北師 七年級(jí) 數(shù)學(xué) 上冊 第5章 一元一次方程《一元一次方程的應(yīng)用》教學(xué)課件

5.3一元一次方程的應(yīng)用第五章一元一次方程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2等積變形問題等長變形問題“盈不足”問題行程問題知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)等積變形問題11.等積變形指圖形或物體的形狀發(fā)生變化，但變化前后的體積或面積不變

.等積變形問題中的等量關(guān)系為變化前圖形的面積或物體的體積=變化后圖形的面積或物體的體積.感悟新知2.易錯(cuò)警示等積變形問題中涉及求圓柱體積時(shí)，會(huì)用到圓柱底面半徑，讀題時(shí)要看清題目中所給條件是直徑還是半徑.知1－講感悟新知知1－講知識(shí)鏈接常見立體圖形的體積公式：1.V正方體=a3(a為棱長)；2.V長方體=abh(a，b分別為底面的長、寬，h為高)；3.V圓柱=πR2h(

R為底面半徑，h為高)

.知1－練感悟新知用直徑為4cm的圓柱形鋼材鑄造3個(gè)直徑為2cm，高為16cm的圓柱形零件，需要截取多長的圓柱形鋼材？例1知1－練感悟新知

解題秘方：緊扣題目中鑄造前后的體積相等這一等量關(guān)系，列出方程解決問題.知1－練感悟新知1-1.有一圓柱合金，底面半徑為10?cm，高為64?cm.若將其鍛造成長方體工件，使長方體的長為20πcm，高為32?cm，則長方體的寬為多少？解：設(shè)長方體的寬為xcm.根據(jù)題意，得20π×32·x＝102×π×64，解得x＝10.所以長方體的寬為10cm.知1－練感悟新知將裝滿水的底面直徑為40cm，高為60cm的圓柱形水桶里的水全部灌于另一個(gè)底面直徑為50cm的圓柱形水桶里(水不會(huì)溢出)，這時(shí)水面的高度是多少厘米？例2

知1－練感悟新知

解題秘方：緊扣容器改變但水的體積沒有變這一等量關(guān)系列方程求解.知1－練感悟新知解題通法：水放在不同的容器中，只是水的“形狀”發(fā)生了變化，但是水的體積不變.一定量的水注入某容器中，水的體積=容器的底面積×水面高度.知1－練感悟新知2-1.用一個(gè)底面大小為20?cm×20?cm的長方體容器(已裝滿水)向一個(gè)長、寬、高分別是8?cm，5?cm和10?cm的長方體鐵盒內(nèi)倒水.當(dāng)鐵盒裝滿水時(shí)，長方體容器中水的高度下降了______

cm.(長方體容器和長方體鐵盒的壁厚忽略不計(jì))1感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)等長變形問題21.等長變形是指圖形或物體的形狀發(fā)生變化，但變化前后物體的周長不變

.2.一般用固定長度的線段圍成不同形狀的圖形，關(guān)鍵是根據(jù)周長這一不變量列方程求解.知2－講感悟新知特別解讀“等長變形”關(guān)鍵是“等長”，即“形變”但“長不變”.感悟新知知2－練用一根長為12m的鐵絲圍成一個(gè)長方形.(1)使得該長方形的長比寬多2m，此時(shí)長方形的長、寬各為多少米？面積為多少平方米？(2)使得該長方形的長比寬多1.6m，此時(shí)長方形的長、寬各為多少米？此時(shí)長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化？(3)使得該長方形的長與寬相等，即圍成一個(gè)正方形，此時(shí)正方形的邊長是多少米？此時(shí)正方形的面積與(2)中的長方形面積相比又有什么變化？例3知2－練感悟新知解題秘方：緊扣“等長”，即鐵絲的長和長方形(正方形)的周長相等，列方程解決問題.知2－練感悟新知解：設(shè)此時(shí)長方形的寬為xm，則它的長為(

x+2)

m.根據(jù)題意，得2(

x+x+2)

=12，解得x=2.此時(shí)長方形的長為2+2=4(

m)，寬為2m，面積為2×4=8(

m2)

.(1)使得該長方形的長比寬多2m，此時(shí)長方形的長、寬各為多少米？面積為多少平方米？知2－練感悟新知解：設(shè)此時(shí)長方形的寬為ym，則它的長為(y+1.6)

m.根據(jù)題意，得2(

y+y+1.6)

=12，解得y=2.2.此時(shí)長方形的長為2.2+1.6=3.8(

m)，寬為2.2m，面積為3.8×2.2=8.36(m2)

.此時(shí)長方形的面積比(1)中的長方形的面積增大了8.36－8=0.36(m2)

.(2)使得該長方形的長比寬多1.6m，此時(shí)長方形的長、寬各為多少米？此時(shí)長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化？知2－練感悟新知解：設(shè)正方形的邊長為zm.根據(jù)題意，得4z=12，解得z=3.此時(shí)正方形的邊長為3m，面積為3×3=9(

m2)

