湖北省武漢市常青第一中學2025屆高三數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省武漢市常青第一中學2025屆高三數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)在上都存在導函數(shù),對于任意的實數(shù)都有,當時,,若,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.中國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.3.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),下列結(jié)論不正確的是()A.的圖像關(guān)于點中心對稱 B.既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)C.的圖像關(guān)于直線對稱 D.的最大值是5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的取值范圍()A. B. C. D.6.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.7.設(shè)復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達式為()A. B.C. D.9.如圖,將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形,將平行四邊形沿對角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解,則實數(shù)的最大值為()A.2 B.3 C.5 D.811.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要12.《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗,根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達圖(如圖,每項指標值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,已知是的中點,且,點滿足,則的取值范圍是_______.14.已知數(shù)列滿足,且恒成立,則的值為____________.15.若函數(shù),則使得不等式成立的的取值范圍為_________.16.若,則________,________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)武漢有“九省通衢”之稱,也稱為“江城”,是國家歷史文化名城.其中著名的景點有黃鶴樓、戶部巷、東湖風景區(qū)等等.(1)為了解“五·一”勞動節(jié)當日江城某旅游景點游客年齡的分布情況,從年齡在22歲到52歲的游客中隨機抽取了1000人,制成了如圖的頻率分布直方圖:現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中,采用分層抽樣的方法抽取10人,再從抽取的10人中隨機抽取4人,記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求;(2)為了給游客提供更舒適的旅游體驗,該旅游景點游船中心計劃在2020年勞動節(jié)當日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動節(jié)當日客流量(單位:萬人)都大于1.將每年勞動節(jié)當日客流量數(shù)據(jù)分成3個區(qū)間整理得表:勞動節(jié)當日客流量頻數(shù)(年)244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率,且每年勞動節(jié)當日客流量相互獨立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用,但每年勞動節(jié)當日型游船最多使用量(單位:艘)要受當日客流量(單位:萬人)的影響,其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表:勞動節(jié)當日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動節(jié)當日被投入且被使用,則游船中心當日可獲得利潤3萬元;若某艘型游船勞動節(jié)當日被投入?yún)s不被使用,則游船中心當日虧損0.5萬元.記(單位:萬元)表示該游船中心在勞動節(jié)當日獲得的總利潤,的數(shù)學期望越大游船中心在勞動節(jié)當日獲得的總利潤越大,問該游船中心在2020年勞動節(jié)當日應(yīng)投入多少艘型游船才能使其當日獲得的總利潤最大?18.(12分)山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成,總分為750分.其中,統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學、外語,自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目,語、數(shù)、外三科各占150分,選考科目成績采用“賦分制”,即原始分數(shù)不直接用,而是按照學生分數(shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案,將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級。參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時,將A至E等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分數(shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.舉例說明.某同學化學學科原始分為65分,該學科C+等級的原始分分布區(qū)間為58~69,則該同學化學學科的原始成績屬C+等級.而C+等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61~70,那么該同學化學學科的轉(zhuǎn)換分為:設(shè)該同學化學科的轉(zhuǎn)換等級分為x,69-6565-58=70-x四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?7.(1)某校高一年級共2000人,為給高一學生合理選科提供依據(jù),對六個選考科目進行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布ξ~N(60,12(i)若小明同學在這次考試中物理原始分為84分,等級為B+,其所在原始分分布區(qū)間為82~93,求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績;(ii)求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機抽取4人,記X表示這4人中等級成績在區(qū)間[61,80]的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.(附:若隨機變量ξ~N(μ,σ2),則Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68219.(12分)在直角坐標系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),).以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.(l)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程:(2)若直線與曲線C相交于A,B兩點,且.求直線的方程.20.(12分)在平面四邊形中,已知,.(1)若,求的面積;(2)若求的長.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)當時,設(shè)的最小值為,若恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.22.(10分)在中,角,,所對的邊分別為,,,已知,,角為銳角,的面積為.(1)求角的大小;(2)求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式,解得結(jié)果.【詳解】令,則當時,,又,所以為偶函數(shù),從而等價于,因此選B.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.2、C【解析】從21開始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.3、C【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出最小時的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項和中,前項的和最小,且.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性,函數(shù)的最值判斷選項的正誤即可得到結(jié)果.【詳解】解:,正確;,為奇函數(shù),周期函數(shù),正確;,正確;D:,令,則,,,,則時,或時,即在上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減;且,,,故D錯誤.故選:.【點睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷,利用導數(shù)判斷函數(shù)最值,屬于中檔題.5、B【解析】

由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時,,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項;當時,,可排除D選項;當時,,當時,,即,可排除C選項,故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.7、A【解析】

由復數(shù)的除法運算可整理得到,由此得到對應(yīng)的點的坐標,從而確定所處象限.【詳解】由得:,對應(yīng)的點的坐標為,位于第一象限.故選:.【點睛】本題考查復數(shù)對應(yīng)的點所在象限的求解,涉及到復數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點求出,化簡即得所求.【詳解】由圖像知,,,解得,因為函數(shù)過點,所以,,即,解得,因為,所以,.故選:A【點睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導公式,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

