2025屆安徽省宣城市三校數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆安徽省宣城市三校數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.2．新型冠狀病毒（2019-NCoV）因2019年武漢病毒性肺炎病例而被發(fā)現(xiàn)，2020年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名，為考察某種藥物預(yù)防該疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：患病未患病總計(jì)服用藥104555未服藥203050總計(jì)3075105下列說(shuō)法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：，0.050.013.8416.635A.有95%的把握認(rèn)為藥物有效B.有95%的把握認(rèn)為藥物無(wú)效C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為藥物無(wú)效D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為藥物有效3．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為2b，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.4．若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A. B.或C. D.5．已知過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設(shè)是公差的等差數(shù)列，如果，那么（）A. B.C. D.7．七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.8．在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，則的值為（）A. B.C. D.或9．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于10．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離11．一動(dòng)圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支12．在四面體中，設(shè)，若F為BC的中點(diǎn)，P為EF的中點(diǎn)，則＝（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是雙曲線上的一點(diǎn)，是上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是_______________14．圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______15．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________16．若方程表示的曲線是雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___；該雙曲線的焦距是___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，直角梯形AEFB與菱形ABCD所在平面互相垂直，，，，，，M為AD中點(diǎn).（1）證明：直線面DEF；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線l與橢圓C相切于點(diǎn)Q，且直線l斜率大于0，過(guò)線段PQ的中點(diǎn)R作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B不在y軸上），連結(jié)PA，PB，分別與橢圓交于點(diǎn)M，N，試判斷直線MN的斜率是否為定值；若是，請(qǐng)求出該定值19．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為4，設(shè)，的左右有兩個(gè)焦點(diǎn)求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明兩點(diǎn)20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試探究直線上是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值．若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）設(shè)集合（1）若，求；（2）設(shè)，若是成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的左，右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，，（1）求橢圓C的方程；（2）不過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，記直線l、AM、AN的斜率分別為k、、．若，證明直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，時(shí)，為負(fù)數(shù)，A錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以D錯(cuò)誤.故選：C2、A【解析】根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，對(duì)照臨界值即可得出結(jié)論【詳解】根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算，由臨界值表可知，有95%的把握認(rèn)為藥物有效，A正確故選：A3、A【解析】求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)建立關(guān)系即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，則點(diǎn)到漸近線的距離為，因?yàn)橄议L(zhǎng)為，圓半徑為，所以，即，因?yàn)?，所以，則雙曲線的離心率為.故選：A.4、D【解析】“”是“”的充分不必要條件，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求出的取值范圍.【詳解】∵“”是“”的充分不必要條件∴或∴故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，根據(jù)充要條件求解參數(shù)的范圍時(shí)，可把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，由此得到不等式（組）后再求范圍.解題時(shí)要注意，在利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.5、D【解析】經(jīng)判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，與半徑相連，所以與垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，最長(zhǎng)為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，連接，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，，所以弦長(zhǎng)，當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，最長(zhǎng)等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D6、D【解析】由已知可得，即可得解.【詳解】由已知可得.故選：D.7、A【解析】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，則大陰影等腰三角形底邊長(zhǎng)為4，底邊上的高為2，可得小正方形對(duì)角線長(zhǎng)為2，小正方形邊長(zhǎng)為，小陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為，小白色等腰直角三角形底邊長(zhǎng)為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為.