數(shù)字信號(hào)處理（第2版）課件 第7章-數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)

2024/10/25dsp-chap7-20181第7章

數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)7.4數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)7.3輸入信號(hào)的量化誤差7.2數(shù)的表示與量化誤差7.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)7.6FFT實(shí)現(xiàn)中的量化效應(yīng)7.5數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)7.7用Matlab分析數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)與量化效應(yīng)2024/10/25dsp-chap7-20182學(xué)習(xí)目標(biāo)：熟練應(yīng)用系統(tǒng)框圖或信號(hào)流圖描述數(shù)字信號(hào)處理的過程

（a）IIR數(shù)字濾波器的三種結(jié)構(gòu)：直接型，級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型；

（b）FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)：直接型，級(jí)聯(lián)型，線性相位型，

頻率取樣型，頻域快速卷積型；第7章

數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)2.了解數(shù)字信號(hào)處理中有限字長造成的影響和效應(yīng)

（a）數(shù)的二進(jìn)制表示法；

（b）A/D轉(zhuǎn)換器的量化誤差及量化效應(yīng)統(tǒng)計(jì)分析；（c）數(shù)字濾波器系數(shù)量化所產(chǎn)生的誤差及統(tǒng)計(jì)分析模型；（d）數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)時(shí)的運(yùn)算量化誤差及統(tǒng)計(jì)分析模型；

極限環(huán)效應(yīng)（e）FFT實(shí)現(xiàn)中的誤差分析2024/10/25dsp-chap7-20183數(shù)字濾波器可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)來描述，但對于研究系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)，即它的運(yùn)算結(jié)構(gòu)來說，用方框圖（或信號(hào)流圖）表示最為直接。7.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)E1(z1)x[n]x[n1]單位延時(shí)器x1[n]

x2[n]x1[n]+x2[n]加法器x[n]aax[n]數(shù)乘器X(z)Y(z)=z

1X(z)z

1X(z)Y(z)=aX(z)aX1(z)Y(z)=X1(z)+X2(z)X2(z)2024/10/25dsp-chap7-20184例1某離散系統(tǒng)的信號(hào)流圖如下圖所示，分析系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，

并求解其沖激響應(yīng)。7.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)z1Y(z)W(z)z1z1423X(z)53Y(z)解：W(z)=X(z)

(3z1+5z2+3z3)W(z)Y(z)=(2z2+4z3)W(z)如果收斂域：2024/10/25dsp-chap7-20185IIR數(shù)字濾波器：其沖激響應(yīng)h[n]是無限長度序列

；

或者系統(tǒng)函數(shù)H(z)至少有一個(gè)非零的極點(diǎn)。7.1.2IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)主要有三種形式：直接型，級(jí)聯(lián)型，并聯(lián)型。2024/10/25dsp-chap7-201867.1.2IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)1、IIR數(shù)字濾波器的直接I型結(jié)構(gòu)（設(shè)M=N）圖7.1-3直接I型結(jié)構(gòu)方框圖

b0x[n]

z

1

b1

z

1

b2

z

1bM

1++++

bM++

z

1

a1y[n]+

z

1

a2

z

1+

aN

1

aN圖7.1-4直接I型信號(hào)流圖aNy[n]a1z

1z

1z

1a2aN

1x[n]b0b1z

1z

1z

1b2bM

1bM特點(diǎn)：需要M+N個(gè)延時(shí)器

（存儲(chǔ)器）2024/10/25dsp-chap7-201877.1.2IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)2、IIR數(shù)字濾波器的直接II型結(jié)構(gòu)（設(shè)M=N）直接II性結(jié)構(gòu)x[n]y[n]b0b1a1z

1z

1z

1b2bN

1bNa2aN

1aNW(z)特點(diǎn)：需要max（M，N）

個(gè)延時(shí)器（存儲(chǔ)器）2024/10/25dsp-chap7-201887.1.2IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)3、轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)流圖將方框圖或信號(hào)流圖中所有支路方向顛倒成反向，且輸入輸出的位置互相調(diào)換一下，得到系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置流圖。以前述的直接II型為例：圖7.1-6轉(zhuǎn)置的直接II型信號(hào)流圖

x[n]y[n]b0b1a1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1aN2024/10/25dsp-chap7-201897.1.2IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)3、轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)流圖直接I、II型結(jié)構(gòu)都稱為直接型結(jié)構(gòu)。其優(yōu)點(diǎn)是簡單直觀。缺點(diǎn)是：系數(shù)ai和bi對濾波器性能（零點(diǎn)和極點(diǎn)）的控制關(guān)系不直接，也就是說，當(dāng)系數(shù)ai中有一個(gè)發(fā)生變化，則所有極點(diǎn)位置都會(huì)變化，系數(shù)bi對零點(diǎn)的影響也是如此。而且階數(shù)N越大，影響也越大。所以高階的IIR濾波器一般會(huì)采用級(jí)聯(lián)或并聯(lián)結(jié)構(gòu)以減小上述影響。2024/10/25dsp-chap7-2018107.1.2IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)4、IIR數(shù)字濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖7.1-7級(jí)聯(lián)型的二階基本節(jié)Hi(z)1

1i

1iz

1z

1

2i

2i

H1(z)

H2(z)

HL(z)

y[n]

x[n]

A圖7.1-8IIR數(shù)字濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)2024/10/25dsp-chap7-2018117.1.2IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)5、IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)r0ir1i

1iz

1z

1

2iAigiz

1

y[n]

x[n]

C0圖7.1-9IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)H1(z)

H2(z)

HP(z)

2024/10/25dsp-chap7-2018127.1.2IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)例7.1-1分別畫出下式所描述系統(tǒng)的直接II型、并聯(lián)型和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解：(1)直接II型，如右圖所示120.75z

1z

10.125x[n]y[n]1(2)并聯(lián)型：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1

251882024/10/25dsp-chap7-2018137.1.2IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)(2)并聯(lián)型，也可以將上式的并聯(lián)型變換一下：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1

2526

4(3)級(jí)聯(lián)型：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1注意：（a）級(jí)聯(lián)和并聯(lián)的子系統(tǒng)階數(shù)必須低于整個(gè)系統(tǒng)的階數(shù)；

（b）級(jí)聯(lián)和并聯(lián)子系統(tǒng)的各項(xiàng)系數(shù)必須為實(shí)數(shù)。2024/10/25dsp-chap7-201814FIR數(shù)字濾波器：其沖激響應(yīng)h[n]是有限長度序列，

通常取0

n

N

1

；

從而其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)全是0。7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)另外，如果FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)滿足對稱或反對稱特性，即h[n]=

h[N

1

n]，則FIR濾波器的相位響應(yīng)具有線性特點(diǎn)。直接型，級(jí)聯(lián)型，線性相位型，快速卷積型，頻率取樣型。所以，F(xiàn)IR濾波器一般具有如下結(jié)構(gòu)：2024/10/25dsp-chap7-2018151、IIR數(shù)字濾波器的直接I型結(jié)構(gòu)（設(shè)M=N）

h[0]x[n]

z

1

h[1]

z

1h[2]

z

1h[N2]++++

h[N1]y[n]y[n]x[n]h[0]h[1]z

1z

1z

1h[2]h[N2]h[N1]7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)y[n]x[n]h[0]h[1]z

