高考數(shù)學(xué)理科二輪總復(fù)習(xí)練習(xí)第四篇　回歸教材糾錯(cuò)例析幫你減少高考失分點(diǎn)5

5.立體幾何1．空間幾何體表面積和體積的求法幾何體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，求幾何體的體積常用公式法、割補(bǔ)法、等積變換法．[問(wèn)題1]底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱錐的表面積為________．答案3eq\r(3)解析由題意作出圖形如圖．∵三棱錐P－ABC是正三棱錐，頂點(diǎn)P在底面上的射影D是底面的中心，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)PF，DF，PD.在△PDF中，PD＝1，DF＝eq\f(\r(3),3)，∴PF＝eq\r(1＋\f(1,3))＝eq\f(2\r(3),3)，∴棱錐的側(cè)面積S側(cè)＝3×eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(3),3)＝2eq\r(3)，∵底面積為eq\r(3)，∴表面積為3eq\r(3).2．空間平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系平行問(wèn)題的核心是線線平行，證明線線平行的常用方法有：三角形的中位線、平行線分線段成比例(三角形相似)、平行四邊形等．[問(wèn)題2]下列命題正確的是________．(填序號(hào))①如果a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.答案④3．空間垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系eq\x(線線垂直)eq\o(,\s\up7(線面垂直的判定),\s\do5(線面垂直的定義))eq\x(線面垂直)eq\o(,\s\up7(面面垂直的判定),\s\do5(面面垂直的性質(zhì)))eq\x(面面垂直)垂直問(wèn)題的核心是線線垂直，證明線線垂直的常用方法有：等腰三角形底邊上的中線、勾股定理、平面幾何方法等．[問(wèn)題3]已知兩個(gè)平面垂直，下列命題：①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線；②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線；③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面；④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是________．答案1易錯(cuò)點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)體辨識(shí)不清例1如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積．易錯(cuò)分析注意這里是旋轉(zhuǎn)圖中的陰影部分，不是旋轉(zhuǎn)梯形ABCD.在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候邊界形成一個(gè)圓臺(tái)，并在上面挖去了一個(gè)“半球”，其體積應(yīng)是圓臺(tái)的體積減去半球的體積．解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是誤以為旋轉(zhuǎn)的是梯形ABCD，在計(jì)算時(shí)沒(méi)有減掉半球的體積．解由題圖中數(shù)據(jù)及圓臺(tái)和球的體積公式，得V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝eq\f(4,3)π×23×eq\f(1,2)＝eq\f(16,3)π(cm3)．所以旋轉(zhuǎn)體的體積為V＝V圓臺(tái)－V半球＝52π－eq\f(16,3)π＝eq\f(140,3)π(cm3)．易錯(cuò)點(diǎn)2線面關(guān)系把握不準(zhǔn)例2設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，且a?α，a?β，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為________．①若b?β，a∥b，則a∥β；②若a⊥β，α⊥β，則a∥α；③若a⊥b，b⊥α，則a∥α.易錯(cuò)分析本題易出現(xiàn)的問(wèn)題就是對(duì)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系把握不準(zhǔn)，考慮問(wèn)題不全面，不能準(zhǔn)確把握題中的前提——a?α，a?β，對(duì)空間中的平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理中的條件把握不準(zhǔn)導(dǎo)致判斷失誤．如①中忽視已知條件中的a?β，誤以為該項(xiàng)錯(cuò)誤等．解析對(duì)于①，若有b?β，a∥b，且已知a?β，所以根據(jù)線面平行的判定定理可得a∥β，故①正確；對(duì)于②，若a⊥β，α⊥β，則根據(jù)空間線面位置關(guān)系可知，a?α或a∥α，而由已知可知a?α，所以a∥α，故②正確；對(duì)于③，若a⊥b，b⊥α，所以a?α或a∥α，而由已知可得a?α，所以a∥α，故③正確．答案3易錯(cuò)點(diǎn)3線面關(guān)系論證不嚴(yán)謹(jǐn)例3在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面ABC1D1；(2)求證：EF⊥B1C.易錯(cuò)分析利用空間線面關(guān)系的判定或性質(zhì)定理證題時(shí)，推理論證一定要嚴(yán)格按照定理中的條件進(jìn)行，否則出現(xiàn)證明過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯?wèn)題．證明(1)連結(jié)BD1，如圖所示．在△DD1B中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(EF∥D1B，,D1B?平面ABC1D1，,EF?平面ABC1D1))?EF∥平面ABC1D1.(2)ABCD－A1B1C1D1為正方體?AB⊥平面BCC1B1?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B1C⊥AB，,B1C⊥BC1，,AB，BC1?