.此時(shí)正方形的面積比(2)中的長方形面積增大了9－8.36=0.64(

m2)

.(3)使得該長方形的長與寬相等，即圍成一個(gè)正方形，此時(shí)正方形的邊長是多少米？此時(shí)正方形的面積與(2)中的長方形面積相比又有什么變化？知2－練感悟新知3-1.用一根鐵絲可圍成邊長為9?cm的正方形，若用這根鐵絲圍成長比寬多2?cm的長方形，則長方形的面積是多少？解：設(shè)長方形的寬為xcm，則它的長為(x＋2)cm.依題意得2x＋2(x＋2)＝9×4，解得x＝8.則x＋2＝10.所以長方形的面積為10×8＝80(cm2)．知2－練感悟新知3-2.用兩根等長的鐵絲分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓.已知正方形的邊長比圓的半徑長?2(π－2)

m，求這兩根等長的鐵絲的長度，并通過計(jì)算說明誰的面積較大.知2－練感悟新知解：設(shè)圓的半徑為r

m，則正方形的邊長為[r+2(π－2)]m.根據(jù)題意，得2πr＝4[r+2(π－2)]，解得r＝4.所以鐵絲的長為2π×4＝8π(m)．所以圓的面積為π×42＝16π(m2)，正方形的面積為[4+2(π－2)]2＝4π2(m2)．因?yàn)?π·4＞4π·π，所以16π＞4π2.所以圓的面積大．因此，這兩根等長的鐵絲的長為8π

m，圓的面積較大．感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)“盈不足”問題3盈不足問題，也稱為盈虧問題，是古代中國《九章算術(shù)》中研究的一種數(shù)學(xué)問題.這類問題涉及將一定數(shù)量的物品平均分配給一定數(shù)量的人，由于物品和人數(shù)都未知，只已知在兩次分配中一次是盈(有余)，一次是虧(不足)；或者兩次都盈；或者兩次都虧時(shí)，求參加分配的物品總量及人員總數(shù).感悟新知知3－講盈不足問題的基本運(yùn)算公式為

(盈+虧)÷(兩次分得之差)=人數(shù).每人所得數(shù)×人數(shù)-虧=物數(shù).知3－講感悟新知解題通法先求兩次分配中各次共分物品的數(shù)量差，再求兩次分配中分配者每份所得物品數(shù)量的差.用前一個(gè)差除以后一個(gè)差，就得到分配者的人數(shù)，進(jìn)而求得物品數(shù).此外，利用方程的思想來解決這類問題也更加直觀和普遍.知3－練感悟新知[母題教材P149例2]我國古代名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有一題：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齊足.”其大意是：“牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知有多少人和多少竹竿.若每人拿6竿，則多14竿；若每人拿8竿，則恰好拿完.”請(qǐng)用列方程的方法求出這個(gè)問題中的牧童人數(shù).例4

知3－練感悟新知解題秘方：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，可借助表格找出等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)這個(gè)問題中的牧童人數(shù)為x，列表如下：有關(guān)量每人拿6竿每人拿8竿拿竿數(shù)/竿6x

8x總竿數(shù)/竿6x+148x

知3－練感悟新知解：設(shè)這個(gè)問題中的牧童人數(shù)為x，根據(jù)題意，得6x+14=8x，解得x=7.因此，這個(gè)問題中的牧童人數(shù)為7.

知3－練感悟新知4-1.

[一模·德州]某個(gè)體商販在一次買賣中，同時(shí)賣出兩件上衣，售價(jià)都是120元，若按進(jìn)價(jià)計(jì)算，其中一件盈利20%，另一件虧本20%，則兩件上衣的進(jìn)價(jià)之和為(

)A.230元B.240元C.250元D.260元C感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)行程問題41.相遇問題相遇問題沿直線運(yùn)動(dòng)沿圓周運(yùn)動(dòng)圖示甲、乙由同一地點(diǎn)相背而行等量關(guān)系路程s

甲+s

乙=s總

s

甲+s

乙=圓周長時(shí)間若同時(shí)出發(fā)，則t

甲=t乙

感悟新知知4－講2.追及問題追及問題沿直線運(yùn)動(dòng)沿圓周運(yùn)動(dòng)(同時(shí)同地)同地不同時(shí)同時(shí)不同地圖示

感悟新知知4－講續(xù)表等量關(guān)系路程慢者先行的路程+慢者被追及的路程=快者追及的路程快、慢兩者間的距離+慢者所行的路程=快者所行的路程快者走的路程－慢者走的路程=圓周長(首次追上)時(shí)間快者所用的時(shí)間=慢者所用的時(shí)間－