1z

1z

1h[2]h[N2]h[N1]2024/10/25dsp-chap7-2018162、FIR數(shù)字濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)

1iz

1z

1

2i

0i

H1(z)

H2(z)

HL(z)

y[n]

x[n]

A7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)圖7.1-16FIR濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)x[n]

01z

1z

1z

1

11

21z

1

02

12

22y[n]

z

1z

1

2L

1L

0L2024/10/25dsp-chap7-2018173、FIR線性相位數(shù)字濾波器的線性相位性結(jié)構(gòu)7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)h[n]=

h[N

1

n]，0

n

N

1當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，2024/10/25dsp-chap7-2018183、FIR線性相位數(shù)字濾波器的線性相位性結(jié)構(gòu)7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)h[n]=

h[N

1

n]，0

n

N

1當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，x[n]z

1z

1h[0]z

1

1y[n]

z

1z

1(a)z

1z

1z

1h[1]h[2]h[(N

1)/2]h[(N

3)/2]

1

1

1x[n]z

1z

1h[0]z

1

1y[n]

z

1z

1(b)z

1z

1z

1h[1]h[2]

1

1

1z

1

1h[(N/2)2]h[(N/2)1]2024/10/25dsp-chap7-2018194、FIR數(shù)字濾波器的快速卷積型結(jié)構(gòu)7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)假設(shè)輸入信號(hào)x[n]長度為N1，如果取N

N1+N2

1，并假設(shè)x[n]和h[n]的N點(diǎn)DFT分別為X[k]和H[k]，則根據(jù)DFT的圓周卷積定理，有y[n]

Y[k]=H[k]X[k]也即：

y[n]=IDFT[H[k]X[k]]x[n]0

n

N1

1補(bǔ)零N點(diǎn)DFTh[n]0

n

N2

1he[n]0

n

N

1H[k]0

k

N

1

N點(diǎn)IDFTy[n]0

n

N1+N2

2補(bǔ)零N點(diǎn)DFTxe[n]0

n

N

1X[k]0

k

N

1H[k]X[k]0

k

N

12024/10/25dsp-chap7-2018205、FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)設(shè)h[n]的N點(diǎn)DFT為H[k]，則圖7.1-18FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)x[n]y[n]

z

NH[N

1]z

1WN

(N

1)H[1]z

1WN

1H[0]z

1WN01/N（a）原理：2024/10/25dsp-chap7-2018215、FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)（b）特點(diǎn)：（1）Hc(z)是一個(gè)由N節(jié)延時(shí)單元組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有N個(gè)等分的零點(diǎn)，而一階濾波器Hk(z)在單位圓上有一個(gè)對應(yīng)的極點(diǎn)；（2）系數(shù)H[k]和WN

k都是復(fù)數(shù)，增加了運(yùn)算的復(fù)雜性；（3）所有諧振器的極點(diǎn)都在單位圓上，由于量化效應(yīng)的影響，系統(tǒng)的穩(wěn)定性不能保證。2024/10/25dsp-chap7-2018225、FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)（c）修正的頻率采樣型結(jié)構(gòu)：當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，其中：r0k=2Re[H[k]]，r1k=

2Re[rH[k]WNk]2024/10/25dsp-chap7-201823例7.1-2已知FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

H(z)=(1+0.5z

1)(1+2z

1)(1

0.25z

1)(1

4z

1)

分別畫出它的直接型、級(jí)聯(lián)型、線性相位型和頻率采樣型結(jié)構(gòu)。解：(1)直接型，如右圖所示(2)級(jí)聯(lián)型（一階節(jié)級(jí)聯(lián)）：7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)H(z)=1

1.75z

1

8.625z

2

1.75z

3+z

4x[n]z

1y[n]

z

1z

1z

1

1.75

8.625

1.75(a)

x[n]z

1z

10.52y[n]

z

1

4z

1

0.25(b-1)2024/10/25dsp-chap7-201824(2)級(jí)聯(lián)型，也可以將上式的級(jí)聯(lián)型變換為二階節(jié)的級(jí)聯(lián)：H(z)=(1+2.5z

1+z

2)(1

4.25z

1+z

2)----線性相位7.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)(b-2)x[n]z

1z

1z

12.5z

1

4.25y[n]

(3)線性相位型結(jié)構(gòu)：：H(z)=(1+z

4)

1.75(z

1+z

3)

8.625z

2(c)x[n]z

1z

1

y[n]

z

1

1.75

8.625

z

12024/10/25dsp-chap7-201825(4)頻率采樣型結(jié)構(gòu)：取H(z)的8等分點(diǎn)采樣值為：H[k]={

10.125，j11.10，10.625，

j6.15，

3.125，j6.15，10.625，

j11.10}，0

k

77.1.3FIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)設(shè)修正半徑r=1（即不修正極點(diǎn)位置）y[n]

x[n]

z

81/821.251.414

115.695

8.696z

1z

1

1z

1z

1

1

3.125z

1

10.125z

1

1.414

1z

1z

12024/10/25dsp-chap7-201826數(shù)的記錄與表示：7.2數(shù)的表示與量化誤差如：123.456=1102+2101+3100+4101+5102+6103日常記數(shù)法：十進(jìn)制，包含十個(gè)不同的數(shù)碼0，1，2，…，9；基：10；高位低位整數(shù)小數(shù)（尾數(shù)）權(quán)位數(shù)字信號(hào)處理中：二進(jìn)制，包含二個(gè)不同的數(shù)碼0，1；基：2；如：11001.1101=124+123+022+021+120

+121+122+023+124為縮短二進(jìn)制表示的長度或快速讀寫二進(jìn)制數(shù)：八進(jìn)制，十六進(jìn)制如：11001.1101=（31.64）8=（1A.E）162024/10/25dsp-chap7-2018271.定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)：小數(shù)點(diǎn)位置固定不動(dòng)7.2.1二進(jìn)制數(shù)的表示再如：（11001.1101）2=（25.8125）10，用定點(diǎn)小數(shù)（二進(jìn)制）表示：（25.8125/32）10=（0.806640625）10=（0.110011101）2但為了運(yùn)算方便，通常定點(diǎn)制都把數(shù)

a限制在

1之間，即

1<a<1。這時(shí)，小數(shù)點(diǎn)固定在分?jǐn)?shù)的第一位二進(jìn)碼之前，而整數(shù)位定義為“符號(hào)位”，代表數(shù)的正負(fù)(“0”表示正數(shù)，“1”表示負(fù)數(shù))，小數(shù)部分稱為“尾數(shù)”。如：（0.101）2=（0.625）10定點(diǎn)數(shù)有三種編碼方式：（1）原碼：也稱“符號(hào)-幅度碼”；（2）補(bǔ)碼：也稱“2的補(bǔ)碼”；（3）反碼：也稱“1的補(bǔ)碼”；三種編碼對于正數(shù)來說，完全相同；但是對于負(fù)數(shù)，則有不同的表示。例：（

