高考文科數(shù)學人教A版23　函數(shù)的奇偶性與周期性

§2.3函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱考情考向分析1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性．3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.以理解函數(shù)的奇偶性、會用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，加強函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識，題型以選擇、填空題為主，中等偏上難度.1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．知識拓展1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．(×)(2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱．(√)(3)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù)．(√)(4)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件．(√)(5)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．(√)題組二教材改編2．[P39A組T6]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－1)＝________.答案－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.3．[P45B組T4]設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x∈[－1,1)時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x＜0，,x，0≤x＜1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝______.答案1解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋2＝1.4．[P39A組T6]設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，若當x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由圖象可知，當0＜x＜2時，f(x)＞0；當2＜x≤5時，f(x)＜0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當－2＜x＜0時，f(x)＜0，當－5≤x<－2時，f(x)>0.綜上，f(x)＜0的解集為(－2,0)∪(2,5]．題組三易錯自糾5．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案B解析依題意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，∴a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3)，故選B.6．偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________.答案3解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)．又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.題型一判斷函數(shù)的奇偶性典例判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x－2|－2)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x＜0，,－x2＋x，x＞0.))解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，即函數(shù)f(x)的定義域為{－eq\r(3)，eq\r(3)}，∴f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2＞0，,|x－2|≠2，))得定義域為(－1,0)∪(0,1)，關(guān)于原點對稱．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(lg1－x2,－x).又∵f(－x)＝eq\f(lg[1－－x2],x)＝eq\f(lg1－x2,x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．∵當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．思維升華判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．跟蹤訓練(1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x2＋sinx答案D解析對于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，為奇函數(shù)；對于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，為偶函數(shù)；對于C，f(－x)＝2－x＋eq\f(1,2－x)＝2x＋eq\f(1,2x)＝f(x)，為偶函數(shù)；對于D，y＝x2＋sinx既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)＝lg|sinx|是()A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為2π的奇函數(shù)C．最小正周期為π的偶函數(shù)D．最小正周期為2π的偶函數(shù)答案C解析題型二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用1．若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x，0≤x≤1，,sinπx，1<x≤2，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝________.答案eq\f(5,16)解析由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×4－\f(3,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×4－\f(7,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)))＝－eq\f(3,16)＋sineq\f(π,6)＝eq\f(5,16).2．(2017·山東)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.3．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝________.答案339解析∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.∵當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)＝1×eq\f(2016,6)＝336.又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝339.思維升華函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)．對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值．題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用命題點1求函數(shù)值或函數(shù)解析式典例(1)(2017·全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________.答案12解析方法一令x＞0，則－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.(2)(2016·全國Ⅲ改編)已知f(x)為偶函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則f(x)＝________.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x－1－x，x≤0，,ex－1＋x，x＞0))解析∵當x＞0時，－x＜0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x－1－x，x≤0，,ex－1＋x，x＞0.))命題點2求參數(shù)問題典例(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋2x＋k,tanx)為奇函數(shù)，則k＝____.答案－2解析∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴eq\f(x＋2x＋k,tanx)＝－eq\f(－x＋2－x＋k,tan－x)，∴(x＋2)(x＋k)＝(2－x)(k－x)，x2＋2x＋kx＋2k＝2k－kx－2x＋x2，∴k＝－2.(2)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x<0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，則a＋3b的值為________．答案－10解析因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))且f(－1)＝f(1)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，從而eq\f(\f(1,2)b＋2,\f(1,2)＋1)＝－eq\f(1,2)a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝eq\f(b＋2,2)，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10.命題點3利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式典例(1)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，則()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)答案A解析由題意知f(x)為偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，又x∈[0，＋∞)時，f(x)為減函數(shù)，且3>2>1，∴f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(－2)<f(1)，故選A.(2)若f(x)為奇函數(shù)，且在(－∞，0)上是減函數(shù)，又f(－2)＝0，則x·f(x)<0的解集為____________．答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由x·f(x)<0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx<0.))∵f(x)為奇函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)，f(－2)＝0，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,fx>0，))解得x<－2；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx<0，))解得x>2，∴x·f(x)<0的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．思維升華(1)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題．(2)掌握以下兩個結(jié)論，會給解題帶來方便：①f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)．②若奇函數(shù)在x＝0處有意義，則f(0)＝0.跟蹤訓練(1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(lgx)<0，則x的取值范圍是()A．(0,1) B．(1,10)C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)答案A解析由題意，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)＝0，不等式f(lgx)<0＝f(0)等價于lgx<0，故0<x<1，故選A.