2025屆河北省承德實驗中學數(shù)學高二上期末聯(lián)考試題含解析

2025屆河北省承德實驗中學數(shù)學高二上期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.2．下列各式正確的是（）A. B.C. D.3．由下面的條件一定能得出為銳角三角形的是（）A. B.C. D.4．在數(shù)列中，，，，則（）A.2 B.C. D.15．在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項的值是（）A.102 B.C. D.1086．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為（）A. B.C. D.7．已知圓，過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，若O為坐標原點，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.68．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的值是（）A. B.C. D.9．已知在一次降雨過程中，某地降雨量（單位：mm）與時間t（單位：min）的函數(shù)關系可表示為，則在時的瞬時降雨強度為（）mm/min.A. B.C.20 D.40010．為了解義務教育階段學校對雙減政策的落實程度，某市教育局從全市義務教育階段學校中隨機抽取了6所學校進行問卷調查，其中有4所小學和2所初級中學，若從這6所學校中再隨機抽取兩所學校作進一步調查，則抽取的這兩所學校中恰有一所小學的概率是（）A. B.C. D.11．若圓C與直線：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.12．已知橢圓C：的一個焦點為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.25二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法的種數(shù)為______（用數(shù)字作答）14．若直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點，則l的斜率取值范圍為_________________；其傾斜角的取值范圍為_________________.15．已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù),,對任意實數(shù)都有,則不等式的解集為___________.16．已知直線與圓交于兩點，則面積的最大值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令求數(shù)列的前n項和；18．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓上任意兩點，為坐標原點，且以為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：原點到直線的距離為定值，并求出該定值19．（12分）已知P，Q的坐標分別為，，直線PM，QM相交于點M，且它們的斜率之積是.設點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線的方程；（2）設為坐標原點，圓的半徑為1，直線：與圓相切，且與曲線交于不同的兩點A，B.當，且滿足時，求面積的取值范圍.20．（12分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值21．（12分）已知過拋物線的焦點F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點，且（1）求拋物線C的方程；（2）求以C的準線與x軸的交點D為圓心且與直線l相切的圓的方程22．（10分）已知等差數(shù)列的前和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；（2）現(xiàn)由數(shù)列與按照下列方式構造成新的數(shù)列①將數(shù)列中的項去掉數(shù)列中的項，按原來的順序構成新數(shù)列；②數(shù)列與中的所有項分別構成集合與，將集合中的所有元素從小到大依次排列構成一個新數(shù)列;在以上兩個條件中任選一個做為已知條件，求數(shù)列的前30項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質可知，，，成等比數(shù)列，由等比中項特點可構造方程求得，由等比數(shù)列通項公式可求得，進而得到結果.【詳解】由等比數(shù)列的性質可得：，，，成等比數(shù)列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.2、C【解析】利用導數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：C3、D【解析】對于A，兩邊平方得，由得，即為鈍角；對于B，由正弦定理求出，進而求出，可得結果；對于C，根據(jù)平方關系將余弦化為正弦，用正弦定理可將角轉化為邊，進而可得的值，從而作出判斷；對于D，由可得，推出，，，故可知三個內(nèi)角均為銳角【詳解】解：對于A，由，兩邊平方整理得，，因為，所以，所以，所以，所以為鈍角三角形，故A不正確；對于B，由，得，所以，因為，所以，所以或，所以或，所以為直角三角形或鈍角三角形，故B不正確；對于C，因為，所以，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因為，所以，故三角形為鈍角三角形，C不正確；對于D，由可得，因為中最多只有一個鈍角，所以，，中最多只有一個為負數(shù)，所以，，，所以中三個內(nèi)角都為銳角，所以為銳角三角形，故D正確；故選：D4、A【解析】根據(jù)題中條件，逐項計算，即可得出結果.【詳解】因為，，，所以，因此.故選：A.5、D【解析】將將看作一個二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質求解.【詳解】將看作一個二次函數(shù)，其對稱軸為，開口向下，因為，所以當時，取得最大值，故選：D6、B【解析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理可得，進而得出中點的橫坐標，代入直線方程求出中點的縱坐標即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點中點的橫坐標為：，所以中點的縱坐標為：，即線段AB的中點的坐標為.