0.625）10=（

1.101）2原=（

1.011）2補(bǔ)=（

1.010）2反2024/10/25dsp-chap7-2018281.定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)：小數(shù)點(diǎn)位置固定不動(dòng)7.2.1二進(jìn)制數(shù)的表示特點(diǎn)：定點(diǎn)數(shù)做加減法運(yùn)算其結(jié)果可能或超出

1的范圍，稱為“溢出”。定點(diǎn)數(shù)做乘法運(yùn)算不會(huì)造成溢出，但是字長卻要增加一倍，一般在定點(diǎn)乘法運(yùn)算以后需要對尾數(shù)做截尾或舍入處理，以保證字長不變，但是這樣處理后會(huì)帶來截尾誤差或舍入誤差。2.浮點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)：x=M

2c，M是它的尾數(shù)部分，2c是它的指數(shù)部分，c是階數(shù)，稱為“階碼”。尾數(shù)和階碼都用帶符號(hào)的定點(diǎn)數(shù)表示，通常M的范圍是0.5

|M|<1特點(diǎn)：浮點(diǎn)數(shù)做加減法運(yùn)算：需要對階，然后再做加減；其動(dòng)態(tài)范圍很大，不會(huì)出現(xiàn)“溢出”。浮點(diǎn)數(shù)做乘法運(yùn)算時(shí)：階碼相加，尾數(shù)相乘但不論做加減或乘法運(yùn)算，都存在尾數(shù)的截尾或舍入處理而帶來誤差的問題。2024/10/25dsp-chap7-2018291.截尾誤差7.2.2定點(diǎn)制的量化誤差當(dāng)定點(diǎn)系統(tǒng)采取截尾處理時(shí)，對于正數(shù)，三種碼的表示法是相同的，因而量化的影響也是相同的。設(shè)

x是(b1+1)位的正數(shù)：即其十進(jìn)制的數(shù)值為：截尾后字長為b位，顯然b<b1，對x截尾后的量化值用QT[x]表示為截尾的量化誤差用ET表示，為當(dāng)

i=0，i=b+1，b+2，

，b1時(shí)，取等號(hào)，即ET=0當(dāng)

i=1，i=b+1，b+2，

，b1時(shí)，誤差達(dá)到最大值，即2024/10/25dsp-chap7-2018301.截尾誤差7.2.2定點(diǎn)制的量化誤差對于負(fù)數(shù)，三種碼的表示法各不相同，因而量化產(chǎn)生的誤差也各不相同。設(shè)

x是(b1+1)位的負(fù)數(shù)。（a）負(fù)數(shù)原碼：截尾的量化誤差用ET表示，為令q=2

b，它是(b+1)位(含符號(hào)位)字長正數(shù)的最小值，這個(gè)值稱為“量化寬度”或“量化階”。定點(diǎn)正數(shù)的截尾誤差為：

q<ET

0定點(diǎn)負(fù)數(shù)原碼的截尾誤差為：

0

ET<q2024/10/25dsp-chap7-2018311.截尾誤差7.2.2定點(diǎn)制的量化誤差對于負(fù)數(shù)，三種碼的表示法各不相同，因而量化產(chǎn)生的誤差也各不相同。設(shè)

x是(b1+1)位的負(fù)數(shù)。（b）負(fù)數(shù)反碼：截尾的量化誤差用ET表示，為定點(diǎn)負(fù)數(shù)反碼的截尾誤差為：

0

ET<q2024/10/25dsp-chap7-2018321.截尾誤差7.2.2定點(diǎn)制的量化誤差對于負(fù)數(shù)，三種碼的表示法各不相同，因而量化產(chǎn)生的誤差也各不相同。設(shè)

x是(b1+1)位的負(fù)數(shù)。（c）負(fù)數(shù)補(bǔ)碼：截尾的量化誤差用ET表示，為定點(diǎn)負(fù)數(shù)反碼的截尾誤差為：

q<ET

0歸結(jié)起來，定點(diǎn)表示法的截尾誤差為：正數(shù)及負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的截尾誤差為負(fù)數(shù)，其范圍：

q<ET

0；負(fù)數(shù)原碼與負(fù)數(shù)反碼的截尾誤差為正數(shù)，其范圍：0

ET<q。2024/10/25dsp-chap7-2018332.舍入誤差7.2.2定點(diǎn)制的量化誤差對字長為(b1+1)位的定點(diǎn)數(shù)作舍入處理時(shí)，是通過對尾數(shù)的第(b+1)位加1，然后截取到b位實(shí)現(xiàn)的。舍入之后的量化間距為q=2

b，即兩個(gè)數(shù)間最小非零差是q。無論是原碼、反碼還是補(bǔ)碼，其誤差總是在

q/2之間。以QR[x]表示對x作舍入處理，ER表示舍入誤差，則有

q/2<ER

q/2例7.2-1

若寄存器字長b=2的數(shù)字系統(tǒng)，當(dāng)經(jīng)過運(yùn)算處理后字長增加到b1=4?，F(xiàn)有運(yùn)算后的三個(gè)數(shù)：

負(fù)數(shù)原碼x1B=1.1001，負(fù)數(shù)反碼x2反=1.1010，和負(fù)數(shù)補(bǔ)碼x3補(bǔ)=1.1010（1）若采用截尾處理，分別求出上述三數(shù)所引起的誤差；（2）若采用舍入處理，分別求出上述三數(shù)所引起的誤差。解：（1）采用截尾處理：x1B=1.1001，QT[x1]

B=1.10，即

x1D=

0.5625，

QT[x1]

D=

0.5；所以：ET=QT[x1]

D

x1D=0.0625>02024/10/25dsp-chap7-2018347.2.2定點(diǎn)制的量化誤差解：（1）采用截尾處理：類似地x2反=1.1010,QT[x2反]

B=1.10，即

x2D=

0.3125，QT[x2]

D=

0.25；所以：ET=QT[x2]

D

x2D=0.0625>0x3補(bǔ)=1.1010，

QT[x3補(bǔ)]

B=1.10，即

x3D=

0.375，

QT[x3]

D=

0.5；所以：ET=QT[x3]

D

x3D=

0.125<0（2）采用舍入處理：x2反=1.1010,QR[x2反]

B=1.10，即

x2D=

0.3125，QR[x2]

D=

0.25；所以：ER=QR[x2]

D

x2D=0.0625>0x3補(bǔ)=1.1010，

QR[x3補(bǔ)]

B=1.11，即

x3D=

0.375，

QR[x3]

