指數(shù)冪的拓展導學案 高一上學期數(shù)學北師大版（2019）必修第一冊

第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)§1指數(shù)冪的拓展【學習目標】1.理解分數(shù)指數(shù)冪的概念,會進行分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化.2.了解無理數(shù)指數(shù)冪的概念,了解無理數(shù)指數(shù)冪可以用有理數(shù)指數(shù)冪逼近得到的思想方法.3.通過指數(shù)冪的拓展的學習,培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng);通過分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化,培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).◆知識點一分數(shù)指數(shù)冪1.正分數(shù)指數(shù)冪的定義:給定正數(shù)a和正整數(shù)m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正數(shù)b,使得bn=am,則稱b為a的mn次冪,記作b=,這就是正分數(shù)指數(shù)冪2.負分數(shù)指數(shù)冪的定義:給定正數(shù)a和正整數(shù)m,n(n>1,且m,n互素),定義a-mn=1【診斷分析】1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)224=2-12.(2)若(1-2x)-56有意義,則x≠12. (3)分數(shù)指數(shù)冪amn(a>0)可以理解為mn個a相乘. (2.根式na(n∈N+)一定有意義嗎◆知識點二無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α是無理數(shù))是一個確定的正實數(shù).至此,指數(shù)冪aα中指數(shù)的取值范圍擴充為R.◆探究點一根式與分數(shù)指數(shù)冪例1(1)(多選題)下列各式中,根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式正確的是 ()A.5a6=a6B.13a2=1a2C.6y2=y3(D.(-a)6=a3(2)將-x-32(x>0)變式(多選題)[2024·四川南充高級中學高一月考]已知xy≠0,且9x2y4=-3xy2,則下列不等關系可能成立的是 A.x>0,y>0 B.x<0,y<0C.x>0,y<0 D.x<0,y>0[素養(yǎng)小結](1)根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律:根指數(shù)指數(shù)位置分數(shù)的分母,被開方數(shù)(式)的指數(shù)指數(shù)位置分數(shù)的分子.(2)在具體計算時,通常會把根式轉化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質解題.◆探究點二化簡、求值例2化簡:(1)3(-(2)4(x-(3)x2-2x+1-x2+6變式(1)(多選題)下列各式的值相等的是 ()A.-213和6(-2)2 B.343和13-43 (2)計算:1100-12-(1-2)2-8×[素養(yǎng)小結](1)解決根式的化簡或求值問題,首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式,然后運用根式的性質進行化簡或求值.(2)開偶次方時,先用絕對值表示開方的結果,再去掉絕對值符號化簡,化簡時要結合條件或分類討論.拓展化簡:5-26第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)§1指數(shù)冪的拓展【課前預習】知識點一1.a診斷分析1.(1)×(2)×(3)×[解析](1)224=(2)根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的定義知,要使(1-2x)-56有意義,應滿足1-2x>0,即(3)分數(shù)指數(shù)冪amn不可以理解為mn個a相乘2.解:①若n為奇數(shù),則對任意的實數(shù)a,na都有意義②若n為偶數(shù),則當a≥0時,na才有意義,當a<0時,na【課中探究】探究點一例1(1)ABD(2)-1x3[解析](1)6y2=y26=y13(y>0),C錯誤(2)由分數(shù)指數(shù)冪的意義可知,-x-32變式BD[解析]因為9x2y4=3|x|·y2,且9x2y4=-3xy2,所以3|x|·y2=-3xy2,故x<0,又xy≠0,所以y>探究點二例2解:(1)3(-0.1)(2)因為x<y,所以4((3)因為-3<x<1,所以原式=(x-1)2-(x+3)2=|x-1|-|x+3|=1變式(1)BC[解析]對于A,6(-2)2=622=226=213,不符合題意;對于B,13-43=343,符合題意;對于C,414=422=212=2(