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文檔簡介

一、正交向量組

§4.6向量的正交化二、標準正交基三、正交矩陣設(shè)Ｖ為歐氏空間，非零向量①若則是正交向量組.②正交向量組必是線性無關(guān)向量組.一、正交向量組定義：如果它們兩兩正交，則稱之為正交向量組.注：證：設(shè)非零向量兩兩正交.令則由知故線性無關(guān).④

維歐氏空間中正交向量組所含向量個數(shù)③歐氏空間中線性無關(guān)向量組未必是正交向量組．例如：中線性無關(guān)．但不是正交向量組.1.幾何空間中的情況在直角坐標系下是由單位向量構(gòu)成的正交向量組，即

二、標準正交基是的一組基.設(shè)

①從②③得④即在基下，中的與內(nèi)積有關(guān)的度量性質(zhì)有

簡單的表達形式.維歐氏空間中，由個向量構(gòu)成的正交向量組稱為正交基；2.標準正交基的定義由單位向量構(gòu)成的正交基稱為標準正交基.

注：①由正交基的每個向量單位化，可得到一組標準正交基.②維歐氏空間V中的一組基為標準正交基③維歐氏空間V中的一組基為標準正交基當且僅當其度量矩陣

(1)

④維歐氏空間V中標準正交基的作用:設(shè)為V的一組標準正交基，則(i)設(shè)由(1)，(ii)(3)這里

(iii)有(2)(定理1)維歐氏空間中任一個正交向量組都能擴充成一組正交基.證：設(shè)歐氏空間Ｖ中的正交向量組，對作數(shù)學(xué)歸納法．當時,

3.標準正交基的構(gòu)造─施密特(Schmidt)正交化過程

就是一組正交基了.

1）使假設(shè)時結(jié)論成立，即此時可找到向量

成為一組正交基.現(xiàn)在來看的情形.所以必有向量不能被線性表出，因為作向量待定．從正交向量組的性質(zhì)知于是取即為正交向量組．由歸納法假設(shè)知，對這個向量構(gòu)成的正交組可得可擴充得正交基.于是定理得證．（1）正交化，取，求規(guī)范正交基的方法-Schmidt正交化（2）單位化，取例1

用施密特正交化方法，將向量組正交規(guī)范化.解

先正交化，取施密特正交化過程再單位化，得規(guī)范正交向量組如下例2解再把它們單位化，取例3解把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求．亦即取例4.

把

變成單位正交的向量組.解：令正交化再單位化即為所求．證明定義定理4.正交矩陣與正交變換

為正交矩陣的充要條件是的列向量都是單位向量且兩兩正交．性質(zhì)

正交變換保持向量的長度不變．證明例５

判別下列矩陣是否為正交陣．定義

若為正交陣，則線性變換

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