)過點(diǎn)C.平行于直線 D.垂直于直線5．已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若E的漸近線上恰好存在四個點(diǎn)，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則（）A.－4 B.－10C.4 D.107．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，已知向量，，且，則A.12 B.10C.5 D.8．已知圓，圓C2：x2+y2－x－4y+7=0，則“a=1”是“兩圓內(nèi)切”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件9．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點(diǎn)，弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.202210．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）A.25 B.26C.27 D.2811．過橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.412．已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)為，則“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在直三棱柱中，，為中點(diǎn)，則平面與平面夾角的正切值為___________.14．若無論實(shí)數(shù)取何值，直線與圓恒有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.15．設(shè)函數(shù)，，若存在，成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.16．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）要設(shè)計一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設(shè)計才能使得總成本最低？18．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.20．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且（1）求角的大小（2）若，且，求的面積21．（12分）求滿足下列條件的曲線的方程：（1）離心率為，長軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程22．（10分）已知與定點(diǎn)，的距離比為的點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn).（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】連接，先根據(jù)已知條件表示出，再根據(jù)求得結(jié)果.【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選：A.2、D【解析】先求得，然后根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求得【詳解】由于向量，，所以.故故選：D3、B【解析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與，與共線，，則不能判定，故①錯誤；若非零向量共面，則向量可以在一個與組成的平面平行的平面上，故②錯誤；不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故③正確；，∴與共面，故不能組成一個基底，故④錯誤；故選：C.4、A【解析】依據(jù)題意作出焦點(diǎn)在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn).故選：A.5、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點(diǎn)，則必有，又當(dāng)圓M經(jīng)過原點(diǎn)時此時以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點(diǎn)，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點(diǎn)當(dāng)圓M與漸近線相切時，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當(dāng)圓M經(jīng)過原點(diǎn)時，，解得E的離心率為，此時以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點(diǎn)，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D6、A【解析】根據(jù)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的規(guī)律：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求出點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】解：由題意，關(guān)于平面對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而有點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，?1，-3）.故選：A【點(diǎn)睛】本題以空間直角坐標(biāo)系為載體，考查點(diǎn)關(guān)于面的對稱，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題7、C【解析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出【詳解】向量＝（，），＝（，），且?＝4，∴+＝4，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：＝……＝＝＝2，則log2（?）＝故選C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題8、B【解析】先得出圓的圓心和半徑，求出兩圓心間的距離，半徑之差，根據(jù)兩圓內(nèi)切得出方程，從而得出答案.【詳解】圓的圓心半徑的圓心半徑兩圓心之間的距離為兩圓的半徑之差為當(dāng)兩圓內(nèi)切時，，解得或所以當(dāng)，可得兩圓內(nèi)切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時，不能得出（可能）故“”是“兩圓內(nèi)切”的充分不必要條件故選：B9、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過焦點(diǎn)的最短弦長，再結(jié)合拋物線的對稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過拋物線焦點(diǎn)中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點(diǎn)，長度最短的弦的長為，由拋物線的對稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有條，故弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是故選：A10、C【解析】根據(jù)通項(xiàng)公式及求出，從而求出前8項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為.故選：C11、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A12、A【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性之間關(guān)系，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)為，若“對任意的，”，則在上為增函數(shù)；若在上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，即由“對任意的，”能推出“在上為增函數(shù)”；由“在上為增函數(shù)”不能推出“對任意的，”，因此“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由條件可得均為等腰直角三角形，從而，先證明平面，從而，即得到為平面與平面夾角的平面角，從而可求解.【詳解】由，則，則在直三棱柱中,平面，又平面,則又，所以平面平面,所以由由條件可得均為等腰直角三角形，則所以，即,由所以平面,又平面所以，即為平面與平面夾角的平面角.在直角中,所以故答案為：14、【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，根據(jù)，解不等式得到答案.【詳解】依題意有圓心到直線的距離，即，又無論取何值，，故，故.故答案：15、【解析】由不等式分離參數(shù)，令，則求即可【詳解】由，得，令，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故由于存在，成立，則故答案為：16、5【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：，所以.故答案為：5.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.【解析】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進(jìn)而根據(jù)體積得到，然后求出表面積，進(jìn)而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法求得表面積的最小值，此時成本最小.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價為元，由題意得：，則，表面積造價，，令，得，令，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)得到，再結(jié)合為等比數(shù)列求出首項(xiàng)，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用公式法即可求出【小問1詳解】解：（1），，當(dāng)時，，即，又，為等比數(shù)列，所以，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】（2）由（1）知，則，數(shù)列的前項(xiàng)和19、（1）極小值為，無極大值；（2）.【解析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可；（2）對進(jìn)行常變量分離，然后構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而求出新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題意求出的取值范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，.由，得.當(dāng)變化時，，的變化情況如下表-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無極大值.（2）對，恒成立，即對，恒成立.令，則.由得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，因此.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查了構(gòu)造函數(shù)法、常變量分離法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和分類討論思想.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)，通過余弦定理求解.（2）根據(jù)，通過正弦定理，把角轉(zhuǎn)化為邊得，再根據(jù)，得．再代入的面積公式求解.【詳解】（1）∵，∴由余弦定理得，又，∴.（2）∵，∴由正弦定理得，∵，∴，又，∴∴面積【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）或；（2）【解析】(1)根據(jù)題意,由橢圓的幾何性質(zhì)可得a、c的值,計算可得b的值,討論橢圓焦點(diǎn)的位置,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可得答案；(2)根據(jù)題意,求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可以設(shè)雙曲線的方程為,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案【詳解】解：（1）根據(jù)題意,要求橢圓的長軸長為6,離心率為,則,,解可得：,；則,若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,其方程為,若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,其方程為,綜合可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2）根據(jù)題意,橢圓的焦點(diǎn)為和,故要求雙曲線的方程為,且,則有,又由雙曲線經(jīng)過經(jīng)過點(diǎn),則有,,聯(lián)立可得：,故雙曲線方程為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,涉及橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題22、（1）（2）或【解析】（1）設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可得，化簡即可得出（2）分直線的斜率不存在與存在