D=

0.25；所以：ER=QR[x3]

D

x3D=0.125>0x1B=1.1001，QR[x1]

B=1.10，即

x1D=

0.5625，

QR[x1]

D=

0.5；所以：ER=QR[x1]

D

x1D=0.0625>02024/10/25dsp-chap7-201835常用的數(shù)字信號(hào)處理框圖如下圖1所示：7.3輸入信號(hào)的量化誤差A(yù)/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字信號(hào)處理器D/A轉(zhuǎn)換器圖1數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的簡單方框圖xa(t)ya(t)x[n]y[n]沖激串轉(zhuǎn)換為序列x[n]xa(t)xs(t)x[n]=xa(nT)量化編碼模數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換器是將模擬信號(hào)xa(t)轉(zhuǎn)換為(b+1)位數(shù)字信號(hào)輸出的器件。在原則上可把轉(zhuǎn)換視為兩級(jí)過程：第一級(jí)采樣，由模擬信號(hào)xa(t)產(chǎn)生序列x[n]=xa(t)|t=nT=xa(nT)，這里x[n]以無限精度表示；第二級(jí)量化，即將采樣序列的每個(gè)樣本x[n]進(jìn)行截尾或舍入的量化處理，從而得到有限字長的數(shù)字信號(hào)2024/10/25dsp-chap7-201836分析A/D轉(zhuǎn)換器量化效應(yīng)的目的在于選擇合適的信號(hào)字長，以滿足信號(hào)處理（主要是信噪比）指標(biāo)。7.3.1A/D轉(zhuǎn)換的量化效應(yīng)在具體討論A/D轉(zhuǎn)換器量化效應(yīng)之前，對模擬信號(hào)作一些規(guī)定：（1）為使采樣后不造成混疊失真，模擬信號(hào)xa(t)必須是帶限的。

否則A/D轉(zhuǎn)換器前一般都加一個(gè)前置的模擬低通濾波器；（2）要求模擬信號(hào)規(guī)格化。

如假設(shè)量化器輸出值表示成(b+1)位的補(bǔ)碼定點(diǎn)小數(shù)，為了保證未量化的采樣值x[n]都處在(b+1)位數(shù)的數(shù)值范圍內(nèi)，則要求輸入模擬波形必須被規(guī)格化成由于量化時(shí)，字長有限，從而產(chǎn)生量化誤差(也稱量化噪聲)：2024/10/25dsp-chap7-2018377.3.1A/D轉(zhuǎn)換的量化效應(yīng)A/D轉(zhuǎn)換器的量化噪聲模型：采樣量化xa(t)x[n]=xa(nT)采樣xa(t)x[n]=xa(nT)e[n]7.3.2量化誤差統(tǒng)計(jì)模型及信噪比實(shí)際的量化過程是非線性過程，但為簡化分析，我們通常將其視為線性過程，其量化采樣值表示為2024/10/25dsp-chap7-2018387.3.2量化誤差統(tǒng)計(jì)模型及信噪比進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，通常假設(shè)誤差e[n]具有如下的統(tǒng)計(jì)特性：（1）e[n]是平穩(wěn)隨機(jī)序列；（2）e[n]與采樣序列x[n]不相關(guān)；（3）e[n]序列本身的任意兩個(gè)值之間不相關(guān)，也即e[n]是白噪聲序列；（4）e[n]在誤差范圍內(nèi)均勻分布。根據(jù)這樣的假定，量化誤差就是一個(gè)與信號(hào)序列完全不相關(guān)的白噪聲序列，因此也稱為量化噪聲，它與信號(hào)的關(guān)系是相加的。應(yīng)用概率論和隨機(jī)過程的分析方法，采用平均值、方差等來描述噪聲序列e[n]的特征：對于定點(diǎn)舍入情況，誤差序列eR[n]的概率密度函數(shù)為eR[n]圖7.3-2舍入噪聲的概率分布P[eR[n]]1/q

q/2q/2O

2024/10/25dsp-chap7-2018397.3.2量化誤差統(tǒng)計(jì)模型及信噪比對于定點(diǎn)舍入情況，誤差序列eR[n]的概率密度函數(shù)為eR[n]圖7.3-2舍入噪聲的概率分布P[eR[n]]1/q

q/2q/2O

對于定點(diǎn)截尾情況，誤差序列eT[n]的概率密度函數(shù)為eT[n]圖7.3-3補(bǔ)碼截尾噪聲的概率分布1/q

q/2O

P[eT[n]]2024/10/25dsp-chap7-2018407.3.2量化誤差統(tǒng)計(jì)模型及信噪比舍入和補(bǔ)碼截尾的量化誤差，其均值不同，但方差相同，都為q2/12，顯然，字長越長，q越小，量化噪聲（功率）越小。我們關(guān)心的是量化噪聲所造成的對信號(hào)的影響，這種影響是通過“信噪比”這一指標(biāo)進(jìn)行衡量。設(shè)信號(hào)的功率是

x2，則信噪比定義為信號(hào)功率與噪聲功率之比，即實(shí)用中，常用分貝表示（取對數(shù)），則為①信號(hào)功率越大，即

x2越大，信噪比越大；②隨著字長的增加，信噪比增大，且字長每增加1位，信噪比約提高6dB。2024/10/25dsp-chap7-2018417.3.2量化誤差統(tǒng)計(jì)模型及信噪比當(dāng)輸入信號(hào)超過A/D轉(zhuǎn)換器的量化動(dòng)態(tài)范圍時(shí)，必須壓縮輸入信號(hào)幅度，也就是說對Ax[n](0<A<1)作量化處理，而Ax[n]的功率為A2

x2，所以此時(shí)的信噪比應(yīng)為由于0<A<1，則log10A為負(fù)數(shù)，因此壓縮信號(hào)幅度，將使信噪比受到損失。例7.3-1已知x[n]在

1之間均勻分布，且均值E[x[n]]=0，

求A/D轉(zhuǎn)換器的信噪比。解：當(dāng)A/D轉(zhuǎn)換器的字長b為10時(shí)，信噪比SNR

66dB。2024/10/25dsp-chap7-2018427.3.3量化誤差通過線性系統(tǒng)引起數(shù)字系統(tǒng)誤差的因素有多種，總的來說，大致分為三類：①由系統(tǒng)本身參數(shù)的數(shù)字化而產(chǎn)生；②由系統(tǒng)運(yùn)行中的數(shù)學(xué)計(jì)算產(chǎn)生；③輸入信號(hào)量化產(chǎn)生。對于線性系統(tǒng)，可以認(rèn)為這三種誤差在輸出端所產(chǎn)生的誤差輸出是相互獨(dú)立的，而且和系統(tǒng)本身的輸出信號(hào)也是不相關(guān)的，這樣就可以分別考慮各種因素所造成的誤差輸出，再經(jīng)疊加得到系統(tǒng)的總輸出誤差。設(shè)單位脈沖響應(yīng)為h[n]的LTI離散時(shí)間系統(tǒng)，h[n]是實(shí)序列，當(dāng)經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換后的量化信號(hào)經(jīng)過此系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)實(shí)際輸出為：因?yàn)閤[n]和e[n]互不相關(guān)，h[n]x[n]圖7.3-4量化噪聲通過線性系統(tǒng)e[n]2024/10/25dsp-chap7-2018437.3.3量化誤差通過線性系統(tǒng)其中：y[n]=h[n]

