《概率與統(tǒng)計(jì)》章末歸納復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《概率與統(tǒng)計(jì)》章末歸納復(fù)習(xí)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)答案=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨=10\*GB3⑩eq\o\ac(○,11)1eq\o\ac(○,12)eq\o\ac(○,13)eq\o\ac(○,14)eq\o\ac(○,15)eq\o\ac(○,16)eq\o\ac(○,17)eq\o\ac(○,18)eq\o\ac(○,19)eq\o\ac(○,20)eq\o\ac(○,21)eq\o\ac(○,22)eq\o\ac(○,23)eq\o\ac(○,24)eq\o\ac(○,25)eq\o\ac(○,26)eq\o\ac(○,27)eq\o\ac(○,28)正eq\o\ac(○,29)負(fù)eq\o\ac(○,30)eq\o\ac(○,31)知識(shí)要點(diǎn)整合一、條件概率條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須弄清欲求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率.求條件概率的主要方法有：（1）利用條件概率公式;（2）針對(duì)古典概型,可通過(guò)縮減樣本空間求解.例1在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題,求:（1）第1次抽到理科題的概率;（2）第1次和第2次都抽到理科題的概率;（3）在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率.解析本題是條件概率問(wèn)題,根據(jù)條件概率公式求解即可.答案設(shè)“第1次抽到理科題”為事件，“第2次抽到理科題”為事件,則“第1次利第2次都抽到理科題”為事件.（1）從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,.于是.（2）因?yàn)?所以.（3）方法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率.方法二:因?yàn)?所以.例2擲兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點(diǎn),求“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”的概率.解析本題可采用條件概率公式或古典概型的概率計(jì)算公式求解即可.答案設(shè)“擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”為事件,“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”為事件.方法一:.方法二:“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”的情況有,2),,共6種,故.“擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”且“第一顆擲出6點(diǎn)”的情況有,共3種,即.從而.二、乘法公式與全概率公式、貝葉斯公式乘法公式與全概率公式可以看作是條件概率的延伸，利用乘法公式可以解決多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，而全概率公式是將一復(fù)雜事件的概率求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題.在條件概率公式中使用全概率公式就會(huì)得到貝葉斯公式，它是在觀察事件已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致事件發(fā)生的每個(gè)原因的概率.解題時(shí)需要注意各公式的使用條件.例3某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志.（1）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率；（2）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件，若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少.解析（1）利用全概率公式計(jì)算；（2）利用貝葉斯公式計(jì)算.答案設(shè)表示“取到的是一只次品”,表示“所取到的產(chǎn)品是由第家工廠提供的”.易知,是樣本空間的一個(gè)劃分,且有0.02,.（1）由全概率公式可知.（2）由貝葉斯公式.同理.以上結(jié)果表明,這只次品來(lái)自第2家工廠的可能性最大.三、相互獨(dú)立事件的概率相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對(duì)立事件結(jié)合在一起進(jìn)行考查,解答此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系,在此基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件,并運(yùn)用相應(yīng)公式求解.特別注意以下兩公式的使用前提:（1）若互斥,則,反之不成立；（2）若相互獨(dú)立,則,反之成立.例4甲、乙、丙3位大學(xué)生同時(shí)應(yīng)聘某個(gè)用人單位的職位,甲、乙兩人只有一人被選中的概率為,兩人都被選中的概率為,丙被選中的概率為,且各自能否被選中互不影響.（1）求3人同時(shí)被選中的概率;（2）求恰好有2人被選中的概率;（3）求3人中至少有1人被選中的概率.解析根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率求解.答案設(shè)甲、乙、丙能被選中的事件分別為,,則，，.（1）3人同時(shí)被選中的概率.（2）恰有2人被選中的概率.（3）3人中至少有1人被選中的概率.例5某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答3個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定:答對(duì)第個(gè)問(wèn)題分別得100分、100分200分,答錯(cuò)得零分.假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第個(gè)問(wèn)題的概率分別為,且各題答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響.（1）求這名同學(xué)得300分的概率;（2）求這名同學(xué)至少得300分的概率.解析根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解即可.答案記“這名同學(xué)答對(duì)第個(gè)問(wèn)題”為事件,則.(1)這名同學(xué)得300分的概率為:.（2）這名同學(xué)至少得300分的概率為:.四、二項(xiàng)分布與超幾何分布超幾何分布與二項(xiàng)分布都是隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，兩種分布的差別就在于“有放回”與“無(wú)放回”，只要將概率模型中的“無(wú)放回”改為“有放回”，或?qū)⒂蟹呕亍备臑椤盁o(wú)放回”，就可以實(shí)現(xiàn)兩種分布之間的轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要分清到底是超幾何分布還是二項(xiàng)分布.例6一批產(chǎn)品共300件，其中次品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的,隨機(jī)抽取4件樣品進(jìn)行檢驗(yàn),表示樣品中抽到的次品數(shù),在下列情形下求(結(jié)果精確到.（1）不放回抽樣;（2）放回抽樣.解析根據(jù)超幾何分布和二項(xiàng)分布的概率公式分別求解.答案產(chǎn)品總數(shù)為300件時(shí),次品數(shù)為件,合格品的件數(shù)為件.（1）從300件產(chǎn)品中抽取4件樣品,有個(gè)樣本點(diǎn),表示“抽到1件次品和3件正品”,其包含個(gè)樣本點(diǎn).所以服從的超幾何分布,故.（2）在放回抽樣中,每次都是從這300件產(chǎn)品中抽取,從而抽到次品的概率都是,可以把4次抽取看成是4.次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),這樣抽到的次品數(shù).故恰好抽到1件次品的概率為.五、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差1.含義：均值和方差分別反映了隨機(jī)變量取值的平均水平及其穩(wěn)定性.2.應(yīng)用范圍：均值和方差在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中應(yīng)用非常廣泛，如同等資金下比較收益的高低、相同條件下比較質(zhì)量的優(yōu)劣、性能的好壞等.3.求解思路：應(yīng)用時(shí)，先要將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的概率分布列.對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列，再代入公式計(jì)算，此時(shí)解題的關(guān)鍵是概率的計(jì)算計(jì)算概率時(shí)要結(jié)合事件的特點(diǎn)，靈活地結(jié)合排列組合、古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率等知識(shí)求解若離散型隨機(jī)變量服從特殊分布（如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等），則可直接代入公式計(jì)算其數(shù)學(xué)期望與方差.例7甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行比賽,根據(jù)規(guī)則:每支隊(duì)伍比賽兩場(chǎng),共賽三場(chǎng),每場(chǎng)比賽勝者得3分,負(fù)者得0分,沒(méi)有平局.已知乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為,甲隊(duì)獲得第一名的概率為,乙隊(duì)獲得第一名的概率為.（1）求甲隊(duì)分別勝乙隊(duì)和丙隊(duì)的概率;（2）設(shè)在該次比賽中,甲隊(duì)得分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望、方差.解析（1）通過(guò)列方程組求和；（2）由題意求出甲隊(duì)得分的可能取值,然后再求出的分布列,最后再求出數(shù)學(xué)期望和方差.答案（1）設(shè)“甲隊(duì)勝乙隊(duì)”的概率為,“甲隊(duì)勝丙隊(duì)”的概率為.根據(jù)題意,甲隊(duì)獲得第一名,則甲隊(duì)勝乙隊(duì)且甲隊(duì)勝丙隊(duì)，所以甲隊(duì)獲得第一名的概率為.=1\*GB3①乙隊(duì)獲得第一名,則乙隊(duì)勝甲隊(duì)且乙隊(duì)勝丙隊(duì),所以乙隊(duì)獲得第一名的概率為.=2\*GB3②解=2\*GB3②,得,代入=1\*GB3①,得,所以甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為,甲隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為.（2）的可能取值為.當(dāng)時(shí),甲隊(duì)兩場(chǎng)比賽皆輸,其概率為;當(dāng)時(shí),甲隊(duì)兩場(chǎng)只勝一場(chǎng),其概率為當(dāng)時(shí),甲隊(duì)兩場(chǎng)皆勝,其概率為.所以的分布列為所以,.例8為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.（1）設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”,求事件發(fā)生的概率;（2）設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析（1）利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)隨機(jī)變量服從超幾何分布計(jì)算即可.答案（1）由已知,有.所以,事件發(fā)生的概率為.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為..所以,隨機(jī)變量的分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.六、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用對(duì)于正態(tài)分布問(wèn)題，課標(biāo)要求不是很高，只要求了解正態(tài)分布中最基礎(chǔ)的知識(shí)，主要是：（1）掌握正態(tài)分布曲線函數(shù)關(guān)系式；（2）理解正態(tài)曲線的性質(zhì)；（3）記住正態(tài)分布在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，運(yùn)用對(duì)稱性結(jié)合圖像求相應(yīng)的概率.正態(tài)分布的概率通常有以下兩種求法：（1）注意“原則”的應(yīng)用.記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率.（2）注意數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)曲線具有完美的對(duì)稱性,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想,因此運(yùn)用對(duì)稱性結(jié)合圖像解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問(wèn)題成為熱點(diǎn)問(wèn)題.例9某學(xué)校高三2500名學(xué)生第二次模擬考試總成績(jī)服從正態(tài)分布,請(qǐng)判斷考生成績(jī)?cè)?00分的人數(shù).解析根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出,即可求出成績(jī)?cè)诜值目忌藬?shù).答案考生成績(jī),，，考生成績(jī)?cè)诜值娜藬?shù)為（人）例10為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況,抽查了該地區(qū)1000名年齡在歲至19歲的高三男生的體重情況,抽查結(jié)果表明他們的體重服從正態(tài)分布,且正態(tài)分布密度曲線如圖所示.若體重大于等于小于等于屬于正常情況,則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是（）A.997B.954C.819D.683解析由題意,可知,故,從而屬于正常情況的人數(shù)是.答案D七、回歸分析建立回歸模型的步驟：（1）確定研究對(duì)象,明確變量;（2）畫出變量的散點(diǎn)圖,觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性相關(guān)關(guān)系等);（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系,則選用回歸直線方程;（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出回歸方程.另外，回歸直線方程只適用于我們所研究的樣本的總體，而且一般都有時(shí)間性樣本的取值范圍一般不能超過(guò)回歸直線方程的適用范圍，否則沒(méi)有實(shí)用價(jià)值.例11假設(shè)一個(gè)人從出生到死亡，在每個(gè)生日那天都測(cè)量身高，并作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，則這些點(diǎn)將不會(huì)落在一條直線上，但在一段時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)數(shù)據(jù)有時(shí)可以用線性回歸來(lái)分析.下表是一位母親給兒子作的成長(zhǎng)記錄：（1）作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）求出這些數(shù)據(jù)的回歸直線方程；（3）對(duì)于這個(gè)例子，你如何解釋回歸系數(shù)的含義？（4）解釋一下回歸系數(shù)與每年平均增長(zhǎng)的身高之間的聯(lián)系.解析（1）作出散點(diǎn)圖,確定兩個(gè)變量是否線性相關(guān);（2）求出,寫出回歸直線方程;（3）回歸系數(shù)即的值,是一個(gè)單位變化量;（4）根據(jù)回歸直線方程可找出其規(guī)律.答案（1）數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下；（2）用表示身高,表示年齡,因?yàn)?，，，所以數(shù)據(jù)的回歸直線方程為.（3）在該例中,回歸系數(shù)表示該人在一年中增加的高度.（4）回歸系數(shù)與每年平均增長(zhǎng)的身高之間近似相等.例12某商店各個(gè)時(shí)期的商品流通率與應(yīng)商品零售額(萬(wàn)元)資料如下：散點(diǎn)圖顯示出與的變動(dòng)關(guān)系為一條遞減的曲線.經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)都證明,流通率取決于商品的零售額,體現(xiàn)著經(jīng)營(yíng)規(guī)模效益,假定它們之間存在關(guān)系式:.試根據(jù)上表數(shù)據(jù),求出與的估計(jì)值,并估計(jì)商品零售額為30萬(wàn)元時(shí)的商品流通率.解析通過(guò)令換元,轉(zhuǎn)化為求回歸直線方程問(wèn)題即可.答案設(shè),則,得下表數(shù)據(jù):由表中數(shù)據(jù)可得與之間的回歸直線方程為.所以所求的回歸方程為.當(dāng)時(shí),,即商品零售額為30萬(wàn)元時(shí),商品流通率為.八、獨(dú)立生檢驗(yàn)根據(jù)隨機(jī)變量的含義,可以通過(guò)來(lái)評(píng)價(jià)相關(guān)的程度,由實(shí)際計(jì)算出說(shuō)明假設(shè)有關(guān)的程度約為,即兩個(gè)事件有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度為.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟:（1）樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表;（2）根據(jù)卡方公式計(jì)算的值;（3）比較與臨界值的大小關(guān)系并作出統(tǒng)計(jì)推斷.例13在某校高三年級(jí)一次全年級(jí)的大型考試中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中,物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示,則數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分也優(yōu)秀哪個(gè)關(guān)系較大?注:該年級(jí)此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有360人,非優(yōu)秀的有880人.解析分別列出數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與化學(xué)、數(shù)學(xué)與總分優(yōu)秀的列聯(lián)表,求的值.由值分析,得出結(jié)論.答案（1）列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的列聯(lián)表如下：代入公式得.（2）列出數(shù)學(xué)與化學(xué)優(yōu)秀的列聯(lián)表如下:代入公式,得.（3）列出數(shù)學(xué)與總分優(yōu)秀的列聯(lián)表如下:代入公式,得.由上面計(jì)算可知數(shù)學(xué)成學(xué)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀都有關(guān)系,由計(jì)算分別得到的統(tǒng)計(jì)量都大于臨界值,由此說(shuō)明有的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，但與總分優(yōu)秀關(guān)系最大，與物理次之.例14某推銷商為某保健藥品做廣告，在廣告中宣傳："在服用該藥品的105人中有100人未患疾病”.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在不服用該藥品的418人中僅有18人出疾病.請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)分析該藥品對(duì)預(yù)防疾病是否有效.解析根據(jù)題得列出列聯(lián)表,求卡方的值.由觀測(cè)值分析,得出結(jié)論.答案將問(wèn)題中的數(shù)據(jù)寫成如下列聯(lián)表:將上述數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算可得，因?yàn)?故沒(méi)有充分理由認(rèn)為該保健藥品對(duì)預(yù)防疾病有效.核心素養(yǎng)梳理1.數(shù)據(jù)分析.數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng)數(shù)據(jù)分析過(guò)程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論.比如下面這道題，其考查統(tǒng)計(jì)中的概率計(jì)算、隨機(jī)變量的方差計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).例1（2018·北京）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影總部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；（2）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；（3）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“”表示第類電影得到人們喜歡,“”表示第類電影沒(méi)有得到人們喜歡,).寫出方差的大小關(guān)系.解析（1）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可;（2）分第四類、第五類電影為好評(píng)與非好評(píng)、非好評(píng)與好評(píng)兩種情況討論即可;（3）定義隨機(jī)變量根據(jù)服從兩點(diǎn)分布計(jì)算即可.答案（1）設(shè)“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影”為事件.因?yàn)榈谒念愲娪爸蝎@得好評(píng)的電影有(部),所以.（2）設(shè)“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,恰有1部獲得好評(píng)”為事件,則.（3）由題意可知,定義隨機(jī)變量如下：則顯然服從兩點(diǎn)分布,故0.24,，，，，.綜上所述,.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)幾乎在所有知識(shí)點(diǎn)中都有涉及，比如下面這道題，以統(tǒng)計(jì)圖為背景，考查回歸直線方程，考查運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).例2（2018·全國(guó)Ⅱ）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型=1\*GB3①:;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型=2\*GB3②：.（1）分析利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值;（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?請(qǐng)說(shuō)明理由.解析（1）分別代入模型計(jì)算即可;（2）從折線圖和計(jì)算結(jié)果兩個(gè)方面判斷得出利用模型=2\*GB3②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.答案（1）利用模型=1\*GB3①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為(億元).利用模型=2\*GB3②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為億元.（2）利用模型=2\*GB3②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.理由如下:（i）從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線上下,這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=1\*GB3①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線附近,這說(shuō)明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨窮,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型=2\*GB3②得到的預(yù)測(cè)值更可營(yíng).（ii）從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型=1\*GB3①得到的預(yù)測(cè)值億元的增有明顯偏低,而利用模型=2\*GB3②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.3.數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過(guò)程主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題,分析問(wèn)題、建立模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問(wèn)題.本章內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的地方較多,比如下面這道題,在（3）中通過(guò)建立線性回歸直線方程,利用回歸直線的性質(zhì)預(yù)測(cè)第五年的年薪,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).例3某單位共10名員工,他們某年的收人如下表.（1）求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù);（2）從該單位中任取2人,此2人中年薪收人高于5萬(wàn)的人數(shù)記為,求的分布列和期望;（3）已知員工年薪收人與工作年限成正線性相關(guān)關(guān)系,若某員工工作第一年至第四年的年薪分別為3萬(wàn)元、萬(wàn)元、萬(wàn)元、萬(wàn)元,預(yù)測(cè)該員工第五年的年薪為多少？附:回歸直線方程中系數(shù)計(jì)算公式,其中表示樣本均值.解析（1）利用公式計(jì)其即可；（2）根據(jù)年?高于5萬(wàn)的有6人,低于或等于5萬(wàn)的有4人，利用隨機(jī)變量服從超幾何分布，由公式計(jì)算即可;（3）設(shè)分別表示工作年限及相應(yīng)第5年的年薪收入.答案（1）平均值為10萬(wàn)元,中位數(shù)為6萬(wàn)元.（2）年薪高于5萬(wàn)的有6人,低于或等于5萬(wàn)的有4人,取值為..所以的分布列為數(shù)學(xué)期望為.（3）設(shè)分別表示工作年限及相應(yīng)年薪，則，，，，，因此回歸直線方程為.從而可預(yù)測(cè)該員工第5年的年薪收人為萬(wàn)元.考真題再現(xiàn)考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征的計(jì)算及性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征是每年高考的熱點(diǎn)，常與其他內(nèi)容進(jìn)行綜合考查，但求隨機(jī)變量的數(shù)字特征以及數(shù)字特征的性質(zhì)是基礎(chǔ)、更是關(guān)鍵該類問(wèn)題的考查有時(shí)以選擇題、填空題的形式命題，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中，分值一般為5分左右，試題難度不大，屬于中檔題例（2017·浙江）已知隨機(jī)變量滿足.若,則（）A.B.C.D.解析,.答案A例2(2018?全國(guó)I節(jié)選)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)付用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.（1）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為,求;（2）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?解析（1）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),利用及計(jì)算即可；（2）根據(jù)可下結(jié)論.答案（1）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知,則,,即.所以.（2）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為元.由于,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).考點(diǎn)2獨(dú)立事件的概率獨(dú)立事件的概率是高考的重點(diǎn)，既有選擇題、填空題，也有解答題，試題難度適中，分值一般為5分左右，屬于中檔題.例3（2019·全國(guó)Ⅰ）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是_____.解析前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是,前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸,第五場(chǎng)贏時(shí),甲隊(duì)以獲勝的概率是,綜上所述,甲隊(duì)以獲勝的概率是.答案例4(2019?天津)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;（2）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件發(fā)生的概率.解析（1）利用可算出概率,進(jìn)而可得分布列與期望.（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中之前到校的天數(shù)為,則,且,.根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.答案（1）因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立,且每天之前到校的概率均為,故,從而,.所以,隨機(jī)變量的分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中之前到校的）數(shù)為,則,而且.由題意知事件與互斥,且事件與,事件與均互獨(dú)立,從而由（1）知.考點(diǎn)3超幾何分布超幾何分布是高考的?？純?nèi)容，多與離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征綜合出現(xiàn)在解答題中，分值一般為5~12分左右，試題難度適中，屬于中檔題.例5（2018·天津）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率解析（1）根據(jù)分層抽樣的特征，代入公式計(jì)算可知分別抽取3人、2人、2人；（2）（1）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式可得分布列，進(jìn)而可求期望，（ii）用符號(hào)表示事件，然后根據(jù)互斥事件的概率加法公式計(jì)算即可.答案（1）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人2人、2人（2）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為..所以,隨機(jī)變量的分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.(ii)設(shè)事件為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則,且與互斥,由(i)知,,故.所以,事件發(fā)生的概率為.例6（2015?四川）某市兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).（1）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；（2）某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解析（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“A中學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì)”的對(duì)立事件的概率；（2）根據(jù)超幾何分布模型的概率計(jì)算公式可得隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而可求出期望.答案（1）由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽?。ǖ葍r(jià)于A中學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為.因此,中學(xué)至少有1名學(xué)生人選代表隊(duì)的概率為.（2）根據(jù)題意,的可能取值為.所以的分布列為因此,的數(shù)學(xué)期望為考點(diǎn)4二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是高考的?？純?nèi)容,同樣多與離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征綜合出現(xiàn)在解答題中,有時(shí)也以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),分值一般為分左右,試題難度適中,屬于中檔題.例7（2017·全國(guó)Ⅱ）從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,表示抽到的二等品件數(shù),則_____.解析由題意可得,抽到二等品的件數(shù)符合二項(xiàng)分布,即,由二項(xiàng)分布的方差公式可得.答案例8(2018-全國(guó)III)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為,各成員的支付方式相互獨(dú)立,設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù),,,則（）A.0.7B.0.6C.0.4D.解析,則,或.,可知,故.答案考點(diǎn)5正態(tài)分布正態(tài)分布是每年高考的重點(diǎn),既有以選擇題、填空題形式的單獨(dú)考查,難度較小,也有與其他概率知識(shí)綜合的實(shí)際應(yīng)用解答題,難度中等及以上,分值一般為分左右.