山東省泰安市新泰市紫光實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次（10月）月考測試數(shù)學(xué)試卷

新泰市紫光實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024—2025學(xué)年10月份第一次月考測試高三年級數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題(共40分)1．(5分)向量,，若，則x的值為()A. B.1 C. D.32．(5分)函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.3．(5分)國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間t（小時）的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量，且）.如果前4個小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要()A.3.8小時 B.4小時 C.4.4小時 D.5小時4．(5分)已知是定義在R上的偶函數(shù),滿足,當(dāng)時,,若,,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5．(5分)已知，，則()A.25 B.5 C. D.6．(5分)設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為()A. B. C. D.17．(5分)若a，，，則的最大值為()A． B． C．2 D．48．(5分)已知0為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則a的取值范圍是()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題(共18分)9．(6分)若,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.10．(6分)已知函數(shù)，，則()A．與的值域相同B．與的最小正周期相同C．曲線與有相同的對稱軸D．曲線與有相同的對稱中心11．(6分)已知，且，則()A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為3三、填空題(共10分)12．(5分)函數(shù)的最小正周期為_____________.13．(5分)若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為__________.四、雙空題（共5分）14．(5分)已知，則________；______.五、解答題(共77分)15．(13分)2022年新冠肺炎仍在世界好多國家肆虐,并且出現(xiàn)了傳染性更強(qiáng)的“德爾塔”變異毒株、“拉姆達(dá)”變異毒株,盡管我國疫情得到了很好的遏制,但由于整個國際環(huán)境的影響,時而也會出現(xiàn)一些散發(fā)病例,故而抗疫形勢依然嚴(yán)峻,日常防護(hù)依然不能有絲毫放松.在日常防護(hù)中,醫(yī)用防護(hù)用品必不可少,某公司一年購買某種醫(yī)用防護(hù)用品600噸,每次都購買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的存儲費(fèi)用為4x萬元.一年的總費(fèi)用y（萬元）包含運(yùn)費(fèi)與存儲費(fèi)用.（1）要使總費(fèi)用不超過公司年預(yù)算260萬元,求x的取值范圍.（2）要使總費(fèi)用最小,求x的值.16．(15分)設(shè).(1)若不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)解關(guān)于x的不等式.17．(15分)如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，，，是邊長為2的等邊三角形，，E是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，是否存在，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．(17分)如圖所示為直四棱柱，，，，，M，分別是線段，的中點(diǎn).(1)證明:平面；(2)求線BC與平面所成角的正弦值，并判斷線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，請說明理由.19．(17分)如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，將沿折起到的位置，使.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案1．答案：D解析：由，可得，解得，故選：D.2．答案：B解析：令,其定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對稱,,所以函數(shù)為奇函數(shù),即圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,故排除AC,當(dāng)時,,,,即,故排除D,故選:B.3．答案：B解析：由題意可知，即有，令，則有，解得，，故還需要4小時才能消除至最初的.故選：B.4．答案：B解析：根據(jù)題意,滿足,即函數(shù)是周期為2的周期函數(shù),則,,又由為偶函數(shù),則,當(dāng)時,,易得在上為增函數(shù),又由,則有;故選B.5．答案：C解析：因?yàn)?，，即，所?故選：C.6．答案：C解析：由及，單調(diào)遞增，可得與同正、同負(fù)或同為零，所以當(dāng)時，，即，所以，則，故選C.7．答案：A解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；又，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立；，解得，，所以的最大值為故選：A8．答案：A解析：，令的導(dǎo)函數(shù)為.若，，在R上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，符合題意.若，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋援?dāng)時，，時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意.若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，不符合題意.若，當(dāng)時，，，可得時，，時，，所以在遞增，在上單調(diào)遞減，不符合題意.綜上，a的取值范圍是.故選：A9．答案：BCD解析：對A,若,則,兩邊同時除以ab,所以,A錯誤;對B,由可得,B正確;對C,因?yàn)?所以,即,C正確;對D,由可得,,所以,D正確.故選:BCD.10．答案：ABC解析：，，則與的值域相同，A正確．與的最小正周期均為，B正確．曲線與的對稱軸方程均為，C正確．曲線沒有對稱中心，曲線有對稱中心，D錯誤．11．答案：ABC解析：因?yàn)?，且，A.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故正確;B.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故正確;C.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故正確;D.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故錯誤;故選:ABC12．答案：解析：函數(shù)的最小正周期為：,故答案為：.13．答案：解析：函數(shù)是偶函數(shù)，則，，化簡可得.當(dāng)時，則所以，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，則.故答案為：14．答案：①.；②.解析：，，故答案為：；15．答案：（1）（2）30解析：（1）因?yàn)楣疽荒曩徺I某種貨物600噸,每次購買x噸,所以購買貨物的次數(shù)為,故,,化簡得,解得,所以x的取值范圍為.（2）由（1）可知,,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以當(dāng)時,一年的總費(fèi)用最小,故x的值為30.16．答案：(1)(2)答案見解析.解析：(1),恒成立等價于,,當(dāng)時,,對一切實(shí)數(shù)x不恒成立,則,此時必有,即,解得,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)依題意,,可化為,當(dāng)時,可得,當(dāng)時,可得,又,解得,當(dāng)時,不等式可化為,當(dāng)時,,解得,當(dāng)時,,解得或,當(dāng)時,,解得或,所以,當(dāng)時,原不等式的解集為,當(dāng)時,原不等式的解集為,當(dāng)時,原不等式的解集為或;當(dāng)時,原不等式的解集為;當(dāng)時,原不等式的解集為或.17．答案：（1）證明見解析；（2）存在，解析：（1）證明：在中，由余弦定理知，，所以，即，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平?（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為x，y軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以，因?yàn)槠矫婧推矫鎶A角的余弦值為，所以，整理得，，即，解得或，因?yàn)?，所以，故存在，使得平面和平面夾角的余弦值為，此時.18．答案：(1)證明見解析(2)，在線段存在點(diǎn)P使得平面，的值為解析：(1)由，，知為正三角形，又M為的中點(diǎn)，則.又為的中點(diǎn)，則，而，所以，又，平面，所以平面；(2)由(1)知為正三角形，則，在中，，有，所以，易知，，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，，故，設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為.假設(shè)在線段上存在點(diǎn)P，使得平面，令，則，所以，由平面，得，所以，解得.此時，所以，即的值為.19．答案：(1)證明見解析；(2)解析：（1）如圖，取中點(diǎn)O，連接，.因?yàn)樗倪呅问沁呴L為2的菱形，，所以、是邊長為2的正三角形，