故選：A8、B【解析】由韋達(dá)定理得a3a15=2，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)得：a92=a3a15=a2a16=2，由此求出答案【詳解】解：∵在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2-6x+2=0的根，∴a3a15=2＞0，a3+a15=-6<0∴a2a16=a3a15=2，a92=a3a15=2，∴a9=，∴，故選B【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列中兩項(xiàng)積與另一項(xiàng)的比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用9、D【解析】由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論10、A【解析】根據(jù)兩圓半徑和、差、圓心距之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，該圓的圓心為，半徑為.圓圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A的圓心距為，兩圓的半徑和為，所以兩圓的半徑和等于兩圓的圓心距，因此兩圓相外切，故選：A11、A【解析】依據(jù)定義法去求動(dòng)圓的圓心的軌跡即可解決.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,又圓半徑為1，圓半徑為8，則，，可得，又則動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓.故選：A12、A【解析】作出圖示，根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算法則，即可得答案.【詳解】如圖示：連接OF,因?yàn)镻為EF中點(diǎn)，，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，,.故答案為.14、【解析】先將已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得圓心坐標(biāo)(2,2)和半徑2，然后可根據(jù)直線的位置直接看出(2,2)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而寫出方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn),所以所求對(duì)稱圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：15、【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、①.②.2【解析】由題意可得，由此可解得m的范圍，進(jìn)一步將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得焦距【詳解】由所表示的曲線是雙曲線，可知，解得，當(dāng)時(shí)，方程可變?yōu)椋?，此時(shí)雙曲線焦距為，當(dāng)時(shí)，m不存在，不合題意；故雙曲線的焦距：故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由平面平面ABCD，可得平面ABCD，連接BD，可得，以為原點(diǎn)，為軸，豎直向上為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算與平面的法向量的數(shù)量積為0即可得證；（2）分別計(jì)算出平面和平面的法向量，然后利用向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面ABCD，且，所以平面ABCD，連接BD，則等邊三角形，所以，以為原點(diǎn)，為軸，豎直向上為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為平面的法向量，因?yàn)?，則有，取，又因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，所以平面；【小?詳解】解：分別設(shè)為平面和平面的法向量，因?yàn)椋瑒t有，取，因，則有，取，所以，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18、（1）（2）是，【解析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積列出等式即可求解；（2）設(shè)出相關(guān)直線與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，直線與橢圓聯(lián)立，點(diǎn)的坐標(biāo)配合斜率公式化簡(jiǎn)，再運(yùn)用韋達(dá)理化簡(jiǎn)可證明.【小問1詳解】由題意得，解得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)切線PQ的方程為，，，，，由，消去y得①，則，解得或（舍去），將代入①得，，解得，則，所以，又R為PQ中點(diǎn)，則，因?yàn)镻A，PB斜率都存在，不妨設(shè)，，由①可得，所以，，同理，，則，又R，A，B三點(diǎn)共線，則，化簡(jiǎn)得，所以.19、（1）（2）（3）滿足條件的直線不存在，詳見解析【解析】根據(jù)條件直接求出,進(jìn)而求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;設(shè),表示出,求出其范圍;設(shè)CD的中點(diǎn)為;由,則;得到其斜率的乘積為,最后列取方程聯(lián)立計(jì)算即可.【詳解】解：由題意可知,,則;所以橢圓C的方程為:;由題意可知,,設(shè),則,;所以的取值范圍是;假設(shè)存在滿足條件的直線,根據(jù)題意得直線的斜率存在;則設(shè)直線的方程為：；消化簡(jiǎn)得:;,則;；設(shè)，則CD的中點(diǎn)為；,；，則;，即;即,無(wú)解;故滿足條件的直線不存在.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),向量的數(shù)量積,直線的垂直,設(shè)而不求的思想方法,關(guān)鍵在于將幾何條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,還考查了學(xué)生的綜合運(yùn)算能力,屬于中檔題.20、（1）（2）存在，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，實(shí)數(shù)的值為【解析】（1）由題意可得，再結(jié)合，可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)在直線上存在定點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程消去，利用根與系數(shù)，再計(jì)算為常數(shù)可求出，從而可求得，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得的值【小問1詳解】由題意知結(jié)合，可得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問2詳解】設(shè)在直線上存在定點(diǎn)，使為定值，①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l為，設(shè)，·由得，則，，所以為常數(shù)則，解之得，即定點(diǎn)為，則②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即動(dòng)直線方程為，不妨設(shè)，，此時(shí)也成立所以，存在定點(diǎn)使為定值，即21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)不等式的解答求得，當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合集合并集的運(yùn)算，即可求解；（2）由題意得到是的真子集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由，解得，即，當(dāng)時(shí)，可得，所以.【小問2詳解】解：由集合，因?yàn)?，且是成立的必要不充分條件，是的真子集，所以且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，其中當(dāng)和是滿足題意，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.22、（1）；（2）證明見解析，(－5,0).【解析