待定系數(shù)法求解二階常系數(shù)非齊次線性常微分方程

待定系數(shù)法求解二階常系數(shù)非齊次線性常微分方程摘要：在自然科學(xué)、工程技術(shù)中，許多實(shí)際問題可以歸結(jié)為二階常微分方程，因此求二階常微分方程的解有著非常重要意義。本文介紹利用待定系數(shù)法法求解二階常系數(shù)非齊次線性常微分方程。關(guān)鍵詞：二階常微分方程；待定系數(shù)法我們要求非齊次方程的通解，關(guān)鍵在于求出非齊次方程的一個(gè)特解，接下來以二階常系數(shù)非齊次線性常微分方程為例，根據(jù)自由項(xiàng)的形式來討論兩種不同的求解方法。對(duì)于方程當(dāng)時(shí)，方程寫成其中為任意實(shí)數(shù)，方程(1-2)即為二階常系數(shù)非齊次線性常微分方程。待定系數(shù)法1方法介紹當(dāng)自由項(xiàng)具備下面兩種特殊形式時(shí)，利用待定系數(shù)法求解特解較為簡便。類型一:其中是多項(xiàng)式，為常數(shù)。設(shè)其中為常數(shù)。(1)若不是特征根方程有特解(2)若為特征方程的k重根方程有特解其中是待定常數(shù)，可通過比較系數(shù)來確定。類型二:其中為常數(shù)，為的次數(shù)不高于的多項(xiàng)式，但二者中至少有一個(gè)次數(shù)為。(1)若不是特征根，則方程有形如的特解，其中為次多項(xiàng)式。(2)若為k重特征根，則方程有形如的特解，其中為次多項(xiàng)式。2應(yīng)用舉例(1)為多項(xiàng)式的情形例：求下列方程的通解：。解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為，。故齊次方程的通解為，其中為任意常數(shù)，再求非齊次方程的一個(gè)特解。，對(duì)應(yīng),而不是特征根，故特解形如，其中待定，代入原方程得=，比較系數(shù)得解得，所以特解為因此，原方程的通解為，其中為任意常數(shù)。(2)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的組合的情形例：求下列方程的通解：。解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根，故齊次方程通解為其中為任意常數(shù)。，對(duì)應(yīng)不是特征根，故特解形如代入原方程，消去，比較系數(shù)得，因此原方程的通解為，其中為任意常數(shù)。(3)為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的組合的情形例：求下列方程的通解：。解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為，。故齊次方程的通解為，其中為任意常數(shù)。，而不是特征根，故特解形如。代入原方程，比較系數(shù)得。因此原方程的通解為，其中為任意常數(shù)。參考文獻(xiàn)[1]羅兆富,王林,王剛.微分方程[M].北京:科學(xué)出版社,2018.182[2]韓茂安,周盛凡,刑業(yè)朋,丁瑋.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2018.104[3]韓茂安,周盛凡,刑業(yè)朋,丁瑋.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2018.107-108[4]羅兆富,王林,王剛.微分方程[M].北京:科學(xué)出版社,2018.3-5.[5]李瑞遐.應(yīng)用微分方程[M].上海:華東理工大學(xué)出版社,2005.33-41.[6]李必文,趙臨龍,張明波.常微分方程[M].武漢:華中師范大學(xué)出版