故選：B7、C【解析】由題意，點P在圓C內(nèi)，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，進而可得，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因為過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，所以點P在圓C內(nèi)，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，所以由弦長公式有，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.8、B【解析】模擬程序運行后,可得到輸出結果,利用裂項相消法即可求出答案.【詳解】模擬程序運行過程如下:0),判斷為否,進入循環(huán)結構,1),判斷為否,進入循環(huán)結構,2),判斷為否,進入循環(huán)結構,3),判斷為否,進入循環(huán)結構,……9),判斷為否,進入循環(huán)結構,10),判斷為是,故輸出,故選:B.【點睛】本題主要考查程序框圖,考查裂項相消法,難度不大.一般遇見程序框圖求輸出結果時,常模擬程序運行以得到結論.9、B【解析】對題設函數(shù)求導，再求時對應的導數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設，，則，所以在時的瞬時降雨強度為mm/min.故選：B10、A【解析】由組合知識結合古典概型概率公式求解即可.【詳解】從這6所學校中隨機抽取兩所學校的情況共有種，這兩所學校中恰有一所小學的情況共有種，則其概率為.故選：A11、B【解析】首先求出兩平行直線間的距離，即可求出圓的半徑，設圓心坐標為，，利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出的值，即可得解；【詳解】解：因為直線：和：的距離，由圓C與直線：和：都相切，所以圓的半徑為，又圓心在軸上，設圓心坐標為，，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以或（舍去），所以圓心坐標為，故圓的方程為；故選：B12、A【解析】由題意可得焦點在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個焦點是，∴，∴，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、48【解析】由已知按區(qū)域分四步，然后給，，，區(qū)域分步選擇顏色，由此即可求解【詳解】解：由已知按區(qū)域分四步：第一步區(qū)域有4種選擇，第二步區(qū)域有3種選擇，第三步區(qū)域有2種選擇，第四步區(qū)域也有2種選擇，則由分步計數(shù)原理可得共有種，故答案為：4814、①.②.【解析】根據(jù)直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點，利用斜率公式，結合二次函數(shù)性質求解；設其傾斜角為，，利用正切函數(shù)的性質求解.【詳解】因為直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點，所以l的斜率為，所以l的斜率取值范圍為，設其傾斜角為，，則，所以其傾斜角的取值范圍為，故答案為：，15、【解析】令則，∴在R上是減函數(shù)又等價于∴故不等式的解集是答案：點睛：本題考查用構造函數(shù)的方法解不等式，即通過構造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調性求得不等式的解集，解題時要注意常見的函數(shù)類型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對于，可構造函數(shù)；（2）對于，可構造函數(shù)16、##【解析】先求出的范圍，再利用面積公式可求面積的最大值.【詳解】圓即為，直線為過原點的直線，如圖，連接，故，解得，此時，故的面積為，當且僅當時等號成立，此時即，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式得到，根據(jù)通項公式的求法得到結果；（2）分組求和即可.【小問1詳解】設的公差為,由已知,有解得，所以的通項公式為,的通項公式為.【小問2詳解】，分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到：.18、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關系，將題目轉化為，化簡得到，代入計算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當直線斜率存在時，設直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經(jīng)過原點，故，即，即，化簡整理得到：，原點到直線的距離為.當直線斜率不存在時，為等腰直角三角形，設，則，解得，即直線方程為，到原點的距離為.綜上所述：原點到直線的距離為定值.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中將圓過原點轉化為是解題的關鍵.19、（1）（2）【解析】【小問1詳解】設點，則，整理得曲線的方程：【小問2詳解】因為圓的半徑為1，直線：與圓相切，則，，設，將代入得，，，，，所以，，因為，令，在上單調減，，所以20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）利用直線的方向向量，平面的法向量，計算線面角的正弦值.【詳解】（1）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則.，，所以,由于，所以平面.（2），，設平面的法向量為，則，令，則，所以.設直線與平面所成角為，則.21、（1）；（2）【解析】（1）首先表示出直線l的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，列出韋達定理，再根據(jù)焦點弦公式計算可得；（2）由（1）可得，再利用點到直線的距離求出半徑，即可求出圓的方程；【詳解】解析：（1）由已知得點，∴直線l的方程為，聯(lián)立去，消去整理得設，，則，，∴拋物線C的方程為（2）由（1）可得，直線l的方程為，∴圓D的半徑，∴圓D的方程為【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質，屬于中檔題.22、（1），（2