例9(2017課標(biāo)I)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求1)及的數(shù)學(xué)期望;（2）一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在,之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.（1）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:經(jīng)計(jì)算得,其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸,.用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01).附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.解析（1）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性及,)計(jì)算即可;（2）()根據(jù)原則可進(jìn)行合理性判斷;(ii)利用公式計(jì)算出晹除之外剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差即可.答案（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為,從而零件的尺寸在之外的概率為故,因此.的數(shù)學(xué)期望為.（2）()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在,,之外的概率只有,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的.(ii)由,得的估計(jì)值為,的估計(jì)值為.由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在,之外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,因此的估計(jì)值為.，剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,因此的估計(jì)值為.考點(diǎn)6概率知識(shí)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用問(wèn)題除了前面幾個(gè)考點(diǎn)之外，對(duì)于概率知識(shí)（離散型隨機(jī)變量）的考查有時(shí)還將其與其他模板的內(nèi)容進(jìn)行綜合考查，比如涉及函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列等，這是一類新的熱點(diǎn)問(wèn)題，試題形式新穎、難度較大，命題呈現(xiàn)形式既有選擇題、填空題形式，也有解答題，分值一般為5~12分左右.例10（2019·浙江）設(shè),則隨機(jī)變量的分布列是則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí),（）A.增大B.減小C.先增大后減小D.先減小后增大解析方法：由分布列得,則則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí),先減小后增大.故選D.方法二:由分布列得,則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí),先減小后增大.故選D.答案D例11(2020-北京)某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng),分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案:方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持,對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,獲得數(shù)據(jù)如下表:假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.（1）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人,全體女生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率;（3）將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為,假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生,除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為,試比較與的大小(結(jié)論不要求證明).解析（1）根據(jù)頻率估計(jì)概率,即得結(jié)果;（2）先分類,再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果;（3）先求,再根據(jù)頻率估計(jì)概率,即得大小.答案（1）該校男生支持方案一的概率為,該校女生支持方案一的概率為.（2）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況：=1\*GB3①僅有兩個(gè)男生支持方案一;=2\*GB3②僅有一個(gè)男生支持方案一,一個(gè)女生支持方案一.所以3人中恰有2人支持方案一概率為:.（3）.考點(diǎn)7回歸分析回歸分析是每年高考的熱點(diǎn),既有選擇題、填空題,也有解答題.常見的命題角度有:回歸直線方程及其應(yīng)用、相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用.試題難度適中,分值一般為分左右.例12(2017?山東)為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)(單位:厘米)和身高(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為.已知.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24,據(jù)此估計(jì)其身高為（）A.160B.163C.166D.170解析由已知得,則.當(dāng)時(shí),.答案例13（2015?新課標(biāo)1)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:千元)對(duì)年銷售量單位:和年利潤(rùn)(單位:千元)的影響,對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.表中.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與的關(guān)系為.根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問(wèn)題:()年宣傳費(fèi)時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?(ii)年宣傳費(fèi)為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別