2025屆江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)大橋、丁溝、仙城中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)大橋、丁溝、仙城中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知m，n表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則2．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.644．已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.5．橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，是上一點(diǎn)，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.6．若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B.，或C.，或 D.，或，或7．某地政府為落實(shí)疫情防控常態(tài)化，不定時(shí)從當(dāng)?shù)?80名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測(cè)．把這批公務(wù)員按001到780進(jìn)行編號(hào)，若018號(hào)被抽中，則下列編號(hào)也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.5228．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5C. D.99．已知的周長(zhǎng)等于10，，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，頂點(diǎn)的軌跡方程可以是（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列滿足，則滿足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.911．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.12．關(guān)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線與直線交于D，E兩點(diǎn)，若（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為16，則拋物線的方程為______；過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則______14．已知，，且，則的最小值為___________15．已知曲線，則以下結(jié)論正確的是______.①曲線C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱；③曲線C被x軸所截得的弦長(zhǎng)為2；④曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離都不超過2.16．已知平面和兩條不同的直線，則下列判斷中正確的序號(hào)是___________.①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，三個(gè)頂點(diǎn)（左、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)）構(gòu)成的三角形的面積為，離心率為方程的根.（1）求橢圓方程；（2）橢圓的一個(gè)內(nèi)接平行四邊形的一組對(duì)邊分別過點(diǎn)和，如圖，若這個(gè)平行四邊形面積為，求平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積.18．（12分）如圖，已知圓錐SO底面圓的半徑r=1，直徑AB與直徑CD垂直，母線SA與底面所成的角為.（1）求圓錐SO的側(cè)面積；（2）若E為母線SA的中點(diǎn)，求二面角E-CD-B的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）19．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.20．（12分）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)，正好形成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)（1）求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為多少時(shí)，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？21．（12分）某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；（3）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率.22．（10分）已知橢圓，離心率為，短半軸長(zhǎng)為1（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線，問：在橢圓C上是否存在點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線l的距離最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大距離；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系判斷【詳解】若，，也可以有，A錯(cuò)；若，，也可以有，B錯(cuò)；若，，則或，C錯(cuò)；若，，則，這是線面垂直的判定定理之一，D正確故選：D2、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出【詳解】故選：C3、A【解析】根據(jù)題中條件，得出數(shù)列公差，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解析】函數(shù)，若，，可得，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.5、A【解析】在中結(jié)合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點(diǎn)，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A6、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得參數(shù)，再代入所求不等式，利用分式大于零，則分子分母同號(hào)，列不等式計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】不等式解集為，即的二根是1和2，利用根和系數(shù)的關(guān)系可知，故不等式即轉(zhuǎn)化成，即，等價(jià)于或者，解得或，或者.故解集為，或，或.故選：D.【點(diǎn)睛】分式不等式的解法：（1）先化簡(jiǎn)成右邊為零的形式（或），等價(jià)于一元二次不等式（或）再求解即可；（2）先化簡(jiǎn)成右邊為零的形式（或），再利用分子分母同號(hào)（或者異號(hào)），列不等式組求解即可.7、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)，寫出組數(shù)與對(duì)應(yīng)抽取編號(hào)的關(guān)系式，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，780名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人，則需要分為組，每組人；設(shè)第組抽取的編號(hào)為，故可設(shè)，又第一組抽中號(hào)，故可得，解得故，當(dāng)時(shí)，.故選：.8、D【解析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴故選：D9、A【解析】根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)等于10，，所以，因此點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且不在直線上，因此有，所以頂點(diǎn)的軌跡方程可以是，故選：A10、B【解析】首先地推公式變形，得，，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式后，再解不等式.【詳解】因?yàn)椋瑑蛇吶〉箶?shù)，得，整理為：，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，，，因?yàn)?，即，得，解得：?所以的最大值是7.故選：B11、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計(jì)算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡(jiǎn)單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解12、B【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計(jì)算等方法逐一分析各個(gè)選項(xiàng)并判斷即可作答.【詳解】對(duì)于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對(duì)于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對(duì)于D，a，b，c是實(shí)數(shù)，若，顯然都可以為負(fù)數(shù)或者0，此時(shí)a，b，c無對(duì)數(shù)，D不正確.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.1【解析】利用的面積列方程，化簡(jiǎn)求得的值，從而求得拋物線方程.將的斜率分成存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得.【詳解】依題意可知，，所以，解得.所以拋物線方程為.焦點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，，即，此時(shí).當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，結(jié)合拋物線的定義可知.故答案為：；14、25【解析】根據(jù)，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為25，故答案為：2515、②④【解析】將x換成,將y換成,若方程不變則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；將x換成，曲線的方程不變則關(guān)于y軸對(duì)稱；令通過解方程即可求得被x軸所截得的弦長(zhǎng)；利用基本不等式即可判斷出曲線C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否不超過2，根據(jù)曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，即可判斷出曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否都不超過2.【詳解】對(duì)于①，將x換成,將y換成,方程改變，則曲線C關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，將x換成，曲線的方程不變，則曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，令得，，解得，即曲線C與x軸的交點(diǎn)為和，則曲線C被x軸所截得的弦長(zhǎng)為，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，則，即曲線C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2，此曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，即曲線C上y軸左側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離也不超過2，故④正確；故答案為：②④.16、②④【解析】根據(jù)直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.詳解】若，則或，異面，或，相交，①錯(cuò)誤；若，則，②正確；若，則或或與相交，③錯(cuò)誤；若，則，④正確；故答案為：②④.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓離心率的性質(zhì)及一元二次方程的根可得，再由橢圓參數(shù)關(guān)系、已知三角形面積求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程并結(jié)合韋達(dá)定理求，進(jìn)而可得，再根據(jù)求參數(shù)t，可得，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性求，即可求結(jié)果.【小問1詳解】由的根為，所以橢圓的離心率，依題意，，解得，即橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得：，所以，所以，所以橢圓的內(nèi)接平行四邊形面積.所以，解得或（舍去），所以，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知：，故平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積為.18、（1）（2）【解析】（1）先根據(jù)母線與底面的夾角求出圓錐的母線長(zhǎng)，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可（2）利用三角形的中位線性質(zhì)，先求出二面角，然后利用二面角與二面角的互補(bǔ)關(guān)系即可求得【小問1詳解】根據(jù)母線SA與底面所成的角為，且底面圓的半徑可得：則圓錐的側(cè)面積為：【小問2詳解】如圖所示，過點(diǎn)作底面的垂線交于，連接，則為的中位線則有：，，易知，則，又直徑AB與直徑CD垂直，則則有：為二面角可得：又二面角與二面角互為補(bǔ)角，則二面角的余弦值為故二面角大小為19、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達(dá)定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號(hào)，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程20、（1），定義域?yàn)椋唬?）當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是.【解析】（1）設(shè)出包裝盒的高和底面邊長(zhǎng)，利用長(zhǎng)方體的表面積得到等量關(guān)系，再利用長(zhǎng)方體的體積公式求出表達(dá)式，再利用實(shí)際意義得到函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化得到函數(shù)的極值，即最值.小問1詳解】解：設(shè)包裝盒的高為，底面邊長(zhǎng)為，則，，所以=其定義域?yàn)?；【小?詳解】解：由（1）得：，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，即當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是21、（1）0.006；（2）；（3）.【解析】（1）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（2）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，由頻率與概率關(guān)系可得該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為；（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有3人，記為，受訪職工評(píng)分在[40，50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應(yīng)的概率.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即為；受訪職工評(píng)分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即為.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40，50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、概率與頻率關(guān)系、古典概型，屬中檔題；利用頻率分布直方圖解題的時(shí)，注意其表達(dá)的意義，同時(shí)要理解頻率是概率的估計(jì)值這一基礎(chǔ)知識(shí)；在利用古典概型解題時(shí)，要注意列出所有的基本事件，千萬不可出現(xiàn)重、漏的情況.22、（1）；（2）存在，最大距