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有什么比無(wú)窮大更大,比無(wú)窮小更小?你好,歡迎來(lái)到我的《數(shù)學(xué)通識(shí)50講》。我們講無(wú)窮大是比任何數(shù)都大,那么世界上只有一個(gè)無(wú)窮大嗎?如果有多個(gè),能比較大小嗎?類似的,無(wú)窮小就是無(wú)限接近于零,那么世界上會(huì)有不同的無(wú)窮小么?如果我們用靜態(tài)的眼光看待這兩個(gè)概念,答案都是否定的:無(wú)窮大和無(wú)窮小都是獨(dú)一無(wú)二的。比如,無(wú)窮大再加上1,或者再乘以2,都是無(wú)窮大。但是,我們已經(jīng)知道,它們其實(shí)不是具體的數(shù)字,而是數(shù)列或者函數(shù)變化的趨勢(shì),是動(dòng)態(tài)的,因?yàn)楸厝挥心承?shù)列或者函數(shù)會(huì)比其他的增加更快,有些則相對(duì)慢一點(diǎn)的情況。同樣,往無(wú)窮小方向變化也是類似。因此,無(wú)窮大或者無(wú)窮小應(yīng)該有很多,而且可以通過(guò)比較它們之間的變化速率,來(lái)比較大小。我們先看兩個(gè)無(wú)窮小的函數(shù),來(lái)比比大?。篺(x)=x和正弦函數(shù)g(x)=sinx。我們知道,當(dāng)x趨近于零的時(shí)候,f(x)和g(x)都趨近于零,那么它們趨近于零的速率相同嗎?我們看一眼下表。我曾經(jīng)試圖用圖來(lái)對(duì)比這兩個(gè)函數(shù)變化的趨勢(shì),但是由于兩條曲線很快合并到一處,看不清楚,因此只能用表來(lái)表示。從表中可以看出,x本身和正弦函數(shù)趨近于零的速率是驚人地一致。于是,我們可以得到這樣一個(gè)結(jié)論,上述兩個(gè)函數(shù)它們趨近于零的速率是相同的。接下來(lái)我們?cè)倏戳硪粋€(gè)趨近于零,速率不同的無(wú)窮小。我們對(duì)比一下上述的正弦函數(shù)g(x)=sin(x)和平方根函數(shù)h(x)=√x我們還是用一張表把它們趨近于零的速率描繪一下:你會(huì)發(fā)現(xiàn)平方根函數(shù)h(x)相比正弦函數(shù)g(x)趨近于零的速率慢得多。這時(shí)候我們其實(shí)就比較出兩個(gè)無(wú)窮小誰(shuí)“更小”了。這里面我對(duì)“更小”兩個(gè)字打了引號(hào),因?yàn)槲覀冞@里說(shuō)的比較大小其實(shí)不是具體數(shù)字大小的比較,而是趨勢(shì)快慢的對(duì)比。當(dāng)一個(gè)無(wú)窮小量比另一個(gè)以更快的速度趨近于零,我們就說(shuō)第一個(gè)比第二個(gè)更小。具體到上面的例子,正弦函數(shù)在零附近,相比平方根函數(shù),是更小的無(wú)窮小。當(dāng)然,更準(zhǔn)確的說(shuō)法是,“高階無(wú)窮小”。下面我給出了一些函數(shù),它們?cè)诹愀浇际菬o(wú)窮小,它們的階數(shù)也越來(lái)越高:平方根x本身、正弦函數(shù)平方函數(shù)x2立方函數(shù)x3指數(shù)函數(shù)的倒數(shù)類似的,我們也可以對(duì)無(wú)窮大比較大小。你可能會(huì)問(wèn),無(wú)窮小是趨近于0,然后誰(shuí)接近0的速率更快,誰(shuí)就是更小。那么無(wú)窮大應(yīng)該和誰(shuí)去比較呢,它只能和另一個(gè)無(wú)窮大去比?其實(shí)如果兩個(gè)無(wú)窮大,一個(gè)增加的速率比另一個(gè)更大,我們就說(shuō)前面的相比后面的是高階的。比如我們看這樣一個(gè)例子,有兩個(gè)函數(shù):f(x)=x和平方根函數(shù)h(x)=√x當(dāng)x趨近于無(wú)窮大時(shí),它們都是無(wú)窮大,但是它們變化的速率不同,我也列舉幾個(gè)數(shù)字,放到下面這張表中,給大家一些直觀的感受。你會(huì)發(fā)現(xiàn),第三行的平方根函數(shù)比上面的線性函數(shù)x增加的速率要慢很多,越到后來(lái)差距越大。當(dāng)然還有比平方根函數(shù)增長(zhǎng)更慢的函數(shù),比如第四行的對(duì)數(shù)函數(shù)。至于增長(zhǎng)更快的,也有很多,像平方函數(shù)就比線性函數(shù)更快,當(dāng)然指數(shù)函數(shù)要快非常多。我們按照各個(gè)函數(shù)往無(wú)窮大方向增長(zhǎng)的速率,從快到慢給出了下面這樣一些例子:指數(shù)函數(shù)10^x冪函數(shù)x^N,通常N=2,3,4……自身x平方根√x立方根對(duì)數(shù)函數(shù)lg(x)特別需要指出的是,很多個(gè)低階無(wú)窮大,加在一起增長(zhǎng)的速率都比不上一個(gè)高階的。比如說(shuō)10000x和x的平方相比誰(shuí)大,當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí),后者要大得多。當(dāng)然,x的立方又要比任意有限個(gè)x的平方大。當(dāng)然,遇到一個(gè)較真的朋友會(huì)說(shuō),這些函數(shù)最后反正都趨近于無(wú)窮大,你比較它們有意義嗎?答案是有的,因?yàn)闊o(wú)窮大本身的含義就是一種趨勢(shì),而不是一個(gè)數(shù)字。特別是在計(jì)算機(jī)科學(xué)出現(xiàn)之后,它的意義更明顯。我們知道,計(jì)算機(jī)是一個(gè)計(jì)算速度極快的機(jī)器。對(duì)于小規(guī)模的問(wèn)題,無(wú)論怎么算,也花不了多少時(shí)間。如果說(shuō)它會(huì)遇到什么難題,那就是規(guī)模很大的問(wèn)題。因此,計(jì)算機(jī)算法所關(guān)心的事情,是當(dāng)問(wèn)題很大時(shí),不同的算法的計(jì)算量以什么速度增長(zhǎng)。比如,我們把問(wèn)題的規(guī)模想成是N,當(dāng)N向著無(wú)窮大的方向增長(zhǎng)時(shí),計(jì)算量是高階的無(wú)窮大,還是低階的。假如算法A的計(jì)算量和N成正比,那么當(dāng)N從10000增加到100萬(wàn)時(shí),計(jì)算量也增加100倍;如果算法的計(jì)算量和N的平方成正比,事情就麻煩得多了,當(dāng)N同樣從10000增加100倍到100萬(wàn)時(shí),計(jì)算量要增加10000倍。類似的,如果算法C的計(jì)算量是N的立方,則要增加100萬(wàn)倍。當(dāng)然遇到極端的情況,計(jì)算量是N的指數(shù)函數(shù),問(wèn)題就無(wú)法解決了。相反,如果算法D的計(jì)算量是N的對(duì)數(shù)函數(shù),那么太好了,無(wú)論N怎么增加,計(jì)算量幾乎不增加。因此,計(jì)算機(jī)算法的精髓其實(shí)就是在各種無(wú)窮大中,找一個(gè)小一點(diǎn)的無(wú)窮大。一個(gè)好的計(jì)算機(jī)從業(yè)者,他在考慮算法時(shí),是在無(wú)窮大這一端,考慮計(jì)算量增長(zhǎng)的趨勢(shì),一個(gè)平庸的從業(yè)者,則是對(duì)一個(gè)具體的問(wèn)題,一個(gè)固定的N,考慮計(jì)算量。前者可以講是用高等數(shù)學(xué)武裝起頭腦,后者對(duì)數(shù)學(xué)的理解還在小學(xué)水平。我們上大學(xué)的目的首先是通過(guò)學(xué)習(xí)課程換腦筋,然后才是掌握知識(shí)點(diǎn)。那么對(duì)于無(wú)窮小,區(qū)別出高階和低階有意義嗎?有意義,而且意義也很大。我們還是拿計(jì)算機(jī)算法舉例子。很多時(shí)候我們要求計(jì)算的誤差在經(jīng)過(guò)一次次迭代后不斷下降,往無(wú)窮小的方向走。比如我們控制導(dǎo)彈和火箭飛行的精度,要在微調(diào)中向著目標(biāo)方向靠近。那么通過(guò)幾次的迭代就趨近于目標(biāo)方向,還是要經(jīng)過(guò)很多次迭代才達(dá)到,這個(gè)差異就很大了。假如我們有一種控制的方法,它是按照下面一個(gè)序列將誤差逐步消除:1,1/2,1/3,1/4,……,1/1000……這個(gè)序列最終發(fā)展下去是無(wú)窮小,但是如果我們想讓誤差小于1/1000,需要調(diào)整1000次。假如我們有辦法讓誤差按照下面的序列消除:1,0.1,0.01,0.001,……那么只需要四次調(diào)整,就能做到誤差小于1/1000。你可以想象,在高速飛行的火箭中,每一秒,火箭都能飛出去幾公里到十幾公里,如果需要調(diào)整一千次,在調(diào)整好之前,火箭早就偏出十萬(wàn)八千里了。因此,在很多計(jì)算機(jī)算法里,希望以高階無(wú)窮小的速度接近零。無(wú)窮大和無(wú)窮小不僅能比較,而且也能計(jì)算。有些計(jì)算結(jié)論是一目了然的,比如無(wú)窮大和無(wú)窮大相加相乘,結(jié)果都是無(wú)窮大,而無(wú)窮小之間做加減乘,結(jié)果都是無(wú)窮小。這比較好理解。但是,無(wú)窮大除以無(wú)窮大,無(wú)窮小除以無(wú)窮小等于多少呢?那就要看分子和分母上的無(wú)窮大或者無(wú)窮小誰(shuí)變化快了。比如說(shuō),當(dāng)x趨近于零時(shí),sinx是無(wú)窮小,根號(hào)x也是無(wú)窮小,那么sinx/√x等于幾呢?我們前面講過(guò),前者變化快,以更快的速度趨近于零,后者變化慢,因此相除的結(jié)果就是0。如果反過(guò)來(lái),根號(hào)x在分子的位置,sinx在分母的位置,這個(gè)比值就是無(wú)窮大。對(duì)于無(wú)窮大的除法,情況也是類似。此外,如果一個(gè)無(wú)窮大乘以一個(gè)無(wú)窮小,結(jié)果可以是一個(gè)常數(shù),也可以是零,或者無(wú)窮大,就看它們誰(shuí)的階數(shù)更高了。我們?cè)谇懊嬷v芝諾悖論時(shí)提到,在等比數(shù)列中,無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小相加,結(jié)果是有限的,就是這個(gè)道理,因?yàn)椴粩嘧冃〉牡缺葦?shù)列,會(huì)形成一個(gè)高階無(wú)窮小。要點(diǎn)總結(jié):雖然無(wú)窮大和無(wú)窮小不是具體的數(shù),但它們也能比較大小,比的不是具體的數(shù)值,而是變化的趨勢(shì)。變化趨勢(shì)快的,叫做高階,變化趨勢(shì)慢的,叫做低階。通過(guò)它們的比較,我們把“比大小”這個(gè)概念的認(rèn)知拓展了。這有什么意義呢?我給你打個(gè)比方,假如房?jī)r(jià)每年的增長(zhǎng)是以幾何級(jí)數(shù)上升的,當(dāng)然你的收入增長(zhǎng)也是如此,如果時(shí)間足夠長(zhǎng),它們都往無(wú)窮大的方向發(fā)展。但是,如果房?jī)r(jià)每年漲3%,你的收入漲10%,只要你的生命足夠長(zhǎng),你早晚買(mǎi)得起房子。如果你的收入增長(zhǎng)是每年20%,這就是一個(gè)相對(duì)高階的無(wú)窮大,你會(huì)很快買(mǎi)得起房子。相反,如果你的收入增長(zhǎng)不到3%,相比房?jī)r(jià)的增長(zhǎng),它就是低階無(wú)窮大,你永遠(yuǎn)買(mǎi)不起房子。無(wú)窮大和無(wú)窮小不僅可以比較,還可以做加減乘除運(yùn)算。當(dāng)然,這種運(yùn)算和3+5=8這樣確定性的運(yùn)算不同,特別是在做乘除法時(shí)。我通常喜歡用“博弈”這個(gè)詞形容一個(gè)無(wú)窮大和一個(gè)無(wú)窮小相乘的情況,因?yàn)榻Y(jié)果是什么,就看誰(shuí)的階高了。這就好比你和你的女朋友,彼此的激情隨著苯基乙胺濃度
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