中國礦業(yè)大學(xué)(北京)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》-課件-頻率與概率-等可能概型(古典概型)VIP

一、頻率的定義與性質(zhì)二、概率的定義與性質(zhì)三、小結(jié)第三節(jié)頻率與概率中國礦業(yè)大學(xué)（北京）1.定義一、頻率的定義與性質(zhì)2.性質(zhì)設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)E的任一事件,則試驗(yàn)序號(hào)12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實(shí)例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動(dòng)最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性從上述數(shù)據(jù)可得(2)拋硬幣次數(shù)n較小時(shí),頻率f

的隨機(jī)波動(dòng)幅度較大,但隨n

的增大,頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)n

逐漸增大時(shí)頻率f總是在0.5附近擺動(dòng),且逐漸穩(wěn)定于0.5.(1)頻率有隨機(jī)波動(dòng)性,即對(duì)于同樣的n,所得的

f不一定相同;實(shí)驗(yàn)者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005我們?cè)賮砜匆粋€(gè)驗(yàn)證頻率穩(wěn)定性的著名實(shí)驗(yàn)高爾頓(Galton)板試驗(yàn).試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿缦滤?自上端放入一小球,任其自由下落,在下落過程中當(dāng)小球碰到釘子時(shí),從左邊落下與從右邊落下的機(jī)會(huì)相等.碰到下一排釘子時(shí)又是如此.最后落入底板中的某一格子.因此,任意放入一球,則此球落入哪一個(gè)格子,預(yù)先難以確定.但是如果放入大量小球,則其最后所呈現(xiàn)的曲線,幾乎總是一樣的.單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出請(qǐng)看動(dòng)畫演示重要結(jié)論頻率當(dāng)n較小時(shí)波動(dòng)幅度比較大，當(dāng)n逐漸增大時(shí)，頻率趨于穩(wěn)定值，這個(gè)穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大小．它就是事件的概率．

醫(yī)生在檢查完病人的時(shí)候搖搖頭：“你的病很重，在十個(gè)得這種病的人中只有一個(gè)能救活.”當(dāng)病人被這個(gè)消息嚇得夠嗆時(shí)，醫(yī)生繼續(xù)說：“但你是幸運(yùn)的．因?yàn)槟阏业搅宋遥乙呀?jīng)看過九個(gè)病人了，他們都死于此病.”

醫(yī)生的說法對(duì)嗎?請(qǐng)同學(xué)們思考.

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.二、概率的定義與性質(zhì)概率的可列可加性1.概率的定義證明由概率的可列可加性得2.性質(zhì)概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得證明證明證明證明由圖可得又由性質(zhì)3得因此得推廣三個(gè)事件和的情況n個(gè)事件和的情況解SABAB(3)1.頻率(波動(dòng))概率(穩(wěn)定).2.概率的主要性質(zhì)三、小結(jié)Born:25Apr.1903inTambov,Tambov

province,Russia

Died:20Oct.1987inMoscow,Russia柯爾莫哥洛夫資料AndreyNikolaevichKolmogorov一、等可能概型二、典型例題三、小結(jié)第四節(jié)等可能概型(古典概型)1.定義一、等可能概型(古典概型)

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，A為E的任意一個(gè)事件，且包含

k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A出現(xiàn)的概率為:2.古典概型中事件概率的計(jì)算公式

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S={e1,e2,...,en}，由于在試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同,即有

P({e1})=P({e2})=...=P({en}).又由于基本事件是兩兩互不相容的,于是3.計(jì)算公式推導(dǎo)1=P(S)=P({e1}{e2}...{en})=P({e1})+P({e2})+...+P({en})=nP({ei})所以P({ei})=1/n

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S={e1,e2,...,en}，由于在試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同,即有

P({e1})=P({e2})=...=P({en}).又由于基本事件是兩兩互不相容的,于是3.計(jì)算公式推導(dǎo)所以P({ei})=1/n3.計(jì)算公式推導(dǎo)(續(xù))

若事件A包含k個(gè)基本事件,即這里i1,i2,...,ik是1,2,...,n中某k個(gè)不同的數(shù).則有解二、典型例題排列組合

排列：從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)，求取法數(shù).排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!，0!=1.選排列：

組合：注意：求排列、組合時(shí)，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.加法原理

完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n

類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

個(gè)步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n

步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.

古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1

設(shè)袋中有4只白球和2只黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2只球,求這2只球都是白球的概率.解基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個(gè)數(shù)為(2)有放回地摸球問題2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個(gè)數(shù)為課堂練習(xí)1o

電話號(hào)碼問題

在7位數(shù)的電話號(hào)碼中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率.

2o

骰子問題

擲3顆均勻骰子,求點(diǎn)數(shù)之和為4的概率.例2（書）一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球.從袋中取球兩次,每次隨機(jī)地取一只。考慮兩種方式:

(a)第一次取一只球,觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再取一球.這種取球方式叫做放回抽樣.

(b)第一次取一球不放回袋中,第二次從剩余的球中再取一球.這種取球方式叫做不放回抽樣,試分別就上面兩種情況求(1)取到的兩只球都是白球的概率;

(2)取到的兩只球顏色相同的概率;

(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.3637解(a)放回抽樣的情況.以A,B,C分別表示事件"取到的兩只球都是白球","取到的兩只球都是紅球","取到的兩只球中至少有一只是白球",易知"取到兩只顏色相同的球"這一事件即為AB,而

由于AB=f,得個(gè)基本事件.解（1）放回抽樣情況：顯然有（1）不放回抽樣情況：顯然樣本空間共有包含的基本事件數(shù)為古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量無限問題1

把

4個(gè)球放到

3個(gè)杯子中去,求第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率,其中假設(shè)每個(gè)杯子可放任意多個(gè)球.

4個(gè)球放到3個(gè)杯子的所有放法因此第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率為(2)每個(gè)杯子只能放一個(gè)球問題2

把4個(gè)球放到10個(gè)杯子中去,每個(gè)杯子只能放一個(gè)球,求第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率.解第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率為2o

生日問題

某班有20個(gè)學(xué)生都是同一年出生的,求有10個(gè)學(xué)生生日是1月1日,另外10個(gè)學(xué)生生日是12月31日的概率.

課堂練習(xí)1o

分房問題

將張三、李四、王五3人等可能地分配到3間房中去,試求每個(gè)房間恰有1人的概率.在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有超幾何分布例4

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為解于是所求概率為例5將

15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(1)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的概率是多少?解15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù):(1)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有3種,對(duì)于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有因此所求概率為例6

某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周內(nèi)接待12次來訪共有小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為例7

假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率.64個(gè)人生日各不相同的概率為故64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為解說明我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.定義

當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域，并且任意一點(diǎn)落在度量(長度、面積、體積)相同的子區(qū)域是等可能的，則事件A的概率可定義為說明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概型.三、幾何概型

那么

兩人會(huì)面的充要條件為例7

甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.會(huì)面問題解故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有例8

甲、乙兩人約定在下午1時(shí)到2時(shí)之間到某站乘公共汽車,又這段時(shí)間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開車時(shí)刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙約定(1)見車就乘;(2)最多等一輛車.求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時(shí)刻是互相不牽連的，且每人在

1時(shí)到2時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)車站是等可能的.見車就乘的概率為設(shè)x,y分別為甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻,則有解最多等一輛車,甲、乙同乘一車的概率為蒲豐投針試驗(yàn)例9

1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出