(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)答案D解析因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)<f(0)<f(1)．所以f(－25)<f(80)<f(11)．函數(shù)的性質(zhì)考點分析函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題．一、函數(shù)性質(zhì)的判斷典例1(1)(2017·北京)已知函數(shù)f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)(2)(2017·荊州模擬)下列函數(shù)：①y＝sin3x＋3sinx;②y＝eq\f(1,ex＋1)－eq\f(1,2)；③y＝lgeq\f(1－x,1＋x)；④y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x－1，x>0，))其中是奇函數(shù)且在(0,1)上是減函數(shù)的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4(3)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．現(xiàn)有以下三個命題：①8是函數(shù)f(x)的一個周期；②f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱；③f(x)是偶函數(shù)．其中正確命題的序號是________．解析(1)∵函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－x)＝3－x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－3x＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．∵函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是減函數(shù)，∴函數(shù)y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是增函數(shù)．又∵y＝3x在R上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是增函數(shù)．(2)易知①中函數(shù)在(0,1)上為增函數(shù)；④中函數(shù)不是奇函數(shù)；滿足條件的函數(shù)為②③.(3)由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期是4，①對；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，②對；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數(shù)，③對．答案(1)B(2)B(3)①②③

二、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例2(1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實數(shù)x，f(x－2)＝f(x＋2)，當x∈(0,2)時，f(x)＝－x2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)))等于()A．－eq\f(9,4)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4)D.eq\f(9,4)解析由f(x－2)＝f(x＋2)，可知函數(shù)f(x)的最小正周期T＝4，又由于該函數(shù)是奇函數(shù)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2))＝eq\f(9,4).答案D(2)函數(shù)f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2018－\f(a,x)))在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析由已知函數(shù)y＝x＋2018－eq\f(a,x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，且y＞0恒成立．∵y′＝1＋eq\f(a,x2)，令y′≥0得a≥－x2(x≥1)，∴a≥－1.又由當x＝1時，y＝1＋2018－a＞0，得a＜2019.∴a的取值范圍是[－1,2019).答案[－1,2019)(3)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－eq\r(2))，則a的取值范圍是________．解析∵f(2|a－1|)＞f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))，又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴2|a－1|＜eq\r(2)＝，∴|a－1|＜eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))1．下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x答案D解析函數(shù)f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，排除選項A和B；選項C中，f(x)＝2x－2－x，則f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，且定義域為R，所以f(x)＝2x－2－x為奇函數(shù)，排除選項C；選項D中，f(x)＝2x＋2－x，則f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x為偶函數(shù)，故選D.2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)答案A解析易知函數(shù)定義域為(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，又f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1－x)))，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法知，f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，故選A.3．(2017·江西南城一中模擬)已知R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x＞0時，f(x)＝x2＋x－1，則f(f(－1))等于()A．－1B．1C．2D．－2答案A解析∵y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f－1))＝f(－1)＝－1.4．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4，且當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))時，f(x)＝log2(－3x＋1)，則f(2021)等于()A．4B．2C．－2D．log27答案C解析∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4，∴f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1)．∵－1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，且當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))時，f(x)＝log2(－3x＋1)，∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，∴f(2021)＝－f(－1)＝－2.5．若f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，則f(x－1)＜e－eq\f(1,e)的解集為()A．(－∞，2) B．(－∞，1)C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因為f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，則f(x)＝ex－e－x在R上單調(diào)遞增，且f(1)＝e－eq\f(1,e).則由f(x－1)＜e－eq\f(1,e)，得f(x－1)＜f(1)，即x－1＜1，解得x＜2，所以不等式f(x－1)＜e－eq\f(1,e)的解集為(－∞，2)．6．已知偶函數(shù)f(x)對于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是()A．f(0)＜f(－6.5)＜f(－1)B．f(－6.5)＜f(0)＜f(－1)C．f(－1)＜f(－6.5)＜f(0)D．f(－1)＜f(0)＜f(－6.5)答案A解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期是2.∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－6.5)＜f(－1)．7．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________.答案－eq\f(3,2)解析函數(shù)f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化簡得lneq\f(1＋e3x,e3x＋e6x)＝2ax＝lne2ax，即eq\f(1＋e3x,e3x＋e6x)＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－eq\f(3,2).8．已知函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝eq\r(x)＋1，則當x<0時，f(x)＝____________.答案－eq\r(－x)－1解析∵f(x)為奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝eq\r(x)＋1，∴當x<0時，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(eq\r(－x)＋1)，即當x<0時，f(x)＝－(eq\r(－x)＋1)＝－eq\r(－x)－1.9．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當0≤x≤1時，f(x)＝2x－1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＋f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝________.答案eq\r(2)解析依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＋f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋f(0)＝－1＋21－1＋20－1＝eq\r(2).10．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．如果實數(shù)t滿足f(lnt)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,t)))≤2f(1)，那么t的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))解析由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(lnt)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,t)))，由f(lnt)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,t)))≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以|lnt|≤1，即－1≤lnt≤1，故eq\f(1,e)≤t≤e.11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)．于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1<a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]．12．設(shè)f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x.(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的表達式．解(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．又f(x)的定義域為R，∴f(x)是偶函數(shù)．(2)當x∈[0,1]時，－x∈[－1,0]，則f(x)＝f(－x)＝x；從而當1≤x≤2時，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝eq