江西省南昌市三校2025屆數(shù)學高二上期末質量檢測模擬試題含解析

江西省南昌市三校2025屆數(shù)學高二上期末質量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的兩個焦點為，，是此雙曲線上的一點，且滿足，，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.2．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A. B.C. D.3．在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做“等和數(shù)列”，這個數(shù)叫做數(shù)列的公和．已知等和數(shù)列{an}中，，公和為5，則（）A.2 B.﹣2C.3 D.﹣34．已知函數(shù)是區(qū)間上的可導函數(shù)，且導函數(shù)為，則“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知，，且，則（）A. B.C. D.6．下列雙曲線中，漸近線方程為的是A. B.C. D.7．數(shù)列中前項和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.9．給出命題：若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.010．已知雙曲線的焦點為，，其漸近線上橫坐標為的點滿足，則（）A. B.C.2 D.411．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.212．已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則A.2 B.3C. D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1202年意大利數(shù)學家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列.即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學等領域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列各項被3除后的余數(shù)構成一新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項的和為________.14．已知數(shù)列的通項公式為，記數(shù)列的前項和為，則__________，的最小值為__________15．已知，，若，則______16．若過點和的直線與直線平行，則_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，，記.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）試判斷數(shù)列的增減性，并說明理由18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，，，其中.（1）記，求證：是等比數(shù)列；（2）設，數(shù)列的前n項和為，求證：.19．（12分）如圖，四棱錐中，側面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點（1）求證：；（2）求點到平面的距離20．（12分）閱讀本題后面有待完善的問題，在下列三個條件：①，②，③中選擇一個作為條件，補充在題中橫線處，使問題完善，并解答你構造的問題.（如果選擇多個關系并分別解答，在不出現(xiàn)邏輯混亂的情況下，按照第一個解答給分）.問題：已知命題，，命題___________，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍22．（10分）已知橢圓與直線相切，點G為橢圓上任意一點，，，且的最大值為3（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線與橢圓C交于不同兩點E，F(xiàn)，點O為坐標原點，且，當?shù)拿娣e取最大值時，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由，可得進一步求出，由此得到，則該雙曲線的方程可求【詳解】，即，則．即，則該雙曲線的方程是：故選：A【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的方程，常用待定系數(shù)法，先定式（根據(jù)已知確定焦點所在的坐標軸，設出曲線的方程），再定式（根據(jù)已知建立方程組解方程組得解）.2、D【解析】設正方形的邊長為，計算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計算出所求事件的概率.【詳解】設大正方形的邊長為，則面積為，陰影部分由一個大等腰直角三角形和一個梯形組成大等腰直角三角形的面積為，梯形的上底為，下底為，高為，面積為，故所求概率故選：D.3、C【解析】利用已知即可求得，再利用已知可得：，問題得解【詳解】解：根據(jù)題意，等和數(shù)列{an}中，，公和為5，則，即可得，又由an﹣1+an＝5，則，則3；故選C【點睛】本題主要考查了新概念知識，考查理解能力及轉化能力，還考查了數(shù)列的周期性，屬于中檔題4、A【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由導函數(shù)的正負與函數(shù)單調性之間關系，即可得出結果.【詳解】因為函數(shù)是區(qū)間上的可導函數(shù)，且導函數(shù)為，若“對任意的，”，則在上為增函數(shù)；若在上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，即由“對任意的，”能推出“在上為增函數(shù)”；由“在上為增函數(shù)”不能推出“對任意的，”，因此“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A5、D【解析】利用空間向量共線的坐標表示可求得、的值，即可得解.【詳解】因為，則，所以，，，因此，.故選：D6、A【解析】由雙曲線的漸進線的公式可行選項A的漸進線方程為，故選A.考點：本題主要考查雙曲線的漸近線公式.7、B【解析】由已知求得，再根據(jù)當時，，，可求得范圍.