慢者先行的時(shí)間快者所用的時(shí)間=慢者所用的時(shí)間快者所用的時(shí)間=慢者所用的時(shí)間

感悟新知知4－講3.航行問題航行問題順?biāo)叫心嫠叫袌D示速度關(guān)系v

順?biāo)?/p>

=v

靜水+v

水

v

逆水

=v

靜水－v

水

知4－講感悟新知特別解讀1.行程問題中常用的三個(gè)量之間的關(guān)系為路程=速度×?xí)r間.2.航行問題中涉及順和逆的問題，只要路線相同，則路程不變.知4－講感悟新知方法點(diǎn)撥追及問題中等量關(guān)系的尋找方法：(1)從時(shí)間考慮:若同時(shí)出發(fā)，追及時(shí)兩人所用的時(shí)間相等.(2)從路程考慮:①沿直線運(yùn)動(dòng)，兩人所走路程之差等于需要趕上的距離；②沿圓周運(yùn)動(dòng)，兩人所行路程之差等于圓周長(從同一地點(diǎn)出發(fā)，且首次追上).(3)從速度考慮:兩人的相對(duì)速度等于他們的速度之差.感悟新知知4－練A，B兩地相距280m，甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)相向而行.甲從A地每秒跑8m，乙從B地每秒跑6m，那么多少秒后甲、乙兩人相遇？例5知4－練感悟新知解題秘方：此題屬于相遇問題，等量關(guān)系是甲所用時(shí)間=乙所用時(shí)間，甲跑過的路程+乙跑過的路程=A，B兩地之間的距離.解：設(shè)xs后甲、乙兩人相遇.根據(jù)題意，得8x+6x=280，解得x=20.所以20s后甲、乙兩人相遇.知4－練感悟新知5-1.甲、乙兩車站相距450?km，一輛慢車從甲站開出，平均速度為65?km/h；一輛快車從乙站開出，平均速度為?85?km/h.(1)兩車同時(shí)開出，相向而行,那么兩車行駛多長時(shí)間后相遇？解：設(shè)兩車行駛xh后相遇．根據(jù)題意，得65x＋85x＝450，解得x＝3.所以兩車行駛3h后相遇．知4－練感悟新知(2)快車先開30?min，兩車相向而行，慢車行駛多長時(shí)間后兩車相遇？感悟新知知4－練小明、小杰兩人在400m的環(huán)形賽道上練習(xí)跑步，小明每分鐘跑300m，小杰每分鐘跑220m.(1)若小明、小杰兩人同時(shí)同地反向出發(fā)，則出發(fā)幾分鐘后，小明、小杰第一次相遇？(2)若小明、小杰兩人同時(shí)同向出發(fā)，起跑時(shí)，小杰在小明前面100m處.①出發(fā)幾分鐘后，小明、小杰第一次相遇？②出發(fā)幾分鐘后，小明、小杰在賽道上第一次相距20m？例6

知4－練感悟新知解題秘方：可將環(huán)形中的相遇問題轉(zhuǎn)化為直線中的相遇問題解答.

(1)若小明、小杰兩人同時(shí)同地反向出發(fā)，則出發(fā)幾分鐘后，小明、小杰第一次相遇？知4－練感悟新知

(2)若小明、小杰兩人同時(shí)同向出發(fā)，起跑時(shí)，小杰在小明前面100m處.①出發(fā)幾分鐘后，小明、小杰第一次相遇？知4－練感悟新知解：設(shè)出發(fā)zmin后，小明、小杰在賽道上第一次相距20m.依題意，得300z－220z+20=100，解得z=1.因此，出發(fā)1min后，小明、小杰在賽道上第一次相距20m.②出發(fā)幾分鐘后，小明、小杰在賽道上第一次相距20m？知4－練感悟新知6-1.甲、乙兩人沿運(yùn)動(dòng)場中一條周長為400?m的環(huán)形跑道勻速跑步，甲的速度是乙的速度的1.5倍，他們從同一地點(diǎn)，朝同一方向同時(shí)出發(fā)，8?min后甲第一次追上乙.(1)求甲、乙兩人跑步的速度分別為多少.知4－練感悟新知解：設(shè)乙的速度為xm/min，則甲的速度為1.5xm/min.根據(jù)題意，得8×(1.5x－x)＝400，解得x＝100，所以1.5x＝150.因此，乙的速度為100m/min，甲的速度為150m/min.知4－練感悟新知(2)若甲、乙兩人從同一地點(diǎn)，同時(shí)背向而行，經(jīng)過多長時(shí)間兩人恰好第五次相遇?解：設(shè)經(jīng)過tmin兩人恰好第五次相遇．根據(jù)題意，得(150＋100)t＝400×5，解得t＝8.因此，經(jīng)過8min兩人恰好第五次相遇．感悟新知知4－練李成在王亮的前方10m處，李成每秒跑7m，王亮每秒跑7.5m，兩人同時(shí)同向起跑，請(qǐng)問王亮跑多少米可以追上李成？例7知4－練感悟新知解題秘方：此題是追及問題，屬于“同時(shí)不同地”的類型，可根據(jù)“王亮跑的路程-李成跑的路程=10m”列方程求解.解：設(shè)x