利用建系,假設(shè)長度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C【點睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面,然后利用解三角形知識求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】

畫出函數(shù)的圖象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解:函數(shù),如圖所示當時,,由于關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3,又∴,,則當時,,則不滿足題意;當時,當時,,沒有整數(shù)解當時,,至少有兩個整數(shù)解綜上,實數(shù)的最大值為故選:D【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,屬于較難題.11、B【解析】

由線面關(guān)系可知,不能確定與平面的關(guān)系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當時,存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B【點睛】本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析,由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項,甲的數(shù)據(jù)分析分,乙的數(shù)據(jù)分析分,甲低于乙,故A選項錯誤.對于B選項,甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項錯誤.對于C選項,乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項錯誤.對于D選項,甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項正確.故選:D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由中點公式的向量形式可得,即有,設(shè),有,再分別討論三點共線和不共線時的情況,找到的關(guān)系,即可根據(jù)函數(shù)知識求出范圍.【詳解】是的中點,∴,即設(shè),于是(1)當共線時,因為,①若點在之間,則,此時,;②若點在的延長線上,則,此時,.(2)當不共線時,根據(jù)余弦定理可得,解得,由,解得.綜上,故答案為:.【點睛】本題主要考查學中點公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用,涉及到函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式,屬于中檔題.14、【解析】

易得,所以是等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知,,因,所以,所以數(shù)列是以為首項,3為公差的等差數(shù)列,故,所以.故答案為:【點睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項,考查學生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.15、【解析】

分,兩種情況代入討論即可求解.【詳解】,當時,,符合;當時,,不滿足.故答案為:【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計算,考查了分類討論的思想.16、【解析】

根據(jù)誘導公式和二倍角公式計算得到答案.【詳解】,故.故答案為:;.【點睛】本題考查了誘導公式和二倍角公式,屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)投入3艘型游船使其當日獲得的總利潤最大【解析】

(1)首先計算出在,內(nèi)抽取的人數(shù),然后利用超幾何分布概率計算公式,計算出.(2)分別計算出投入艘游艇時,總利潤的期望值,由此確定當日游艇投放量.【詳解】(1)年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為150,年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為100;若采用分層抽樣的方法抽取10人,則年齡在內(nèi)的人數(shù)為6人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為4人.可得.(2)①當投入1艘型游船時,因客流量總大于1,則(萬元).②當投入2艘型游船時,若,則,此時;若,則,此時;此時的分布列如下表:2.56此時(萬元).③當投入3艘型游船時,若,則,此時;若,則,此時;若,則,此時;此時的分布列如下表:25.59此時(萬元).由于,則該游船中心在2020年勞動節(jié)當日應(yīng)投入3艘型游船使其當日獲得的總利潤最大.【點睛】本小題主要考查分層抽樣,考查超幾何分布概率計算公式,考查隨機變量分布列和期望的求法,考查分析與思考問題的能力,考查分類討論的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.18、(1)(i)83.;(ii)272.(2)見解析.【解析】

(1)根據(jù)原始分數(shù)分布區(qū)間及轉(zhuǎn)換分區(qū)間,結(jié)合所給示例,即可求得小明轉(zhuǎn)換后的物理成績;根據(jù)正態(tài)分布滿足N60,122(2)根據(jù)各等級人數(shù)所占比例可知在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為25,由二項分布即可求得X【詳解】(1)(i)設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級分為x,93-8484-82求得x≈82.64.小明轉(zhuǎn)換后的物理成績?yōu)?3分;(ii)因為物理考試原始分基本服從正態(tài)分布N60,所以P(72<ξ<84)=P(60<ξ<84)-P(60<ξ<72)===0.136.所以物理原始分在區(qū)間72,84的人數(shù)為2000×0.136=272(人);(2)由題意得,隨機抽取1人,其等級成績在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為25隨機抽取4人,則X~B4,PX=0=3PX=2=CPX=4X的分布列為X01234P812162169616數(shù)學期望EX【點睛】本題考查了統(tǒng)計的綜合應(yīng)用,正態(tài)分布下求某區(qū)間概率的方法,分布列及數(shù)學期望的求法,文字多,數(shù)據(jù)多,需要細心的分析和理解,屬于中檔題。19、(1)見解析(2)【解析】

(1)將消去參數(shù)t可得直線的普通方程,利用x=ρcosθ,可將極坐標方程轉(zhuǎn)為直角坐標方程.(2)利用直線被圓截得的弦長公式計算可得答案.【詳解】(1)由消去參數(shù)t得(),由得曲線C的直角坐標方程為:(2)由得,圓心為(1,0),半徑為2,圓心到直線的距離為,∴,即,整理得,∵,∴,,,所以直線l的方程為:.【點睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標方程與直角坐標方程之間的互化,考查直線被圓截得的弦長公式的應(yīng)用,考查分析能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2).【解析】

(1)在三角形中,利用余弦定理列方程,解方程求得的長,進而由三角形的面積公式求得三角形的面積.(2)利用誘導公式求得,進而求得,利用兩角差的正弦公式,求得,在三角形中利用正弦定理求得,在

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