x[n]；ef[n]=h[n]

e[n]，或者如果e[n]是舍入噪聲，則輸出噪聲的方差為：（假設(shè)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)）由于e[n]是白噪聲，所以根據(jù)Parseval定理，所以2024/10/25dsp-chap7-2018447.3.3量化誤差通過線性系統(tǒng)例7.3-2某一階因果LTI系統(tǒng)可用下式差分方程描述

y[n]+ay[n

1]=x[n]，|a|<1假設(shè)一個(gè)(b+1)位的A/D轉(zhuǎn)換器，其輸出通過上述系統(tǒng)后。求此系統(tǒng)輸出端的量化噪聲方差

f2。解：由于A/D轉(zhuǎn)換器的量化效應(yīng)，輸入此濾波器的噪聲方差為對于上述一階系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)為h[n]=anu[n]，從而其輸出噪聲的方差為2024/10/25dsp-chap7-201845設(shè)N階IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：7.4數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)，字長總是有限的，即ai和bi并不能準(zhǔn)確的取所要求的值，導(dǎo)致實(shí)際濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn)位置與理論設(shè)計(jì)的發(fā)生偏離而產(chǎn)生誤差，解：理想條件下，系統(tǒng)的極點(diǎn)為p1=0.902，p2=0.943，

因而系統(tǒng)穩(wěn)定；例7.4-1理想條件下，因果LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)，小數(shù)點(diǎn)后只能保留兩位有效數(shù)字，分析該系統(tǒng)在理想條件下和實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)的極點(diǎn)位置和穩(wěn)定性問題。2024/10/25dsp-chap7-2018467.4數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)實(shí)際實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)時(shí)，假設(shè)采用舍入處理，則系統(tǒng)函數(shù)成為實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)，系統(tǒng)的極點(diǎn)為即在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)，極點(diǎn)出現(xiàn)在單位圓上，而成了臨街穩(wěn)定系統(tǒng)（不穩(wěn)定系統(tǒng)，收斂域不包含單位圓）。理想狀況下（無限精度）：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：

h[n]=[23

(0.943)n

22

(0.902)n]u[n]實(shí)際狀況下（有限精度）：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：2024/10/25dsp-chap7-2018477.4.1系數(shù)量化對零、極點(diǎn)位置的影響極點(diǎn)位置靈敏度：是指每個(gè)極點(diǎn)位置對各系數(shù)偏差的敏感程度。理想精度下的系統(tǒng)函數(shù)：有限精度下的系統(tǒng)函數(shù)：其中：討論系數(shù)量化對極點(diǎn)的影響。設(shè)系統(tǒng)H(z)的極點(diǎn)位于p=pk，k=1，2，…，N，則系統(tǒng)函數(shù)的分母多項(xiàng)式為（無限精度下）：有限精度下系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)成為：2024/10/25dsp-chap7-2018487.4.1系數(shù)量化對零、極點(diǎn)位置的影響極點(diǎn)pk的位置誤差

pk與各系數(shù)誤差

ai的關(guān)系為由于：所以故：因?yàn)樗裕?024/10/25dsp-chap7-2018497.4.1系數(shù)量化對零、極點(diǎn)位置的影響極點(diǎn)pk的位置誤差

pk與各系數(shù)誤差

ai的關(guān)系為上式表示了第k個(gè)極點(diǎn)pk對H(z)的分母多項(xiàng)式中第i個(gè)系數(shù)ai變化(誤差)的靈敏度。但它只對單階極點(diǎn)有效，多階極點(diǎn)可以進(jìn)行類似推導(dǎo)。上式中分母的每一個(gè)因子(pk

pm)都是由極點(diǎn)pm指向極點(diǎn)pk的矢量，即整個(gè)分母為所有極點(diǎn)指向該極點(diǎn)pk的矢量積。這些矢量越長，即極點(diǎn)彼此間距離越遠(yuǎn)時(shí)，極點(diǎn)位置靈敏度就越低；這些矢量越短，即極點(diǎn)彼此越密集時(shí)，極點(diǎn)位置靈敏度就越高。在相同程度的系數(shù)量化誤差水平下，極點(diǎn)靈敏度越高，系數(shù)量化誤差對極點(diǎn)偏移造成的影響就越大。高階直接型結(jié)構(gòu)濾波器極點(diǎn)數(shù)目多而密集，低階直接型濾波器極點(diǎn)數(shù)目少而稀疏，因此高階直接型濾波器的極點(diǎn)位置靈敏度要比低階的敏感得多（大得多）。2024/10/25dsp-chap7-2018507.4.1系數(shù)量化對零、極點(diǎn)位置的影響例7.4-2試確定數(shù)字濾波器系數(shù)量化所需的最小字長，

要求保持極點(diǎn)位置誤差小于0.5%，已知系統(tǒng)函數(shù)為解：系統(tǒng)的極點(diǎn)為

p1=

0.85+j0.15，p2=

0.85

j0.15

設(shè)

a1=

1.7，a2=

0.745，b=0.0373。

根據(jù)式(7.4-6)，求得a2對極點(diǎn)p1和p2的影響：假設(shè)系數(shù)a1沒有量化誤差，即

a1=0，從而根據(jù)式(7.4-4)，有如果采用定點(diǎn)制的舍入誤差處理，設(shè)小數(shù)點(diǎn)后為b位，利用式(7.2-6)，系數(shù)量化階q=2|

a2|=2.590

10

3>2

b，從而系數(shù)量化所需的最小字長b應(yīng)為9。2024/10/25dsp-chap7-2018517.4.2系數(shù)量化效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析理想精度下的系統(tǒng)函數(shù)：有限精度下的系統(tǒng)函數(shù)：其中：假設(shè)量化后系數(shù)采用小數(shù)點(diǎn)后b位字長，則在舍入量化情況下，每個(gè)誤差在(

q/2，q/2)間隔內(nèi)均勻分布，誤差的平均值為零，方差為q2/12。

從而系統(tǒng)在有限精度實(shí)現(xiàn)時(shí)和無限精度計(jì)算時(shí)輸出信號(hào)的偏差為：2024/10/25dsp-chap7-2018527.4.2系數(shù)量化效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析如果忽略二階誤差：對上式取z變換，則有：其中：而：Y(z)=H(z)X(z)=[B(z)/A(z)]X(z)2024/10/25dsp-chap7-2018537.4.2系數(shù)量化效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析記：無限精度濾波器H(z)偏差濾波器HE(z)圖7.4-1系數(shù)量化后濾波器的等效模型y[n]e[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018547.4.2系數(shù)量化效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析有限精度下（實(shí)際濾波器）的系統(tǒng)函數(shù)：有限精度下（實(shí)際濾波器）的頻率響應(yīng)：偏差濾波器的頻率響應(yīng)：以頻響特性的均方誤差