【詳解】解：因為，則，兩式相減得，因為是遞增數(shù)列，所以當時，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.8、A【解析】建立空間直角坐標系，結合空間向量的夾角坐標公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標系∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因為,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：A.9、C【解析】若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過第四象限，原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題；其逆命題為：若函數(shù)的圖象不過第四象限，則函數(shù)是冪函數(shù)是假命題，所以原命題的否命題也是假命題.故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題有一個．選C10、B【解析】由題意可設，則，再由，可得，從而可求出的值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，故設，設，則，因為，所以，即，所以，因為，所以，因為，所以，故選：B11、D【解析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應用，屬于基礎題12、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點，∴，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由數(shù)列各項除以3的余數(shù)，可得為，知是周期為8的數(shù)列，即可求出數(shù)列的前2022項的和.【詳解】由數(shù)列各項除以3的余數(shù)，可得為，是周期為8的數(shù)列，一個周期中八項和為，又，數(shù)列的前2022項的和.故答案為：.14、①.②.【解析】首先確定的正負，分別在和兩種情況下求得，代入即可求得；由可求得，分別在和兩種情況下結合一次函數(shù)和對勾函數(shù)單調性得到最小值，綜合可得最終結果.【詳解】令，解得：，則當時，；當時，；當時，；當時，；；，當時，；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，當時，；綜上所述：.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：本題考查含絕對值的數(shù)列前項和的求解問題，解題關鍵是能夠確定數(shù)列的變號項，從而以變號項為分類基準進行分類討論得到數(shù)列的前項和；求解數(shù)列中的最值問題的關鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關系，結合函數(shù)單調性和來進行求解.15、【解析】根據(jù)空間向量垂直得到等量關系，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：故答案為：16、【解析】根據(jù)兩直線的位置關系求解.【詳解】因為過點和的直線與直線平行，所以，解得，故答案為：3三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）數(shù)列單調遞減.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，然后套用等差數(shù)列的通項公式即可；（2）先根據(jù)（1）的結論求出數(shù)列的通項，然后用作差法即可判斷其單調性【小問1詳解】因為，，所以，所以，，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，【小問2詳解】由（1）可知，，所以，所以，故，所以數(shù)列單調遞減.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）應用的關系，結合構造法可得，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的定義即可證結論.（2）由（1）得，再應用錯位相減法求，即可證結論.【小問1詳解】證明：對任意的，，，時，，解得，時，因為，，兩式相減可得：，即有，∴，又，則，因為，，所以，對任意的，，所以，因此，是首項和公比均為3的等比數(shù)列【小問2詳解】由（1）得：，則，，，兩式相減得：，化簡可得：，又，∴.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據(jù)題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點，為底面的三棱錐的體積和以為頂點，為底面的三棱錐的體積，根據(jù)，求點到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點，∴在中，，∴，，∴在中，邊上的高，∴的面積的面積點到平面的距離即點到平面的距離設點到平面的距離為，由，得，即，解得，即點到平面的距離為20、【解析】分別在、和的情況下得命題對應的集合；選條件后可求得命題對應的集合；根據(jù)充分不必要條件的定義可知，分別在、和的情況下得到結果.【詳解】由得：，當時，不等式解集；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；是的充分不必要條件，命題對應集合是命題對應集合的真子集，即；若選條件①：由得：，；若選條件②：由得：，解得：，；若選條件③：由得：，解得：，；當時，，符合題意；當時，由知：，；當時，由知：，；綜上所述：，即實數(shù)的取值范圍為.21、.【解析】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．根據(jù)非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要條件，可得，1﹣m≤1+m，解得m范圍【詳解】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．∴P=[﹣2，10]非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要條件，∴，1﹣m≤1+m，解得0≤m≤3∴m的取值范圍是[0，3]【點睛】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題22、（1）（2）【解析】（1）設點，根據(jù)題意，得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，得到，根據(jù)其最小值，求出，即可得出橢圓方程；（2）設，，