平面ABC1D1，,AB∩BC1＝B))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B1C⊥平面ABC1D1，,BD1?平面ABC1D1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B1C⊥BD1，,EF∥BD1))?EF⊥B1C.1．已知α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是________．(填上所有正確命題的序號(hào))①若α∥β，m?α，則m∥β；②若m∥α，n?α，則m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β.答案①④解析①這是面面平行的性質(zhì)，正確；②只能確定m，n沒(méi)有公共點(diǎn)，有可能異面，錯(cuò)誤；③當(dāng)m?α?xí)r，才能保證m⊥β，錯(cuò)誤；④由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，正確．2．(2017·江蘇南通中學(xué)期中)已知一個(gè)圓錐的底面積為2π，側(cè)面積為4π，則該圓錐的體積為________．答案eq\f(2\r(6),3)π解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πr2＝2π，,πrl＝4π，))解得r＝eq\r(2)，l＝2eq\r(2)，所以高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(6)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×2×eq\r(6)＝eq\f(2\r(6),3)π.3．(2017·江蘇新海中學(xué)期中)將斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是________．答案eq\f(16π,3)解析等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4，斜邊的高為2.∴旋轉(zhuǎn)后的幾何體為兩個(gè)大小相等的圓錐的組合體．圓錐的底面半徑為2，高為2.∴幾何體的體積V＝2×eq\f(1,3)×π×4×2＝eq\f(16π,3).4．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則三棱錐A－B1D1D的體積為________cm3.答案3解析＝＝eq\f(1,3)××B1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×D1D×B1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×2×3＝3(cm3)．5．設(shè)一個(gè)正方體與底面邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(10)的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長(zhǎng)為________．答案2解析由題意可得正四棱錐的高為2，體積為eq\f(1,3)×(2eq\r(3))2×2＝8，所以正方體的體積為8，所以棱長(zhǎng)為2.6．α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m?α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的序號(hào))答案②③④解析當(dāng)m⊥n，m⊥α，n∥β時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故①錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④.7．將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個(gè)扇形作為三個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)這三個(gè)圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1＋r2＋r3＝________.答案5解析由題意可得三個(gè)扇形的弧長(zhǎng)分別為eq\f(5π,3)，eq\f(10π,3)，5π，分別等于三個(gè)圓錐底面圓的周長(zhǎng)，則r1＝eq\f(5,6)，r2＝eq\f(5,3)，r3＝eq\f(5,2)，所以r1＋r2＋r3＝eq\f(5,6)＋eq\f(5,3)＋eq\f(5,2)＝5.8．如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，則三棱錐D1－A1BD的體積為________cm3.答案eq\f(3,2)解析因?yàn)樵谡睦庵鵄BCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，所以三棱錐D1－A1BD的體積＝＝×AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×A1D1×D1D×AB＝eq\f(1,6)×3×1×3＝eq\f(3,2)(cm3)．9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，OP＝OC，PA⊥PD.求證：(1)直線PA∥平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD.證明(1)連結(jié)OE，如圖所示．因?yàn)镺為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．又E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PA.因?yàn)镺E?平面BDE，PA?平面BDE，所以直線PA∥平面BDE.(2)因?yàn)镺E∥PA，PA⊥PD，所以O(shè)E⊥PD.因?yàn)镺P＝OC，E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E⊥PC.又PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD＝P，所以O(shè)E⊥平面PCD.因?yàn)镺E?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.10．(2017·江蘇江陰市調(diào)研)如圖，在四棱錐P－ABCD中，O為菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，M為棱PD的中點(diǎn)，MA＝MC.(1