2作為頻響特性偏差的度量，則一般地，

ai，

bi值并不能準(zhǔn)確知道，而我們已假設(shè)它們都是獨(dú)立的均勻分布的隨機(jī)變量，在舍入的情況下，它們的平均值和方差分別為E[

ai]=E[

bi]=0，和

2=E[(

ai)2]=E[(

bi)2]=q2/12。這樣，對偏差

2求數(shù)學(xué)期望，得到頻響特性偏差的均方值為2024/10/25dsp-chap7-2018557.4.2系數(shù)量化效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析頻響特性偏差的均方值為：利用：偏差濾波器的頻率響應(yīng)：如果：r和u分別是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分母和分子多項(xiàng)式的非零、非1系數(shù)的數(shù)目，2024/10/25dsp-chap7-2018567.4.2系數(shù)量化效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析例7.4-3分析一階濾波器在系數(shù)A和a量化條件下偏差濾波器的方差

2。

已知一階濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：偏差濾波器的方差：如果極點(diǎn)p

=a接近單位圓時(shí)，即|a|

1，則上式中第二項(xiàng)將變得很大，此時(shí)略去第一項(xiàng)，并取1+a

2和1+a2

2，則得到2024/10/25dsp-chap7-201857濾波器實(shí)現(xiàn)過程中，有乘系數(shù)、相加和延遲運(yùn)算：延遲則是遲后一個(gè)采樣周期取出，不造成字長變化；乘系數(shù)運(yùn)算會(huì)出現(xiàn)字長超長，所以需要作舍入或截尾處理；相加運(yùn)算，對于定點(diǎn)制來講，可能產(chǎn)生溢出。對浮點(diǎn)制則會(huì)造成字長超長。所以在濾波器實(shí)現(xiàn)過程中，要注意處理兩個(gè)問題：①采用定點(diǎn)制時(shí)，防止加法溢出；②對超長的數(shù)必須隨時(shí)進(jìn)行舍入或截尾處理。7.5數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)①

確定信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍，以保證不產(chǎn)生溢出誤差；

②合理選擇量化字長，以盡量減小因尾數(shù)處理而產(chǎn)生的誤差，以滿足信噪比指標(biāo)要求。2024/10/25dsp-chap7-2018587.5數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)研究定點(diǎn)實(shí)現(xiàn)相乘運(yùn)算的流圖如下圖7.5-1所示。圖中(a)表示無限精度的乘積運(yùn)算；

圖

(b)表示有限精度乘積，[

]表示量化處理；

(c)表示有限精度乘積運(yùn)算的噪聲統(tǒng)計(jì)模型。（a）x[n]ay[n]

x[n]ay[n]

[

]

（b）x[n]ae[n]

（c）（a）理想相乘；(b)有限精度實(shí)現(xiàn)的相乘；(c)統(tǒng)計(jì)分析模型圖7.5-1定點(diǎn)相乘運(yùn)算的流圖表示

本教材中以運(yùn)算誤差舍入量化噪聲為例進(jìn)行分析。并對噪聲e[n]的統(tǒng)計(jì)特性作如下假設(shè)（1）e[n]是平穩(wěn)隨機(jī)序列；（2）e[n]是白噪聲序列，在量化間隔上均勻分布；（3）e[n]中任意兩個(gè)來自不同的噪聲互不相關(guān)；（4）e[n]與采樣序列x[n]及中間計(jì)算結(jié)果都不相關(guān)。對于舍入量化處理，e[n]的均值為0，方差為

e2=q2/12。2024/10/25dsp-chap7-2018597.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)1．乘法運(yùn)算誤差對輸出信號(hào)的影響設(shè)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為其直接型I型結(jié)構(gòu)如圖所示(假設(shè)M=N)：aN圖7.5-2直接I型運(yùn)算量化噪聲統(tǒng)計(jì)模型b0b1a1z

1z

1z

1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1x[n]y[n]e0[n]e1[n]e2[n]eM

1[n]eM[n]eM+N[n]eM+1[n]eM+2[n]eM+N

1[n]對于舍入量化處理，其中每一個(gè)噪聲（誤差）ei[n]均值都為：0，方差為：

e2=q2/12。那么總的噪聲是所有噪聲ei[n]之和：me

=E[e[n]]=0

e總2=E[e2[n]]=(M+N+1)

e2=(M+N+1)

q2/122024/10/25dsp-chap7-2018607.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)1．乘法運(yùn)算誤差對輸出信號(hào)的影響aNb0b1a1z

1z

1z

1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1x[n]y[n]那么總的噪聲是所有噪聲ei[n]之和：me

=E[e[n]]=0

e總2=E[e2[n]]=(M+N+1)q2/12e[n]從而乘法運(yùn)算噪聲在輸出端產(chǎn)生的輸出為：輸出噪聲ef[n]的均值和方差分別為：2024/10/25dsp-chap7-2018617.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)例7.5-1采用定點(diǎn)制算法，尾數(shù)作舍入處理，分析系統(tǒng)的直接型、級(jí)聯(lián)型

和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的算術(shù)運(yùn)算誤差所產(chǎn)生的輸出噪聲方差

2。

設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為解：（1）直接型結(jié)構(gòu)：系統(tǒng)的乘法運(yùn)算噪聲模型如圖所示，e0[n]0.041.7z

1z

1

0.72e1[n]e2[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018627.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)（2）級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)：設(shè)e0[n]0.040.9z

1z

10.8e1[n]e2[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018637.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)（3）并聯(lián)型結(jié)構(gòu)：e0[n]0.360.9z

1z

10.8e1[n]e2[n]x[n]

0.32e3[n]比較該系統(tǒng)三種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算噪聲誤差，可以看出直接型結(jié)構(gòu)的輸出誤差最大，級(jí)聯(lián)型次之，并聯(lián)型最小。2024/10/25dsp-chap7-2018647.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)2．加法運(yùn)算誤差對輸入信號(hào)的要求（動(dòng)態(tài)范圍）在濾波器實(shí)現(xiàn)中必有加法器，而定點(diǎn)加法運(yùn)算雖不出現(xiàn)舍入誤差，但卻可能出現(xiàn)溢出，為了避免溢出，希望信號(hào)的幅度不要過大；而A/D轉(zhuǎn)換器為了得到高的數(shù)據(jù)精度，又要求信號(hào)幅度盡可能大，這是一對矛盾。設(shè)x[n]是濾波器的輸入，yk[n]表示第k個(gè)節(jié)點(diǎn)上的輸出，hk[n]表示從輸入信號(hào)到第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的單位脈沖響應(yīng)，假設(shè)若x[n]是有界的，滿足|x[n]|

xmax，則有為防止溢出，要求|yk[n]|<1，所以必須要求在所有節(jié)點(diǎn)處滿足2024/10/25dsp-chap7-2018657.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)2．加法運(yùn)算誤差對輸入信號(hào)的要求（動(dòng)態(tài)范圍）（1）當(dāng)輸入信號(hào)是寬帶信號(hào)，即近似廣義平穩(wěn)白噪聲信號(hào)時(shí)，假設(shè)輸入x[n]是均為分布的廣義平穩(wěn)白噪聲信號(hào)，其值范圍為(

xmax，xmax)。為防止溢出，要求

xmax=（1|a|），從而輸入信號(hào)的方差為：而系統(tǒng)輸出信號(hào)的方差（功率）為：（a）一階系統(tǒng)：

單位脈沖響應(yīng)：

h[n]=anu[n]，系統(tǒng)函數(shù)：az

1e[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018667.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)2．加法運(yùn)算誤差對輸入信號(hào)的要求（動(dòng)態(tài)范圍）（1）當(dāng)輸入信號(hào)是寬帶信號(hào)，即近似廣義平穩(wěn)白噪聲信號(hào)時(shí)，假設(shè)輸入x[n]是均為分布的廣義平穩(wěn)白噪聲信號(hào)，其值范圍為(

xmax，xmax)。系統(tǒng)輸出信號(hào)的方差（功率）為：當(dāng)采用(b+1)位舍入時(shí)，由乘法運(yùn)算量化噪聲經(jīng)系統(tǒng)處理后的輸出方差為（a）一階系統(tǒng)：

單位脈沖響應(yīng)

h[n]=anu[n]，系統(tǒng)函數(shù)：az

1e[n]x[n]輸出端信噪比2024/10/25dsp-chap7-2018677.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)2．加法運(yùn)算誤差對輸入信號(hào)的要求（動(dòng)態(tài)范圍）（1）假設(shè)輸入x[n]是均為分布的廣義平穩(wěn)白噪聲信號(hào)，

其值范圍為(

xmax，xmax)。當(dāng)采用(b+1)位舍入時(shí)，由乘法運(yùn)算量化噪聲經(jīng)系統(tǒng)處理后的輸出方差為為防止溢出，要求（b）二階系統(tǒng)（因果系統(tǒng)）：

系統(tǒng)函數(shù)：假設(shè)一對復(fù)數(shù)極點(diǎn)：p1,2=re

j

2rcos

z

1e1[n]x[n]e2[n]r2z

12024/10/25dsp-chap7-2018687.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)2．加法運(yùn)算誤差對輸入信號(hào)的要求（動(dòng)態(tài)范圍）系統(tǒng)輸出信號(hào)的方差（功率）為：（b）二階系統(tǒng)（因果系統(tǒng)）：系統(tǒng)函數(shù)：輸出端信噪比2rcos

z

1e1[n]x[n]e2[n]r2z

1從而輸入信號(hào)的方差為：2024/10/25dsp-chap7-2018697.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)2．加法運(yùn)算誤差對輸入信號(hào)的要求（動(dòng)態(tài)范圍）（2）當(dāng)輸入信號(hào)是等幅正弦序列時(shí)，假設(shè)輸入x[n]=Acos

0n

。（a）一階系統(tǒng)：

單位脈沖響應(yīng)：

h[n]=anu[n]，系統(tǒng)函數(shù)：濾波器的穩(wěn)態(tài)輸出仍是同頻率的正弦序列y[n]=Bcos(n

0+

)。為使輸出信號(hào)能量最大，要求B盡量大；但為防止溢出，B又必須小于1。為此，選擇A以使B=1，這時(shí)y[n]=cos(n

0+

)，可以得到最小的噪聲信號(hào)比。輸出y[n]的方差為：

y2=E[y2[n]]=E[cos2(n

0+

)]=0.5az

1e[n]x[n]當(dāng)采用(b+1)位舍入時(shí)，由乘法運(yùn)算量化噪聲經(jīng)系統(tǒng)處理后的輸出方差為2024/10/25dsp-chap7-2018707.5.1IIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)2．加法運(yùn)算誤差對輸入信號(hào)的要求（動(dòng)態(tài)范圍）（2）當(dāng)輸入信號(hào)是等幅正弦序列時(shí)，假設(shè)輸入x[n]=Acos

0n

。（a）一階系統(tǒng)：

輸出的運(yùn)算舍入誤差方差與輸出信號(hào)方差之比為（b）二階系統(tǒng)（因果系統(tǒng)）：

系統(tǒng)函數(shù)：輸出的運(yùn)算舍入誤差方差與輸出信號(hào)方差之比為2rcos

z

1e1[n]x[n]e2[n]r2z

12024/10/25dsp-chap7-2018717.5.2FIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)與IIR數(shù)字濾波器相比，F(xiàn)IR濾波器的直接型、和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)少了反饋單元，其余和IIR濾波器的結(jié)構(gòu)相同，因而前述的IIR濾波器對于乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算的分析方法，可以直接用于FIR數(shù)字濾波器的分析，而相似的分析思想也可以用于FIR濾波器的其他實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。假設(shè)一個(gè)N

1階FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h[n]，0

n

N

1，則在其實(shí)現(xiàn)時(shí)，采用有限精度的舍入處理方法，得到直接型結(jié)構(gòu)的運(yùn)算噪聲統(tǒng)計(jì)模型如圖7.5-9所示：圖7.5-9FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu)的運(yùn)算噪聲統(tǒng)計(jì)模型x[n]h[0]z

1=y[n]+ef[n]z

1z

1z

1h[1]h[2]h[N

3]h[N

2]h[N

1]e0[n]e1[n]e2[n]eN

3[n]eN

2[n]eN

1[n]2024/10/25dsp-chap7-2018727.5.2FIR數(shù)字濾波器的運(yùn)算量化效應(yīng)FIR濾波器的實(shí)際輸出為輸出噪聲為輸出噪聲的方差為FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu)的運(yùn)算噪聲輸出方差既與字長b有關(guān)，也與階數(shù)N

1有關(guān)，且階數(shù)越高(N

1越大)，字長越短(b越小)，量化噪聲越大。FIR濾波器的輸入信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍：假設(shè)輸入信號(hào)x[n]是有界信號(hào)，滿足|x[n]|

xmax，則要求

|y[n]|<1，對輸入x[n]采用標(biāo)度因子A，使得2024/10/25dsp-chap7-2018737.5.3IIR數(shù)字濾波器的極限環(huán)振蕩效應(yīng)對于無限精度運(yùn)算的IIR數(shù)字濾波器，只要它的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)部，總是穩(wěn)定的。實(shí)際上，當(dāng)該IIR濾波器以有限精度的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)時(shí)，由于運(yùn)算過程中的尾數(shù)處理和溢出，導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出永遠(yuǎn)不能歸零，或停留在某一數(shù)值上，或在一個(gè)固定數(shù)區(qū)間振蕩，這種現(xiàn)象稱之為極限環(huán)振蕩。1．低電平極限環(huán)振蕩設(shè)一階IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為在無限精度下，其輸出為：y[n]=ay[n

1]+x[n]在定點(diǎn)有限精度下，其輸出為（假設(shè)采用舍入處理）：2024/10/25dsp-chap7-201874如采用字長

b=3，濾波器系數(shù)a=0.110（二進(jìn)制）當(dāng)輸入信號(hào)

x[n]=0.101

[n]無限精度實(shí)現(xiàn)時(shí)：

y[n]=0.625an=0.625

(0.75)n

0（n

）。有限精度實(shí)現(xiàn)時(shí)，輸出見下表所示：7.5.3IIR數(shù)字濾波器的極限環(huán)振蕩效應(yīng)nx[n]00.1010.0000.0000.0000.101=(0.625)D10.0000.1010.0111100.1000.100=(0.500)D20.0000.1000.0110000.0110.011=(0.375)D30.0000.0110.0100100.0100.010=(0.250)D40.0000.0100.0011000.0100.010=(0.250)D2024/10/25dsp-chap7-201875因?yàn)?.5.3IIR數(shù)字濾波器的極限環(huán)振蕩效應(yīng)舍入處理就使系數(shù)a失效，或者說相當(dāng)于使a換成了一個(gè)絕對值為1的等效系數(shù)a

，滿足|a

|=1，且a

=a/|a|。這也使得系統(tǒng)函數(shù)等效為極點(diǎn)由|a|<1移到了單位圓上|a

|=1，系統(tǒng)失去穩(wěn)定，因此出現(xiàn)振蕩。進(jìn)一步分析極限環(huán)的振蕩幅度與字長的關(guān)系。由于舍入誤差的絕對值在q/2以內(nèi)：增加字長可以減弱極限環(huán)振蕩。2024/10/25dsp-chap7-2018767.5.3IIR數(shù)字濾波器的極限環(huán)振蕩效應(yīng)2．大信號(hào)極限環(huán)振蕩設(shè)二階IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為在無限精度下，其輸出為：y[n]=a1y[n

1]+a2y[n

2]+x[n]其極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)，也可以是共軛的復(fù)數(shù)，記為：在IIR濾波器的定點(diǎn)運(yùn)算補(bǔ)碼實(shí)現(xiàn)時(shí)，如果其加法運(yùn)算出現(xiàn)溢出，則在輸入信號(hào)比較大時(shí)也會(huì)引起系統(tǒng)振蕩，稱為大信號(hào)極限環(huán)振蕩或溢出振蕩。根據(jù)穩(wěn)定系統(tǒng)要求，即|p1,2|<1，

故|a2|<1（p1

p2=

a2）；(1

p12)

(1

p22)>0，即1+p12p22>p12+p222024/10/25dsp-chap7-201877所以：(1+p1p2)2>(p1+p2)2。由于a1、a2都是實(shí)系數(shù)，故有(1

a2)2>a12，即1

a2>|a1|或者|a1|+a2<1此二階濾波器要穩(wěn)定，則其系數(shù)a1、a2必須滿足以下不等式|a1|+a2<1及|a2|<1對于定點(diǎn)補(bǔ)碼運(yùn)算，由于2的補(bǔ)碼加法器的作用，對真實(shí)總和作非線性變換，其特點(diǎn)是：只有當(dāng)各輸入之和x滿足|x|

<1時(shí)，加法器才作真正的加法運(yùn)算。假設(shè)輸入信號(hào)為零，則其輸出為：7.5.3IIR數(shù)字濾波器的極限環(huán)振蕩效應(yīng)圖7.5-13補(bǔ)碼加法器的輸入輸出特性O(shè)x

1f[x]121

1y[n]=a1y[n

1]+a2y[n

2]經(jīng)補(bǔ)碼加法器后，其真實(shí)輸出為：y[n]=f[a1y[n

1]+a2y[n

2]]2024/10/25dsp-chap7-2018787.5.3IIR數(shù)字濾波器的極限環(huán)振蕩效應(yīng)對于二階IIR濾波器，只有分母系數(shù)滿足|a1|+|a2|<1，即處于圖7.5-12中正方形FBCD的內(nèi)部陰影區(qū)域內(nèi)，在采用補(bǔ)碼加法器時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生溢出。圖7.5-12二階IIR濾波器的穩(wěn)定區(qū)域Oa1A(

2,

1)a2B(

1,0)C(0,

1)D(1,0)E(2,

1)F(0,1)2024/10/25dsp-chap7-201879FFT是DFT的快速算法，它的基本運(yùn)算是由復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)加法構(gòu)成的蝶形運(yùn)算。因而與數(shù)字濾波器相似，F(xiàn)FT實(shí)現(xiàn)中也存在著由有限字長引起的量化誤差。7.6FFT實(shí)現(xiàn)中的量化誤差分析7.6.1定點(diǎn)FFT計(jì)算中量化效應(yīng)分析以基2-DIT-FFT算法系統(tǒng)為例，討論其運(yùn)算舍入誤差和系數(shù)量化誤差：設(shè)長度為N=2

的序列x[n]的N點(diǎn)DFT為X[k]，0

k

N

1。若用FFT算法實(shí)現(xiàn)DFTX[k]的計(jì)算，則需要蝶形運(yùn)算的級(jí)數(shù)為

=log2N級(jí)，其中第m級(jí)的迭代公式為Xm[i]=Xm

1[i]+Xm

1[j]WNrXm[j]=Xm

1[i]

Xm

1[j]WNr

1WNrXm

1[i]e[m,j]Xm

1[j]圖中，e[m,j]復(fù)數(shù)乘法引入的舍入誤差源，是復(fù)數(shù)，由于每個(gè)復(fù)數(shù)乘包括4個(gè)實(shí)數(shù)乘，因此e[m,j]中包含四個(gè)實(shí)數(shù)誤差源。2024/10/25dsp-chap7-2018807.6FFT實(shí)現(xiàn)中的量化誤差分析7.6.1定點(diǎn)FFT計(jì)算中量化效應(yīng)分析[Xm

1[j]WNr]R={Re[Xm

1[j]]Re[WNr]+e1

Im[Xm

1[j]]Im[WNr]+e2}+j{Re[Xm

1[j]]Im[WNr]+e3+Im[Xm

1[j]]Re[WNr]+e4}=Xm

1[j]WNr+e[m,j]也即：e[m,j]=(e1+e2)+j(e3+e4)噪聲方差為：E[|e[m,j]|2]=q2/3=

B2x[0]W8

0W8

0W8

0W8

0

1

1W8

0

1W8

0W8

0

1x[4]x[2]x