2025屆內(nèi)蒙古烏蘭察布市北京八中分校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆內(nèi)蒙古烏蘭察布市北京八中分校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓2．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l上有兩點(diǎn)A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C.或 D.3．已知雙曲線離心率為2，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.4．曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）A. B.C. D.15．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知直線l：的傾斜角為，則（）A. B.1C. D.－17．如圖，若斜邊長(zhǎng)為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為（）A.2 B.C. D.88．如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且，，則橢圓方程為（）A. B.C. D.9．將一枚均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現(xiàn)兩次點(diǎn)數(shù)為3的概率為（）A. B.C. D.10．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.11．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.12．在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則的值為A. B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.14．螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開(kāi)始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如下圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫(huà)法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q，作第3個(gè)正方形MNPQ，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為，直角三角形EMQ面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，…，，若數(shù)列的前n項(xiàng)和恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M的準(zhǔn)線為l且與x軸相交于點(diǎn)B，A為M上的一點(diǎn)，直線AO與直線l相交于C點(diǎn)，若，，則M的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________.16．若復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)（），則|z|=_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓M過(guò)C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）設(shè)：函數(shù)的定義域?yàn)椋唬翰坏仁綄?duì)任意的恒成立（1）如果是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）如果“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）已知，.（1）若，為假命題，求的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.22．（10分）在中，已知，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，于點(diǎn).（1）求直線方程；（2）求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動(dòng)點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段.故選：2、C【解析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)或時(shí)，，解得，所以拋物線的方程是或.故選：C.3、C【解析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意故選：C4、B【解析】先求與平行且與相切的切線切點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得結(jié)果.【詳解】設(shè)與平行的直線與相切，則切線斜率k=1，∵∴，由，得當(dāng)時(shí),即切點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,0)，則點(diǎn)(1,0)到直線的距離就是線上的點(diǎn)到直線的最短距離，∴點(diǎn)(1,0)到直線的距離為：，∴曲線上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為.故選：B5、D【解析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡(jiǎn)為即表示以為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，如圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)最大，即，當(dāng)直線與下半圓相切時(shí)最小，由圓心到直線距離等于半徑2，可得：解得（舍去），或結(jié)合圖象可得故選：D.6、A【解析】由傾斜角求出斜率，列方程即可求出m.【詳解】因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以斜率.所以，解得：.故選：A7、C【解析】由斜二測(cè)還原圖形計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】在斜二測(cè)直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，.還原原圖形如圖：則，則.故選：C8、C【解析】連結(jié)，設(shè)，則，，由可求出，進(jìn)而可求出，得出橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程：，設(shè)左焦點(diǎn)為，連結(jié)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設(shè)，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，在求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，關(guān)鍵是求解基本量，，.9、D【解析】利用次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式直接求解.【詳解】解：將一枚均勻的篩子先后拋擲3次，每次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的概率都是至少出現(xiàn)兩次點(diǎn)數(shù)為3的概率為：故選：D10、D【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.11、A【解析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)12、A【解析】根據(jù)題意，由正四面體的性質(zhì)可得：，可得，由E是棱中點(diǎn)，可得，代入，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點(diǎn)故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查立體幾何中的垂直關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意分別求出這三個(gè)平面的法向量，設(shè)直線的方向向量為，由直線與平面與的法向量垂直，得出，由向量的夾角公式可得答案.【詳解】由，解得，即直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為平面的方程為，可得所以平面的法向量為平面的法向量為，的法向量為設(shè)直線的方向向量為，則，即取，設(shè)直線與平面所成角則故答案為：14、或【解析】先求正方形邊長(zhǎng)的規(guī)律，再求三角形面積的規(guī)律，從而就可以求和了，再解不等式即可求解.【詳解】由題意，由外到內(nèi)依次各正方形的邊長(zhǎng)分別為，則，，……，，于是數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.由題意可得：，即……，于是.，故解得或.故答案為：或15、【解析】先利用相似關(guān)系計(jì)算，求得直線OA的方程，再聯(lián)立方程求得，利用拋物線定義根據(jù)即得p值，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯(lián)立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.16、【解析】利用復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)求出a，即可求出|z|.【詳解】z=.由純虛數(shù)的定義知，，解得.所以.故|z|=.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)圓的方程為：，由已知列出方程組，解之可得圓的方程；（2）由已知得四邊形的面積為，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解：（1）設(shè)圓方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標(biāo)以及平面的一個(gè)法向量，證明結(jié)合面，即可求證；（2）求出的坐標(biāo)以及平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因?yàn)槊婷?，面面，，面，所以平面，因?yàn)槊?，所以，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，可得，令，則，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槊?，所以平?【小問(wèn)2詳解】，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，令，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.19、（1）（2）【解析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）利用基本不等式，求得當(dāng)命題是真命題，得到，結(jié)合“”為真命題，“”為假命題，分類(lèi)討論，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槭钦婷}，所以對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式，顯然在不能恒成立；當(dāng)時(shí)，則滿(mǎn)足解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立若是真命題，則；因?yàn)椤啊睘檎婷}，“”為假命題，所以與一真一假當(dāng)真假時(shí)，所以；當(dāng)假真時(shí)，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為20、（1）（2）【解析】（1）分別求出命題、為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，依題意、都為假命題，求出的取值范圍，即可得解；（2）依題意可得是的必要不充分條件，則真包含于，即可得到不等式組，解得即可；【小問(wèn)1詳解】由，解得，即，由，可得，所以，當(dāng)時(shí)，解得，即，因?yàn)闉榧倜}，則、都為假命題，當(dāng)為假命題時(shí)：或當(dāng)為假命題時(shí)：或故當(dāng)、都為假命題，或綜上可得；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，由（1）可知，，所以真包含于，所以，解得，即21、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關(guān)于的不等式組，解不等式組可得答案；（2）“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可【小問(wèn)1詳解】由題意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分條件可得A?B，則，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是